2022年中考数学复习：猜想证明解答题

2022年中考数学复习：猜想证明解答题

1.如图，在矩形4BCD中，AD=nAB,E,尸分别在AB,BC上.

(1)若”=1,AFLDE.

①如图1,求证：AE=BF；

②如图2,点G为CB延长线上一点，OE的延长线交4G于H,若AH=A£>,求证:

AE+BG=AG；

(2)如图3,若E为AB的中点，NADE=NEDF.则,的值是_____________(结果用

BF

含〃的式子表示).

2.(1)【问题发现】

如图①，正方形用'G的两边分别在正方形A8CD的边A8和AO上，连接CF.

填空：①线段CF与OG的数量关系为；

②直线CF与DG所夹锐角的度数为.

(2)【拓展探究】

如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，(1)中的结论是否仍然成

立，请利用图②进行说明.

(3)【解决问题】

如图③，在正方形中，AD=AC,点”为直线3C上异于8,C的一点，以AM为边

作正方形40所，点W为正方形尸的中心，连接CN,若AC=4,CM=2,直接写出

CN的长.

(1)图中NOCE+NBCG=°；

(2)设JDCE的面积为S[,AJBCG的面积为S2，则S]与s?的数量关系为；

猜想论证：

①如图2所示，将矩形ABC。绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG,连接DE、

BG,设ADCE的面积为名，ABCG的面积为S2,猜想4和Sz的数量关系，并加以证明？

②如图3所示，在AABC中，AB=AC=10cm,ZB=30。，把AABC沿AC翻折得到

△AEC,过点A作AO平行CE交BC于点£>,在线段CE上存在点P,使的面积等

于△ACO的面积，请写出CP的长？

4.操作：在AABC中，AC=BC=2,ZC=90°,将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边

AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E

两点.如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：

(1)三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理

由.

(2)三角板绕点P旋转，是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况(即写出

△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由.

5.探究与发现：

【探究一】我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么，三角形

的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？

己知：如图①，NFDC与NECD分别为AADC的两个外角，试探究NA与NFDC+NECD

的数量关系，并证明你探究的数量关系.

【探究二】三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？

已知：如图②，在AADC中，DP、CP分别平分NADC和NACD,试探究NA与NP的数

量关系，并证明你探究的数量关系.

【探究三】若将AADC改成任意四边形ABCD呢？

已知：如图3,在四边形ABCD中，DP、CP分别平分/ADC和/BCD,试利用上述结论

直接写出NA+NB与NP的数量关系.

6.如图1,ZiABC中，CD_LAB于D,且BD：AD：CD=2：3：4,

（1）试说明AABC是等腰三角形；

（2）已知S."c=40a«2,动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，

同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运

动都停止，设点M运动的时间为I（秒），若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程

中，AMDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值：若不能，请说明理由.

7.在“WC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD_LMN于D,BE±MN

于E

(1)当MN绕点C旋转到图1的位置时,请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系

(直接写出结论，不要求写出证明过程);

(2)当MN绕点C旋转到图2的位置时,你在(1)中得到的结论是否发生变化？请写出

你的猜想，并加以证明;

(3)当MN绕点C旋转到图3的位置时,你在(1)中得到的结论是否发生变化？请直接

写出结论,不要求写出证明过程

8.如图I,在平面直角坐标系中，A(a,0),C(b,4),且满足但+5)2+正疗=0,过C

作CBLt轴于8.

(2)若过5作8Q〃4c交y轴于£>,且AE,DE分别平分NCAB,ZODB,如图2,求

/AE。的度数；

(3)在y轴上是否存在点P,使得三角形ABC和三角形ACP的面积相等？若存在，求出

P点坐标；若不存在，请说明理由.

9.已知：△ABC是等边三角形，点E在直线AC上，连接BE,以BE为边作等边三角形

BEF,将线段CE绕点C顺时针旋转60。，得到线段CD,连接AF、AD、ED.

(1)如图1,当点E在线段AC上时，求证：ABCE=MCD；

(2)如图1,当点E在线段AC上时，求证：四边形ADEF是平行四边形；

(3)如图2,当点E在线段AC延长线上时，四边形ADEF还是平行四边形吗？如果是，

请证明你的结论；如果不是，请说明理由.

10.(1)感知：如图①，四边形ABCD和CEFG均为正方形.BE与DG的数量关系为

(2)拓展：如图②，四边形ABCD和CEFG均为菱形，且NA=ZF.请判断BE与DG

的数量关系，并说明理由；

(3)应用：如图③，四边形ABCD和CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延

长线上.若AE=2ED,ZA=ZF,AEBC的面积为9,则菱形CEFG的面积为

11.如图1所示，把一个含45。角的直角三角板ECF和一个正方形ABC。摆放在一起，使

三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E,F分别在正方形的边C3,CD上，连接

AE.AF.

(1)求证：AE—AF；

(2)取AF的中点〃，EF的中点N,连接MN.则"。，的数量关系是,

MD、MN的位置关系是

(3)将图2中的直角三角板ECF,绕点C旋转180。，如图3所示，其他条件不变，贝ij(2)中

的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由.

图1图2图3

12.如果一个三角形的三个顶点都落在一个矩形的边上（含顶点）.则称这个三角形为矩形

的内接三角形.

问题发现（1）如图1,等边△AEF内接于正方形ABCD,若AE=2,则正方形ABCD的

面积为:

探索问题（2）如图2,若等边△AEF内接于正方形ABCD,试证明△ABE和△ADF的面

积之和等于△CEF的面积；

拓展应用（3）如图3,若等边△AEF内接于矩形ABCD（ABVAD）.请问（2）中的结论

是否成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请说明理由.

图1图2图3

13.QABCO中，点E、尸分别在48、上，NEA尸=/B=60。，AD=nAB.

（1）当”=1时，求证：AAEF为等边三角形;

（2）当〃时，求证：NAFE=90。；

（3）当CE=CF,DF=4,BE=3时，直接写出线段EF的长为

14.对于一个四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形

为奇特四边形.如图①中，NABC=/ADC,AB=AD；如图②中，ZBAD=ZBCD,

AB=AD,则这样的四边形均为奇特四边形.

(1)在图①中，若AB=AD=4,ZBAD=60°,ZBCD=120°,请求出四边形ABCD的面

积；

(2)在图②中，若AB=AD=4,ZA=ZC=45°,请直接写出四边形ABCD面积的最大值;

(3)如图③，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，F是AD延长线上一点，且

BE=DF,连接EF,取EF的中点G,连接CG并延长交AD于点H.若EB+BC=m，问四

边形BCGE的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值(用含m的代数式表示)；如果

不是，请说明理由.

15.如图，在平行四边形43c。中，的平分线交于点E,交OC的延长线于产,

以、CF为邻边作平行四边形ECFG.

(1)求证：四边形EC尸G是菱形;

(2)连结80、CG,若NABC=120°,则ABDG是等边三角形吗？为什么？

(3)若NABC=90°,AB=\Q,A£>=24,M是EF的中点，求。M的长.

16.如图，M为正方形ABCD的对角线80上一点.过M作80的垂线交4。于E,连BE,

取BE中点0.

（1）如图1,连AO、MO,试证明NAOM=90°;

（2）如图2,连接AM、AO,并延长AO交对角线2。于点N,试探究线段

DM、MN、NB之间的数量关系并证明;

（3）如图3,延长对角线8。至。延长D8至P，连CP,CQ若P8=2,P。=9,且

NPCQ=135°,则尸C=.（直接写出结果）

17.如图1,在AABC中，ZBAC=90\AB=AC,直线MN过点A,且MN〃BC,点。是

直线MN上一点，不与点A重合.

（1）若点E是图1中线段AB上一点，且小=D4,判断线段。E与ZM的位置关系，并

说明理由；

（2）请在下面的A1®两题中任选题解答.

A：如图2,在（1）的条件下，连接，BD过点。作交线段AC于点尸，请判断

线段£)8与£>P的数量关系，并说明理由；

B：如图3,在图1的基础上，改变点。的位置后，连接80,过点。作交线段

C4的延长线于点尸，请判断线段08与。尸的数量关系，并说明理由.

我选择：___________

18.如图1所示，矩形ABCD中，点E,F分别为边AB,AD的中点，将AAEF绕点A

逆时针旋转a(0°<«<360°),直线BE,DF相交于点P.

(1)若AB=AD,将△AEF绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上，则线段BE与DF的

位置关系是，数量关系是.

(2)若AD=nAB(n/1)将△AEF绕点A逆时针旋转，贝lj(1)中的结论是否仍然成立?

若成立，请