2021年中考数学冲刺训练：《中考数学传统文化题型》测试卷、练习卷（答案及解析）

《中考数学传统文化题型》测试卷、练习卷（答案及解析）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代R—~Z1

数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正

方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是

13,小正方形的面是1,直角三角形的较短直角边长为较长

的直角边长为乩那么（a+b）2的值为（）.

A.13B.19C.25D.169

2.我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称为杨J1

辉三角.从图中取一列数1,3,6,10,.…记%=1,a2=3,121

1331

=6,…则%+由1-2。10+8的值为0.14641

15101051

A-421615201561

B.66........

C.—66

D.-42

3.我国古代你'子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车,

二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何•若设有x个人，则可列方程是（）

A.3(%*2)=2x-9B.3(x-2)=2x+9

C.卜2=平D./2=U

4.我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所

著的代羊解九章算术》一书中，用如图的三角形数阵解释二项式（a+b尸的展开式

的各项系数，此三角形数陈称为“杨辉三角“，根据此规律，请你写出第22行第

3个数是（）

第1行（a-d）01

第2行（a+d）111

2

第3行（.a+b）121

第4行5城

1331

第5行（a®’14641

A.190B.210C.231D.253

5.据《九章算术》记载：”今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺，

人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高儿何？”译文如下：如

图，今有山AB位于树的西面.山高AB为未知数，山与树相距53里，树高9丈5

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尺，人站在离树3里的地方，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上，人眼离

地7尺，则山AB的高为（保留到整数，1丈=10尺）（）

6.在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号.如记

k=1+2+3+…+（71—1）+兀，XJJ=3（*+k）=（x+3）+（x+4）+,,,+

（x+n）；已知（%+卜）（%—卜+DI=3产+3x+m,则〃?的值是（）

A.-62B.-38C.-40D.-20

7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1,1,2,

3,5,8,13,其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.现以

这组数中的各个数作为正方形的边长构造一组正方形（如下图），再分别依次从左到

右取2个，3个，4个，5个正方形拼成如下长方形并记为①，②，③，④，相应

长方形的周长如下表所示：

序号①②③④

周长6101626

若按此规律继续作长方形，则序号为⑥的长方形周长是（）

A.288B.178C.28D.110

8.公元3世纪，我国数学家赵爽在倜髀算经》中巧妙地运用如

图所示的“弦图”来证明勾股定理，该图是由四个全等的直角

三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较

长直角边长为m较短直角边长为b,大正方形面积为20,且

（a+b）2=32,则小正方形的面积为（）

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A.6B.8C.10D.12

9.伊斯兰数学家塔比,伊本•库拉（771口比活几（25”,830-890）在其著作似几何方

法证明代数问题/中讨论了二次方程的几何解法。例如：可以用如图来解关于x的

方程x2+7nx=%其中ABFE为长方形,ABC。为正方形，且DE=m,BFxCD=n,

则方程+mx=n的其中一个正根为（）

A.DE的长B.4B的长C.4E的长D.BE的长

10.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作檄书九章》一书中，给出了著名的秦九韶

公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,则该三角

形的面积为S=2b2一（七士9],现已知△ABC的三边长分别为2,3,4.则

△4BC的面积为（）

4822

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.我国古代数学名著《九章算术》上有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十;

行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问醇、行酒各得几何？”其大意是：

今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱.现用30钱，买

得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据题意，

可列方程组为—.

12.2300多年前，我国古代名著《墨经中有这样的记载：

“圆，一中同长也因此，古代就知道把车轮设计成

圆形，如果车轮是正方形，将边长为1米的正方形滚

动一周，那么正方形中心的轨迹长为米.

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13.汉代数学家赵爽在注解凋髀算经》时给出的“赵爽

弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图是由“赵爽弦图”

变化得到的，它由八个全等直角三角形拼接而成，记图

中正方形A8C£>,正方形EFGH,正方形MNKT的面积

分别为Si，S2,S3,若S1+S2+S3=24,则52的值为

14.我国古代数学著作仇章算术少中有题如下：“今有勾五步，股十二

步，问勾中容方几何？其大意译为：如图，在ABC中，NACB=90。,

BC=5,AC=12,四边形COE尸是ABC的内接正方形，点。、

E、F分别在边BC、AB、AC上，则正方形CQEF边长为.

三、解答题（本大题共7小题，共58.0分）

15.把偶数按从小到大的顺序排列，相邻的两个偶数的平方差（较大的减去较小的）一定

是4的倍数吗？是否可能有比4大的偶数因数？若是两个相邻奇数的平方差，情况

又是怎样的呢？

16.【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥

拉斯定理.在我国古书倜髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我

国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）,后人称之为

“赵爽弦图”，流传至今.

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ba

151->图3

【实践操作】（1）请叙述勾股定理；（2）验证勾股定理，人们已经找到了400多种方

法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：（以下图形均满足验

证勾股定理所需的条件）

【探索发现】

（1）如图4、5、6,以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、

等边三角形，这三个图形中面积关系满足Si+S2=S3的有个；

图4

（2）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中

阴影部分）的面积分别为Si、S2,直角三角形面积为S3,请判断Si、S2、S3的关系并

说明理由.

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17.杨辉三角形，又称贾宪三角、帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排

歹U,在我国南宋数学家杨辉所著的您羊解九章算法》(1261年)一书中用如下图的三

角解释二项和的乘方规律.

I

II+=a^-b

]21(a+h)?42ab+b?

1331(a+办＞"3折+〃'

]4641(4+〃)4=，+十〃’

利用“杨辉三角”所蕴藏的规律，解决下列问题：

(1)直接写出(a+b)6展开后的多项式；

(2)运用：若今天是星期四，则经过84天后是星期；经过810°天后是星期

18.我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊

五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19

两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”

根据以上译文，提出以下两个问题：

(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？

(2)若某商人准备用19两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊，且银两须全部用完)，

请问商人有几种购买方法？列出所有的可能.

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19.《九章算术少是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折

竹抵地”问题：“今有竹高一丈，来折抵地，去本三尺，问折者高几何？“译成数

学问题是：如图所示，在△4BC中，乙4cB=90。，AC+48=1丈，8C=3尺，求

4c的长为多少尺？（说明：1丈=10尺）

20.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常用小石子摆成各种形状来研究数学问题.

如图1,由于这些三角形是由1个，3个，6个，10个，…小石子摆成的，所以他们

称1,3,6,10,这些数为三边形数；类似的，如图2,他们称1,4,9,16,

这样的数为四边形数.

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13610

图1

14916

图2

(1)既是三边形数，又是四边形数，且大于1的最小正整数是;

(2)如果记第〃个左边形小石子的个数为k)(k>3),那么易得M(l,3)=1,

M(2,3)=3,M(2,4)=4.

①M(3,3)=;M(9,4)=；

②M(n,3)=；M(n,4)=；

③如果M(n,3)=55,那么n=；

(3)如果进一步研究发现M(n,5)=手，"5,6)=安卫=2/一加...，那么

M(10,24)=.

21.【关注数学文化】数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对

角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所

示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了施岛算经》九

题古证.(以上材料来源于估证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和估代

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世界数学泰斗刘徽》)

(1)请根据图完成这个推论的证明过程.

证明：S矩形NFGD=S〉ADC~(S2ANF+^AFGc),^EBMF=^ABC~(+).

易知,S^ADC=S^ABC,

可得S矩形NFGD=S矩形EBMF.

(2)如图，点P是矩形ABC。的对角线3。上一点，过点尸作分别交A5,

CO于点E,F,连接PA,PC,若PE=5,DF=4,求图中阴影部分的面积.

B

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关

键.

根据题意，结合图形求出必与。2+62的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即

可求出值.

【解答】

解：根据题意得：c2=a2+b2=13,4x1ab=13—1=12,即2ab=12,

则（a+bp=a2+2ab+抉=13+12=25,

故选C.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查数字的变化规律；能够由已知的一列数找到数的规律是解题的关键.

由所给数据可知，第〃项是丝尸，分别求出。4=10,a*=66,%（）=55即可求解.

【解答】

解：由杨辉三角可知，a4=10,an=66,a10=55,

+—2。10+8=10+66—2x55+8=-42,

故选。.

3.【答案】D

【解析】略

4.【答案】B

【解析】略

5.【答案】D

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【解析】

【分析】

本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关

键.由题意得到=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，过E作EG148于G,

交CD于H,于是得到BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=。尸=3里，根

据相似三角形的对应边成比例即可得到结论.

【解答】

解：由题意得，80=53里，

CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，

如图，过E作EGL4B于G,交CD于H,

则BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里,

•••CD//AB,

ECHs△EAG,

CHEH

•*.----=------,

AGEG

95-73

…AG-3+53'

:.AG«164.3丈,AB=4G+0.7«165丈.

故山A3的高为165丈.

故选D

6.【答案】B

【解析】解：根据题意可知：

・・•二次项的系数为3,

・•・n=4,

・,・原式=(%+3)(%—2)+(%+4)(%—3)+(%+5)(%—4)

=X24-X-64-X24-X-12+X24-%-20

=3%2+3%—38,

又丁原式=3x24-3%4-m,

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・•・m=—38.

故选：B.

根据二次项的系数为3,可得n=4,然后列出算式进行计算，再根据常数项相等解答

即可.

本题考查了有理数的乘方、数学常识，解决本题的关键是理解题目中所给已知等式的意

义.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了图形的变化类，解决本题的关键是寻找规律.

观察图形的变化，后一个长方形的宽是前一个长方形的长，后一个长方形的长是前一个

长方形的长与宽的和，再求周长即可.

【解答】

解：观察图形可知：

序号为①的长方形的宽为1，长为2,

序号为②的长方形的宽为2,长为3,

序号为③的长方形的宽为3,长为5,

序号为④的长方形的宽为5,长为8,

序号为⑤的长方形的宽为8,长为13,

序号为⑥的长方形的宽为13,长为21,

序号为⑦的长方形的宽为21,长为34,

序号为⑧的长方形的宽为34,长为55,

序号为⑧的长方形的周长为2(554-34)=178.

故选员

8.【答案】B

【解析】

【分析】

此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键.观察图形可知，小正

方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知(a+b)2=32,大正方

形的面积为20,可以得出直角三角形的面积，进而求出答案.

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【解答】

解：••・如图所示：

,:(a+以=32,

:.a2+2ab+b2=32,

•••大正方形的面积为+匕2=20,

2ab=32-20=12,即ab=6,

直角三角形的面积为=3,

.••小正方形的面积为20-3x4=8.

故选8.

9.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查一元二次方程的应用与图形结合的知识点，理解出题意是重点；

图中已知QE的长度为机，只要设正方形ABCQ的边长为x,根据BFxCD=n,即可

以得到方程/+mx=n,从而解决问题.

【解答】

解：设正方形ABCD的边长为x,则BC=CD=x,

BFXCD—(BC+CF)XCD=(BC+DE)XCD=(x+m)Xm=x2+mx-n,

所以方程/+巾》=/1的其中一个正根为正方形的边长，结合选项得知，只有8选项符

合条件，

因此选B.

10.【答案】A

［解析］解：•♦・S=］»2炉_(生若£孕］,

•.△48C的三边长分别为2,3,4,则AABC的面积为:

.22+32-42、.213Vis

S=4[22x32-(：・)2]=丁

2

故选：A.

根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为2,3,4的面积，从而可以解答

本题.

本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答.

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11［答案］F+y=2

11.k(50x+10y=30

【解析】略

12.【答案】V27T

【解析】

【分析】

本题主要考查了圆是周长的计算，能分析清楚题意是解答的关键.如果车轮是正方形，

将边长为1米的正方形滚动一周，那么正方形中心的轨迹长就是以正方形对角线为半径

的圆的周长，以此计算即可.

【解答】

解：如果车轮是正方形，将边长为1米的正方形滚动一周，那么正方形中心的轨迹长就

是以正方形对角线为半径的圆的周长，

则：r2+r2=1,

所以r=W,

2

所以正方形中心的轨迹长为：2乂立=

2

故答案为：V2TT.

13.【答案】8

【解析】

【分析】

此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性

质，根据己知得出3GF2=24是解决问题的关键.

根据八个直角三角形全等，四边形ABC。，EFGH,MNKT是正方形，得出CG=NG,

222

CF=DG=NF=GK,再根据S1=(CG+£)G),S2=GF,S3=(NG-/VF),+S2+

S3=24得出3GF?=24,求出GF?的值即可.

【解答】

解：••・八个直角三角形全等，四边形4BCC,EFGH,MNK7是正方形，

CG=NG,CF=DG=NF=GK,

Si=(CG+DG}2

=CG2+DG2+2CG-DG

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=GF2+2CG-DG,

2

S2=GF,

222

S3=(NG-NF?=NG+NF-2NG-NF=GF-2NG-NF,,

Si+S2+S3=GF2+2CG-DG+GF2+GF2-2NG-NF=3GF2=24,

2

•••GF=81S2=8,

故答案为：8.

14.【答案】g

【解析】

【分析】

本题主要考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质.

根据相似三角形的性质列方程解答即可.

【解答】

解：•••四边形C0E尸是正方形，

CD=ED,DE//AC,

设=则CO=x,DB=5—x,

・••DE//AC,

••Z-BDE=乙C,乙BED=

•••△DEB^LCAB,

DEBD

・••一=一,

ACBC

x5-x

••X-17'

故答案为M

15.【答案】解：设相邻两个偶数为2",2(n+l),〃为正整数，；.[2(n+l)]2—(2n)2=

(2n+2-2n)(2n+2+2n)=2(4n+2)=4(2n+1),4(2n+1)一定是4的倍

数.存在比4大的偶因数，如：12,4(2n+l)等.

设相邻两个奇数为2n-1,2n+1.(2n+l)2-(2n-l)2=(2n+l+2n-l)(2n+

1-2n+1)=2x4n=8n..••两个相邻奇数的平方差也是4的倍数.存在比4大的偶

因数，如数8〃等.

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【解析】略

16.【答案】解：【实践操作】

(1)如果直角三角形的两条直角边分别为a,b,斜边为C,那么a2+/)2=c2.

(或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.);

(2)证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方

形面积的和.

即c2=1abx4+(b—a)2,

化简得：a2+b2=c2；

在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和.

即(a+b)2=c2+|abx4,

化简得：a2+b2=c2；

在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和.

即+b)(a+/))=|abx2+1c2,

化简得：a2+b2=c2.

【探索发现】

(1)3；

(2)结论：Si+S2=53；

证明：「S1+S2=T兀铲+《《)2+53-扣(沪

:.S1+$2=+b2-C2)+S3,

va2+b2=c2,

SI+S2=S3.

【解析】

【分析】

本题考查了勾股定理的证明，利用勾股定理探索图形的面积之间的关系，解决本题的关

键是学会利用面积法证明勾股定理并会应用.

【实践操作】(1)勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为a,b,斜边为

c,那么a?+b2—c2；

(2)在图1中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形

面积的和，即可得：a2+b2=c2；在图2中，根据大正方形的面积等于四个全等的直

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角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得：a2+b2=c2；在图3中，梯形的

面积等于三个直角三角形的面积的和，即可得：a2+b2=c2.

【探索发现】(1)根据勾股定理可得三个图形中面积关系满足&+$2=S3的有3个；

(2)根据半圆面积和勾股定理即可得结论：Si+S2=53.

【解答】

【实践操作】见答案；

【探索发现】(1)如果直角三角形的两条直角边分别为“，b,斜边为c,

如图4：VSi+$2=J2+人2,=C2,

又・・・Q2+b2=c2,

•*,SI+S2=S3；

2

如图5：VSi+S2=)+b),

S3=*，

222

又a+b=C9

•••Sr4-S2=S3；

如图6：•・,Si+S2=工。,3Q+为,3b=—(a2+b?),

1z22224、,

\/37

Sc3

X-a2+b2=c2,

・•・S]+S2=S3；

三个图形中面积关系满足Si+S2=S3的有3个，

故答案为3；

(2)见答案.

17.【答案】解：

(1)根据题意可看出，字母的规律”降幕排列，6升基排列;系数符合杨辉三角

654256

：.(a+b)6=a+6ab+15afe+20a3b3+15a2b4+6ab+b;

(2)五；五.

【解析】略

18.【答案】解：(1)设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，

根据题意得:0霏卷

解得:[；：2-

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答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子.

（2）设购买a头牛，匕只羊，依题意有

3a+2b=19,

；19-3d

b=-------,

2

■.■a,人都是正整数，

•••①购买1头牛，8只羊；

②购买3头牛，5只羊；

③购买5头牛，2只羊.

【解析】（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“假设有5头牛、2只羊，

值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，

解之即可得出结论.

（2）可设购买a头牛，匕只羊，根据用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须

全部用完），列出方程，再根据整数的性质即可求解.

本题考查了二元一次方程（组）的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解

题的关键.

19.【答案】解：1丈=10尺，

设4C—x,

••AC+AB=10,

•••AB=10—x.

•••在RtMBC中，44cB=90。，

.-.AC2+BC2=AB2,即/+32=（IO一乃2.

解得：龙=4.55,

即AC=4.55尺.

【解析】设4c=x,可知MB=10-x,再根据勾股定理即可得出结论.

本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合

是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的

示意图.领会数形结合的思想的应用.

20.【答案】（1）36；

⑵①6；