2022年东北三省高考文科数学一模试卷及答案解析

2022年东北三省高考文科数学一模试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.（5分）设集合P={McWl},集合。={》仅（x-1）>0},贝IJPCQ=（）

A.{xpcWO}B.{4rWl}C.{X|X<0,或X>1}D.{4V<0}

2.（5分）复数z满足（1+/）2z=2-4i,则复数z=（）

A.-2+iB.-2-iC.1-2/D.2+i

3.（5分）抛物线y=47的焦点坐标是（）

A.（0,1）B.（1,0）C.（0,白）D.（金,0）

4.（5分）设〃是两条不同的直线，a,p,丫是三个不同的平面，下列四个命题中正确

的是（）

A.若"z〃a,n//a,JIPJm//nB.若aJ_Y，p±y»贝Ua〃0

C.若a〃B，〃?ua,〃〃0,则“〃〃D.若。〃0,m.La,则加_Ly

5.（5分）等差数列{口?}的前〃项和为S〃，已知。6=10，58=44,则§5=（）

911

A.3B.-C.5D.—

22

rx+y>1,

6.（5分）若x,y满足约束条件x-y工4,贝!jz=3x+y的最大值是（）

—1wo，

A.6B.12C.16D.18

7.（5分）直线Z：x+)+，w=0与圆C：(x+1)2+(y-1)2=4交于A,B两点,若|A剧=2,

则m的值为（）

A.±V2B.±2C.±V6D.±2V2

8.(5分)已知m旄R,则“必r0”的一个必要条件是(

11

A.a+b^OB./+/)2#()C.«3+/>3^0D.一+一。0

ab

9.(5分)已知a=log6v7,匕=k)g7连，c=601,则()

A.h<c<aB.h<a<cC.c<a<hD.a<h<c

,tana+11,

10.(5分)已知-------=一一，则cos2(7—a)=()

1-tana24

1

D.

5

第1页共25页

11.（5分）如图是一个简单几何体的三视图,若m+/?=4,则该几何体外接球表面积的最小

值为（）

正视图

A.411B.127TC.201TD.247T

x2y2,

12.（5分）已知Fi，尸2是双曲线C1：里一瓦=1的两个焦点，若点P为椭圆

x2y2

C2：茄+0=1上的动点，当P为椭圆的短轴端点时，〃出取最小值，则椭圆C2

离心率的取值范围为（）

A.(。,刍B.户DV2

C.(0,—JD,1)

2233

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知向量］=（-3,4）,6=2高点4的坐标为（3,-4）,则点8的坐标为

14.（5分）对称性是数学美的重要特征，是数学家追求的目标，也是数学发现与创造中的

重要的美学因素.著名德国数学家和物理学家魏尔说：“美和对称紧密相连”.现用随机

模拟的方法来估算对称蝴蝶（如图中阴影区域所示）的面积，做一个边长为2d"的正方

形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已恰有.395个点落在阴影区域内,

据此可估计图中对称蝴蝶的面积是dm.

15.（5分）已知数列｛斯｝的前〃项和为抑,。1=2,〃2=1,2S〃+i+S〃」=3S〃（〃22,nGN*）,

第2页共25页

则S6的值为.

16.（5分）已知函数/（x）—ax-|sirir|,x€[0,2ir）,a€R恰有3个零点xi，X2,X3，且xi

Vx2VX3，有下列结论：

@2X2=XI+X3；

②0X2-sinx2=0；

③2x3-（1+%32）sinZr3—0；

@sinx2sinx3+x2X3COS2x3=0.

其中正确结论的序号为.（填写所有正确结论的序号）

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：

共60分.，

17.（12分）第七次全国人口普查数据显示，我国60岁及60岁以上人口已达2.64亿，预计

“十四五”期间这一数字将突破3亿，我国将从轻度老龄化进人中度老龄化阶段.为了

调查某地区老年人生活幸福指数，某兴趣小组在该地区随机抽取40位老人（其中男性20

人，女性20人），进行幸福指数调查，规定幸福指数越高老年生活越幸福，幸福指数大

于或等于50的老人为老年生活非常幸福，反之即为一般幸福.调查所得数据的茎叶图如

图：

（1）依据上述样本数据的茎叶图，分析此样本中男性老人和女性老人相比哪个幸福指数

相对更高，并说明理由（可以不计算说明）；

第3页共25页

（2）请完成下列2X2列联表，并判断能否有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有

关？

一般幸福非常幸福合计

男性20

女性20

合计40

2

附：心（a+b芯俄?c）（b+dy其中〃="+＞，•+4

P（心向）0.150.100.050.025

2.0722.7063.8415.024

男性老人女性老人

89751

98234

5973131558

87542412458

721511789

46256

73

第4页共25页

18.(12分)在△ABC中，内角4,B,C所对的边分别是“，6,c,已知a-bcosC=^csinB,

角C的内角平分线与边AB交于点O.

(1)求角B的大小；

(2)记△8CZ),△AC。的面积分别为Si，S2,在①c=2"=V3,②%ABC=孥"=夕,

A>C这

两个条件中任选一个作为已知，求名的值.

第5页共25页

19.(12分)如图，在三棱柱ABC-AiBiCi中，侧面ACG4是矩形，ACVAB,AB=AA\

=2,AC=3,NAMB=120°,E,尸分别为棱4与，8c的中点，G为线段CF的中点.

(1)证明：4G〃平面AEB

(2)求三棱锥4-BiCiF的体积.

第6页共25页

20.（12分）已知椭圆C；菅+、2=1,点尸为椭圆c上非顶点的动点，点A”A2分别为

椭圆C的左、右顶点，过4,4分别作/1上弘1，h^PAi，直线/i，/2相交于点G,连

接OG（O为坐标原点），线段OG与椭圆C交于点Q.若直线OP,OQ的斜率分别为k\,

k.2.

（1）求察的值;

七

（2）求△POQ面积的最大值.

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21.(12分)已知函数=i-xeX(其中e是自然时数的底数)•

(1)写出函数/(x)的定义域，并求。=0时函数/(X)的极值;

(2)若x=0是函数/(x)的极小值点，求实数。的取值范围.

第8页共25页

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的

第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.［选修4-4：坐标系

与参数方程］

x=1+Jt,

22.（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为%G为参数），

.y=2+多t

以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是p=4sin®-4cos9.

（1）分别写出Ci的普通方程与C2的直角坐标方程;

（2）将曲线。绕点P（1,2）按逆时针方向旋转90°得到曲线C3,若曲线C3与曲线

C2交于A,B两点，求解|+|P8|的值.

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［选修4-5：不等式选讲］

23.已知函数/(x)=|x-2|+|x+l|.

(1)求不等式/(x)W4的解集：

123

(2)若函数/(x)最小值为加，已知”>0,b>0,c>0,-+-+-=m,求cz+2b+3c

的最小值.

第10页共25页

2022年东北三省高考文科数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.(5分)设集合P={x|xWl},集合。={x仇(x-1)>0},贝i」PCQ=()

A.{MrWO}B.{RxWl}C.“仇<0,或x>l}D.{4x<0}

解:集合Q={A|A-(x-1)>0}={x|x<0或x>1}，

.•.PnQ={MxV0},

故选：D.

2.（5分）复数z满足（1+i）2z=2-4i,则复数z=（）

A.-2+iB.-2-tC.1-2/D.2+i

解：V(1+z)2Z=2-4i,

7—4/

：.2iz=2-4/,即—i.

故选：B.

3.(5分)抛物线y=4f的焦点坐标是()

A.(0,1)B.(1,0)C.(0,白D.(余，0)

解：抛物线y=47的标准方程为7=%P=I）开口向上，焦点在y轴的正半轴上,

故焦点坐标为（0，一）,

16

故选：C.

4.（5分）设"?，〃是两条不同的直线，a,P，丫是三个不同的平面，下列四个命题中正确

的是（）

A.若"i〃a,n//a,则机〃〃B.若a_Ly,则。〃0

C.若。〃0,mua,则团〃〃D.若a〃0,0〃Y，/九_La,则加_Ly

解：小，〃是两条不同的直线，a,p,丫是三个不同的平面，

对于A,若相〃a,〃〃a,则“与〃相交、平行或异面，故A错误；

对于B,若aJ_y，0，丫，则a与0相交或平行，故8错误；

对于C,若a〃S，mua,〃〃0,则机与〃平行或异面，故C错误；

对于£）,若。〃0,0〃Y，m_La,则由线面垂直的判定定理得"?_1_丫，故。正确.

第11页共25页

故选：D.

5.(5分)等差数列｛〃”｝的前〃项和为％,已知〃6=10，58=44,则S5=()

911

A.3B.-C.5D.—

22

解法一：等差数列｛斯｝的前〃项和为的,期=10,58=44,

(ar+5d=10

••8x7,..f

8oalH—2~d=44

解得〃1=-5,d=3,

4x4

.・.S5=5的+学d=-25+30=5.

解法二:等差数列｛斯｝的前〃项和为S〃,恁=10,58=44,

O

.".S8=|(a3+a6),即44=4(a3+10),

解得。3=1，

；.S5=1x(%+a5)=543=5.

故选：C.

x+y>1,

x-y<4,则z=3x+y的最大值是()

｛y-1<0,

A.6B.12C.16D.18

解：作出可行域，如图中阴影部分,

第12页共25页

由匕:j—4=0,解得3⑸1）,

目标函数z=3x+y可看作斜率为-3的动直线，

其纵截距越大z越大，

结合图形可知当动直线过B（5,1）时，z最大，

所以Zmat=3X5+l=16,

故选：C.

7.（5分）直线/：■+优=0与圆C：（x+1）2+（y-1）2=4交于A,B两点，若依用=2,

则m的值为（）

A.±V2B.±2C.+V6D.+2V2

解：•.•直线/：x+y+m=0与圆C：（x+1）2+（y-1）2=4交于A,B两点，

圆心（-1,1）到直线/的距离d=刑=粤，

V1+142

...（挈）2+d2=",即1+苧=4,解得m=土通.

故选：C.

8.（5分）已知a,b&R,则“而W0”的一个必要条件是（）

11

A.a+b^OB.C.ai+b3^OD.一+一工0

ab

解：对于A,令a=l,b=-I,推不出a+Z?力0,故A错误，

对于8,由“W0”得：QWO且bWO,故/+庐wo,

第13页共25页

反之，若d+Z^WO,推不出〃bWO,比如〃=1,Z?=O,

故〃2+/wo是al#。的必要不充分条件，故B正确，

对于C,令a=l,b=-L推不出1+/wo,故C错误，

11

对于。，令a=Lb=-1,推不出一+rHO,故。错误,

ab

故选：B.

9.（5分）已知。=log6V7,h=k）g7通，c=601,则（）

A.b<c<aB.h<a<cC.c<a<hD.a<h<c

解：log6V7=1log67,且1=log66<logo7<log636=2,

112rl2

:3V-3log"6”3一,即3-VaV3-,

1111

°：b=qlog76Vqiog"=《,/.Z?<T^,

又・・,c=6°J>6°=l,

:.b<a〈c,

故选：B.

10.（5分）已知'Q.a+l=—三,则cos2（孚一a）二（）

1-tana24

tana+11

解:一一，则tana=-3,

1-tana2

o

l+cos^n-2a）i111sinacosa_1

-

------------=22sm2a=]—smacosa=sin^a+cos^a2

_1__3_4

l+tan2a21+95'

故选：A.

11.（5分）如图是一个简单几何体的三视图，若"什〃=4,则该几何体外接球表面积的最小

值为（）

第14页共25页

正视图侧视图

A.4nB.12nC.20nD.24ii

解：由题意可知几何体的是三棱锥，是四棱柱的一部分，如图，三棱锥的外接球与四棱

柱的外接球相同,

该几何体外接球表面积的最小值就是外接球的半径取得最小值，即直径取得最小值，直

径为AD,

则AD=<22+7712+九224+创年0-=/豆=28，当且仅当机=〃=2时取等号,

所以该几何体外接球表面积的最小值为：47T-(V3)2=12IT.

X2V2

12-(5分)已知心心。，人人是双曲线6/-瓦=1的两个焦点，若点尸为椭圆

22

C2：方x+匕y=1上的动点，当尸为椭圆的短轴端点时，NF1PF2取最小值，则椭圆C2

a1

离心率的取值范围为()

A.(0,刍B.[―,1)C.(0,—]D.四，D

2233

解：假设点P在x轴上方，设P(acosG,bsin。)，贝U(0,n),

22

由已知得Fi(-，a2+b2,0),F2(Va+b,0),

第15页共25页

设直线PFi的倾斜角为a,直线PFi的倾斜角为p,

bsinO,.bsinO

Atana=kPFitanp=kPF2=------------------

acos6+acosO-

22

tan/]—tana2b^a+bsin62by/a2+b2

/.tan/-FPF=tan(fi—a)=

121+tanatanp庐+(次-必力讥2。~2；

息+（。2-。）S加。

由于P为椭圆的短轴端点时，4尸产尸2取最小值，即tan/FiPF2取最小值,

b2

y=sin。+(0<sin0<1)也取最小值，此时sin0=l,

即"W2/,解得0<eW孝.

即椭圆C2离心率的取值范围为（0，多，

故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知向量三=（-3,4）,n二2孟，点A的坐标为（3,-4）,则点5的坐标为（一

3,4)

解：设OB=(%,y),

由于向量之=（-3,4）,AB=2a=6,8）,

故应=OB-OA=（x,y）-（3,-4）=（-6,8）,

整理得x=-3,y=4.

故答案为：（-3,4）.

14.（5分）对称性是数学美的重要特征，是数学家追求的目标，也是数学发现与创造中的

重要的美学因素.著名德国数学家和物理学家魏尔说：“美和对称紧密相连”.现用随机

模拟的方法来估算对称蝴蝶（如图中阴影区域所示）的面积，做一个边长为24%的正方

形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已恰有395个点落在阴影区域内，

据此可估计图中对称蝴蝶的面积是1.58dm2.

第16页共25页

解：根据题意，设图中对称蝴蝶的面积为Sd,〃2,正方形的边长为2力〃，则正方形的面积

S'—4dm2,

向该正方形内随机投掷1000个点，已恰有395个点落在阴影区域内，

S395

则有一右----,解可得S-1.58册P,

41000

故答案为：1.58.

15.（5分）已知数列｛斯｝的前〃项和为S〃，0=2,42=1，2S?+i+S?”=3S〃（〃22,正N*）,

则S6的值为—.

—16—

解：由2S"+i+S〃-1=3S〃，得2（Sn+1~5/?）—Sn-Sn-1,2〃〃+i=〃”，

又出=2,a2=1/a2=|tti,所以｛斯｝是等比数列，

2（1一4）

所以=2（2）n-1/S&=——j-=通.

63

故答案为：—.

16

16.（5分）已知函数/（x）=ax-|sinx|,x€[0,2TT）,恰有3个零点XI,小孙且用

<X2<X3，有下列结论：

①2%2=xi+%3；

②0X2-sinx2=0；

③2x3-（1+曲2）sin2x3=0;

@sinx2siax3+x2x3cos2x3=0.

其中正确结论的序号为②③④.（填写所有正确结论的序号）

解：如下图所示：

第17页共25页

7T

因为/(0)=0,则用=0,由图可知5Vt2VmTT<X3<2TI,则sinx2>0,

且直线y=or与曲线g(x)=|siiu|相切于点(孙-siara),

ax2=sinx2

对于①：若2%2=制+孙即2x2=X3，由题意可得=—sinx3,所以-sin2x2=2sin尤2,

a=—cosx3

即-2sinx2cosX2=2siiu：2,

71

解得COSX2=-L因为52Vm则C0SX2=-1不成立，故①错误；

TC

对于②：因为&<¥2<豆，则O¥2=|sinX2|=sinX2，故②正确；

对于③：当nVxV2ii时，则g(x)=|sirir|=-sinx,g'(x)=-cosx,

由题意可得巴勺=二：*3,可得X3=tanx3，

(a——COSXQ

所以sinZr3=2^nx：cos：3=产产：1=?会］,所以级3-(l+jg2)sin2x3=0,故③

£££z

sinx3+cosx3tanx3+lx3+l

正确；

ax2=sinx2

2

对于④：由上可知、。心=—sinx3,所以aX2X3=-siiu：2sinx3，

a=—cosx3

因此，sinx2sinx3+a2X2X3=sinx2sinx3+x2X3C0s2x3=0,故④正确.

故答案为：②③④.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：

共60分.，

17.（12分）第七次全国人口普查数据显示，我国60岁及60岁以上人口已达2.64亿，预计

“十四五”期间这一数字将突破3亿，我国将从轻度老龄化进人中度老龄化阶段.为了

调查某地区老年人生活幸福指数，某兴趣小组在该地区随机抽取40位老人（其中男性20

人，女性20人），进行幸福指数调查，规定幸福指数越高老年生活越幸福，幸福指数大

于或等于50的老人为老年生活非常幸福，反之即为一般幸福.调查所得数据的茎叶图如

图：

第18页共25页

(1)依据上述样本数据的茎叶图，分析此样本中男性老人和女性老人相比哪个幸福指数

相对更高，并说明理由(可以不计算说明)；

(2)请完成下列2X2列联表，并判断能否有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有

关？

一般幸福非常幸福合计

男性20

女性20

合计40

2

附：七鬲粉晶E，其中〃=

P(产》例)0.150.100.050.025

例2.0722.7063.8415.024

男性老人女性老人

89751

98234

5973131558

87542412458

721511789

46256

73

解：(1)由茎叶图可知，女性老人的幸福指数主要集中在40〜60之间,

男性老人的幸福指数主要集中在30〜50之间，

故可推断出女性老人幸福指数的均值大于男性老人幸福指数的均值，

故女性老人幸福指数更高.

(2)2X2列联表如图所示:

一般幸福非常幸福合计

男性16420

女性11920

合计271340

7

40x(16x9-11x4)

：2«2.849>2.706,

*K-20x20x27x13-

第19页共25页

...有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有关.

18.（12分）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是〃，b,c,已知a-〃cosC=冬与山?,

角C的内角平分线与边A8交于点。.

(1)求角8的大小；

(2)记△BCD,AACD的面积分别为5i，S1，在①c=2"=V3,②SAABC=竽，％=夕，

A>C这

两个条件中任选一个作为已知，求I1的值.

解：⑴因为。-加osC=冬―由正弦定理可得sinA-sin8cosC=^sinCsinB,

由sinA=sin(B+C)=sin8cosC+sinCcosB可得cosBsinC=^sinCsinB,

因为CW(0,TT),可得sinOO,所以cosB=¥sinB,即tanB=百，

因为在(0,JT),所以3=*

(2)选①：因为c=2,b=V3,由余弦定理可得b2=a2+e-2accos8,代入可得a2-

2«+1=0,解得a=l,

因为CO平方NAC5,令NACQ=N5CO=e,

则Si=1^C-C£)sin0=1c£>sin6,S2=1AC*CDsin6=2yCDsinO,

则合若冬

选②：因为SAABC='zcsin2=帝x亭ac=解得ac=3,

由人=夕，再由余弦定理可得/=。2+，-2accosB,即7=/+/-3,可得。2+/=10,

联立解得a=3,c=l,

由CD平方/4C8,令N4CO=NBCO=e,

则贝lj51=如C・CQsin6=|cDsin0,S2=/AC・CQsinO=^CDsinQ,

19.（12分）如图，在三棱柱ABC-AiBiG中，侧面4CC4是矩形，ACLAB,AB=AA\

=2,AC=3,ZA\AB=120°,E,尸分别为棱A181，BC的中点，G为线段CF的中点.

（1）证明：4G〃平面AEF；

第20页共25页

(2)求三棱锥Ai-BCiF的体积.

(1)证明：连接AiB,交4E于点0,连接0凡由题意，四边形ABBIAI为平行四边形,

所以48=48”

因为E为中点，.•.4速=±48,.•.△40E与aBOA相似，且相似比为：，

.•.40=40B,又G为BC,CF中点，：.GF=^BF,

所以0尸〃A1G,又。尸u平面4EF,AiGC平面AEF,

所以AiG〃平面AEF.

(2)解：由匕L/QF=遇1G，

平面A8C〃平面A181C，则平面48c内的点4F到平面A山1。的距离相等.

所以%1-BiQF=^F-A1B1Ci—以-AiBiCi=

由侧面ACC1A1是矩形，则4cl_AA1,又4C_LA8且/U1AAB=A,

所以AC_L平面ABBiAi,在三棱柱ABC-48Ci中，AC//A\C\,即Ai。_L平面ABB\A\,

又/A1AB=12O°,则NA4A=60°,

所以乙1-44述]=可x&CixSA/)J41B1=WX3X[X2X2Xsin60°=V3»

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所以三棱锥4-BiCF的体积为百.

20.（12分）已知椭圆C：5+严=1,点尸为椭圆c上非顶点的动点，点A”出分别为

椭圆C的左、右顶点，过A”A2分别作/1，以1，I2A-PA2,直线/”/2相交于点G,连

接OG（。为坐标原点），线段OG与椭圆C交于点Q.若直线OP,OQ的斜率分别为k\,

ki.

（1）求售的值；

（2）求△尸。。面积的最大值.

解：(1)Ai(-2,0),A2(2,0),设P(如yo),(xo#±2,JQWO),

由题意直线/1的方程为）=-空（x+2）,①,

y。

直线/2的方程为y=-宇（x-2）,②，

%

由①②得点G（-xo，-4yo），

可得自=”4yo.1

可，>>2-4

（2）由（1）知，设直线OP的方程为），=&次，直线。。的方程为y=4&ix,

峭篝』得⑷」+"=%

由对称性，不妨设即＞0,

由（1）知XP,XQ异号，；.XP,XQ异号,

2

•'•Q(,二

64/c/+i64kl2+1

16kli

点Q到直线y=kix的距离d=

Jkj+i.J64kl2+i

2。包X

•'•SAPOQ=1-\OP\d=1X16kli

2+lkj+ixj64kl2+1

=_______6®l=6X_________________=6X1

J4fc7+lx764fc7+l料12+1)(6他2+1)256kl2+68+$'

Nkl

11

；256ZJ9+与N32,当且仅当&i=±-,取等号，

ki4

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*"•△尸0Q面积的最大值为SAPOQ=6xJ32：需=

21.(12分)已知函数f(x)=咤竽口靖(其中e是自然对数的底数).

(1)写出函数f(x)的定义域，并求。=0时函数/(x)的极值；

(2)若x=0是函数/(x)的极小值点，求实数。的取值范围.

解：(1)由1-xWO,所以xWl,所以/(x)的定义域为(-8,1)u(1,+8),

当〃=0时，则/(%)=在?•/，则/''(>:)=。-1)(2久+1)靖产-1冲=*-3%产,

xT(久T)(x-1)

令，(x)=0,则为=0或%2=2，

因为，当xVO时，，(x)>0,当0<x<l或l<rV飘，/(x)V0,当x〉|时，，

(x)>0,

所以，当第=0时，/(%)有极小值/(0)=1,

当x=I时，/(X)有极大值/(|)=4昆

(2)/①)_x[a久2一2久一Qa-3)]ex

(x-)l2

设g(x)-2x-(2a-3),因为/(x)在x=0处有极小值，

所以存在〃?>0,使得当(-m,0)时，/(x)<0,即g(x)<0；

当(0,〃])时，f(x)>0,即