湖北省荆州市重点高中2023-2024学年高一上学期12月学生素养测试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1湖北省荆州市重点高中2023-2024学年高一上学期12月学生素养测试数学试题一、单选题（每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中只有一个选项是符合题目所给的题意的.）1.有理数、、在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗观察数轴，，因此，所以.故选：B.2.如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数与下列哪项最接近（）（结果精确到，参考数据，，）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题知，为等腰直角三角形，则，，则，在，，即，，故点在尺上的读数约为.故选：C.3.如图，在菱形中，，，点在边上，且.若直线经过点，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点，则线段的长为（）A. B. C. D.5〖答案〗C〖解析〗连接交于O，延长交于点F，因为，可知，则点F满足题意，且，过作，垂足为，由题意可知：，则，可得，则，所以线段的长为.故选：C.4.如图，将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形.若，则这个正方形的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗左边正方形的面积为，右边长方形的面积为，所以且，所以，解得（舍去负值），所以正方形面积为.故选：A.5.欧拉（L.Euler，1707-1783）是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家.在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市卖，两人所带鸡蛋个数不相同，但卖得的钱数相同.第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称）.”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖个克罗索.”试问这两名农妇各带了多少个鸡蛋？设第一个农妇带了个鸡蛋，根据两人卖得的钱数相同，可列方程为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由第一个农妇带了个鸡蛋，得第二个农妇带了个鸡蛋，则按她们的说法，第一个农妇鸡蛋卖得的钱数为，第二个农妇鸡蛋卖得的钱数为，所以.故选：B.6.如图，已知，为反比例函数的图象上一点，以为直径的圆的圆心在轴上，与轴正半轴交于，则反比例函数〖解析〗式为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设与轴的另一个交点为，连接，如图：设的半径为，，，在中，，，解得，，，，，，为反比例函数图象上一点，，得，即反比例函数〖解析〗式为.故选：C.7.有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数.为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（）A.第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜B.取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜C.取出的两个数乘积不小于20时甲得5分，否则乙得3分，游戏结束后，累计得分高的人获胜D.取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜〖答案〗A〖解析〗画树状图如下：对于A：由树状图可知，共有种等可能的结果，其中所确定的点在直线上的点有共个，所确定的点在直线上的点有共个，故两种情况下的基本事件个数不一样，即两种情况下概率不一样，选项A符合题意；对于B：由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两个数乘积大于15的有共8种，则两个数乘积不大于15的也有8种，故两种情况下的基本事件个数一样，即两种情况下概率一样，选项B不符合题意；对于C：由树状图可知，共有种等可能的结果，其中取出的两个数乘积不小于20的有共6种，则取出的两个数乘积小于20的有10种，，选项C不符合题意；对于D：由树状图可知，共有种等可能的结果，其中取出的两个数相加和为奇数的有，共8种，则取出的两个数相加和为偶数的有8种，故两种情况下的基本事件个数一样，即两种情况下概率一样，选项D不符合题意.故选：A.8.已知二次函数的图象与直线有且只有一个公共点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为的图象与直线有且只有一个公共点，所以仅有一个解，所以仅有一个解，所以，所以，所以即为，令，且开口向下，对称轴为，，如下图：又因为在上的最大值为，最小值为，由图象可知：.故选：C.二、多选题（每小题5分，共20分，在每小题所给的四个选项中有多个选项是符合题目所给的题意的，漏选得2分，选错得0分.）9.下列说法正确的有（）A.命题“任意两个正数、，且”的否定是“存在两个正数、，或”B.已知为全集，“”的充要条件是“”C.已知、均为非零实数，则“”是“”的充分不必要条件D.已知，为实数，则“”的必要不充分条件是“”〖答案〗AB〖解析〗A：根据特称命题与全称命题的否定关系直接得出A正确；B：等价于A是B的子集，等价于，即“”的充要条件是“”，故B正确；C：举反例.设，，系数比满足，但它们的解集不同，故不能推出，故C错误；D：构造函数，则，因为在上递增，所以，所以，是的充要条件，故D错误.故选：AB.10.下列说法正确的是（）A.已知幂函数在上单调递减，则B.函数在定义域内为增函数，则实数的取值范围是C.已知，，，则恒成立D.已知函数为奇函数，则的图象关于点中心对称〖答案〗AC〖解析〗对于A，依题意，，解得，A正确；对于B，依题意，，解得，B错误；对于C，依题意，，C正确；对于D，依题意，，，即，令，则，，所以的图象关于点中心对称，D错误.故选：AC.11.下列有关最值的结论中，正确的是（）A.已知，则函数的最大值为0B.已知，，则的最小值为8C.已知，，，则的最大值为4D.已知，为实数，则的最大值为〖答案〗BC〖解析〗对于A，，则，，当且仅当，即时取等号，A错误；对于B，由，，得，且，，当且仅当，即时取等号，B正确；对于C，，由，得，解得，当且仅当时取等号，C正确；对于D，显然要取到最大值，必有，此时，当且仅当，即时取等号，D错误.故选：BC.12.已知函数，则下列关于的方程的命题正确的有（）A.存在实数，使得方程恰有1个实根B.不存在实数，使得方程恰有2个不等的实根C.存在实数，使得方程恰有3个不等的实根D.不存在实数，使得方程恰有4个不等的实根〖答案〗ACD〖解析〗令，，作出函数，的图象如图：，，当时，，方程无解，即方程无解；当时，，解得，此时恰有一个根，即方程恰有一个根；当时，，解得，此时恰有一个根，即方程恰有一个根；当时，，，有一个根在内，另一根在内，此时方程恰有两个不等实根；当时，，，有一个根在内，另一根在内，此时方程恰有三个不等实根.故选：ACD.三、填空题（4小题，每小题5分，共20分.）13.若关于的方程的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则的值为__________.〖答案〗〖解析〗由可得方程的根为，其中是方程的两根，所以，当为斜边时，，解得，不满足，舍去；当为一条直角边时，设为斜边，则，即，解得，满足.故〖答案〗为：.14.如下图，分别过点（，2，…，）作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点.则的值为__________.〖答案〗〖解析〗由已知，，.故〖答案〗为：.15.已知，，则__________.（结果用，表示）〖答案〗〖解析〗，则，，则，则，，.故〖答案〗为：.16.函数是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的，均有成立，则实数的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗∵是定义在上的偶函数，且当时，，所以当时，，则，∴，则，则等价于，当时为增函数，则，即对任意恒成立，设，则，解得，又，所以.故〖答案〗为：.四、解答题（6小题，共70分.）17.若关于的一元一次不等式组的解集是，求关于的分式方程的非负整数解.解：由不等式组，解得，而不等式组的解集为，则，由分式方程，解得且，于是，即且，又为非负整数且，因此或或，所以分式方程的非负整数解为0或2或3.18.已知关于的一元二次方程.（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（2）当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值.解：（1）依题意，且，解得且，所以的取值范围是且.（2）由（1）知，且，，则，此时方程变为，于是，又，，即，，因此，所以.19.如图①，一张矩形纸片，其中，，先沿对角线对折，点落在点的位置，交于点.

（1）线段与是否相等？请说明理由；（2）如图②，再折叠一次，使点与点重合，得折痕，交于点，求和长.解：（1），理由：如图①，由对折和图形的对称性可知，，，在矩形中，，，，，在和中，，，，，.（2）如图②，设，，则有：，，，在中，，，，即，解得：，，，又，，，，即：，解得：，即：，所求的、长分别为，.20.如图，边长为8的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线上点A，间的一个动点（含端点），过点作于点，点，的坐标分别为，，连接，，.（1）小明探究点的位置发现：当点与点A或点重合时，与的差为定值，进而猜想：对于任意一点，与的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（2）小明进一步探究得出结论：若将“使的面积为整数”的点记作“特别点”，则存在多个“特别点”，且使的周长最小的点也是一个“特别点”.请直接写出所有“特别点”的个数，并直接写出周长最小时“特别点”的坐标.解：（1）正确，理由如下：因为边长为8的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点A，则，，设抛物线〖解析〗式为：，则，解得：，故抛物线的〖解析〗式为：；设，则，因为，可得，，所以.（2）过点P做轴，垂足为H，设，如图：则，当时，则；当时，则；当时，则；当时，则；当时，则；综上所述：，，当时，取最大值为13；当时，取最小值为4；所以，当时，或，即有2个点P；根据二次函数对称性可知：当且为整数，共有9个；所以共有11个“特别点”，当点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，的周长最小，因为，即，可得，当P、E、F三点共线时，最小，此时点P，E的横坐标都为4，将代入得，即，此时的周长最小．21.已知函数的图像关于原点中心对称.（1）求实数的值；（2）判断函数的单调性，并用定义证明；（3）已知，，若，求实数的取值范围.解：（1）在定义域上是奇函数，所以，即，，经检验，当时，原函数是奇函数.（2）在上是减函数，证明如下：由（1）知，任取，，设，则，函数在上是增函数，且，，又，，即，函数在上是减函数.（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，由（2）知在上是减函数，由上式推得，由题意关于的不等式在有解，即存在，使