辽宁省朝阳市部分学校2024届高三上学期12月考试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1辽宁省朝阳市部分学校2024届高三上学期12月考试数学试题一、选择题1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由题意可得：，所以该复数对应的点为，该点在第四象限.故选：D.2.设集合，，则集合中元素的个数为（）A.2 B.5 C.6 D.7〖答案〗D〖解析〗，因为所以a，，所以，所以，所以集合中元素的个数为7.故选：D.3.在梯形ABCD中，，，则（）A.5 B.6 C.－5 D.－6〖答案〗B〖解析〗因为，所以.所以.故选：B.4.若，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，所以，，所以.故选：C.5.函数在上单调递减,且为奇函数.若,则满足的x的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由为奇函数，得，所以不等式等价于.又因为在上单调递减，所以，即.故选：A.6.某中学的募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到了5000元.他们第1天只收到了20元，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多15元，这次募捐活动一共进行了（）A.20天 B.25天 C.30天 D.35天〖答案〗B〖解析〗由题意可知，每一天收到的捐款成等差数列，首项为20，公差为15，设这次募捐活动一共进行了n天，则，得（负值舍去）.故选：B.7.设的小数部分为x，则（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由，得的整数部分为4，则，所以，即，故.故选:B8.在四面体PABC中，AP，AB，AC两两垂直，，若四面体PABC内切球的半径不小于，则AC的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取棱中点，记为.由题意得：，，.因为，平面，平面.所以平面.则.设，四面体PABC内切球的半径为.因为AP，AB，AC两两垂直，.，则，.所以在中，，.则的面积为，因为.所以四面体PABC内切球的半径.因为是关于的增函数，，所以的解集为.故选：D.二、选择题9.已知函数，则（）A.只有1个零点B.直线与曲线有唯一公共点C.恰有2个零点D.曲线与圆相切〖答案〗ABD〖解析〗令，得，则的图象为半圆，如图所示，令，解得，由图可知，只有1个零点，A正确，C错误；联立与，消去并整理得，解得（舍去），由图可知直线与圆的上半部分只有一个交点，B正确；半圆与圆的圆心、半径分别为，所以圆心距，即圆心距等于半径之和，由图可知曲线与圆外切，D正确.故选：ABD.10.在正四棱台中，，，则（）A.该正四棱台的体积为B.直线与底面所成的角为60°C.线段的长为D.以为球心，且表面积为的球与底面相切〖答案〗BCD〖解析〗连接，，过作，垂足为.因为，，所以，，所以，，所以该正四棱台的体积，A错误.直线与底面所成的角为，由，所以，B正确.，C正确.设以为球心，且表面积为的球的半径为，则，解得，所以以为球心，且表面积为的球与底面相切，D正确.故选：BCD.11.已知函数，则（）A.一个周期为B.的图象关于点对称C.的图象关于直线对称D.在上单调递增〖答案〗BD〖解析〗，故A错误；，故B正确；，故C错误；，因为，则，可知，所以，故D正确.故选：BD.12.已知双曲线C：的右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，该垂线与另一条渐近线的交点为B，若，则C的离心率e可能为（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗不妨设C的一条渐近线的方程为，依题意，直线的斜率为，且，，则：，设，联立，可得，,设，联立，可得，，因为，即，化简得，又，当时，，即，当时，，即，所以或.故选：BD..三、填空题13.国家射击运动员甲在某次训练中的5次射击成绩（单位：环）为9，6，m，10，8，其中m为整数，若这5次射击成绩的第40百分位数为8，则______.〖答案〗8〖解析〗因为，所以将成绩从小到大排列，第40百分位数是第二个成绩和第三个成绩的平均数.所以，解得.故〖答案〗为：814.设函数的图象在点处的切线为，则的斜率的最小值为______，此时______.〖答案〗－8〖解析〗因为，当且仅当，即时，等号成立.所以的斜率的最小值为－8，此时.故〖答案〗为：－8；.15.已知，是椭圆C两个焦点，若C上存在一点P满足，则C的短轴长与长轴长的比值的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，则，则.故〖答案〗为：.16.已知函数，若不等式对恒成立，则的取值范围是________.〖答案〗〖解析〗因为，所以图象的对称轴为直线，则的最小值为.不等式对恒成立等价于，.因为在上单调递增，所以，则，解得，故的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题17.如图所示，在三棱锥中，，直线两两垂直，点分别为棱的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值.（1）证明：因为点分别为棱的中点，所以.又平面，平面，且，所以平面ADE.（2）解：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，，得，.设平面的法向量为，则取，则，，即.由平面，得平面的一个法向量为，所以平面与平面所成角的余弦值为.18.在中，内角、、的对边分别为、、，已知.（1）求；（2）已知，当取得最大值时，求的面积.（1）解：由正弦定理以及，可得，则，则，所以，即，所以，即.（2）解：由余弦定理可得，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，则的最大值为，此时，所以的面积为.19.（1）图1与图2是一个串、并联电路的示意图，若电路中的组件是独立工作的组件，它们正常工作的概率均为，试比较这两个电路的可靠性；（2）图3是一个串、并联电路的所意图，A，B，C，D，E，F是电路中独立工作的组件，它们下方的小数是它们各自正常工作的概率，求只有3个组件正常工作且该电路正常工作的概率.解：（1）图1电路正常工作的概率为，图2电路正常工作的概率为，因为，所以，所以，所以图1电路的可靠性大于图2电路的可靠性.（2）因为只有3个组件正常工作且该电路正常工作，所以这3个组件为A，F，D或E，C，D，故所求概率为.20.已知数列的前n项和为，且，，数列满足，.（1）求，的通项公式；（2）求数列的前n项和.解：（1）因为，所以，所以，，，…，，，累乘得，，所以，.因为符合上式，所以.当时，，所以，即.因为符合上式，所以.因为，所以，两边取倒数得，即.因为，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，所以，故.（2）由（1）知，所以令，则，两式相减得，，所以，故.21.已知抛物线的焦点为F，且A，B，C三个不同的点均在上.（1）若直线AB的方程为，且点F为的重心，求p的值；（2）设，直线AB经过点，直线BC的斜率为1，动点D在直线AC上，且，求点D的轨迹方程.解：（1）抛物线的焦点，设，由消去x得，则，，由点F是的重心，得，则，而点C在上，于是，又，所以.（2）当时，的方程为，设，，，直线斜率，同理得直线的斜率，直线的斜率，直线AB的方程为，化简得.而直线AB过点，即，显然，则，又，即，于是，整理得，直线AC的方程为，化简得，将代入，得，令，得，直线AC过定点，设线段ME的中点为G，则G的坐标为，因为D在直线AC上，且，因此D在以G为圆心，EM为直径的圆上运动，因为，所以D的轨迹方程为（且）.22.已知，，是关于x的方程的三个不同