河南省三门峡市2024届高三上学期第一次大练习数学试题（解析版）

PAGEPAGE1河南省三门峡市2024届高三上学期第一次大练习数学试题第I卷（选择题）一、单选题1.集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，则，因此，.故选：C.2.若复数满足，则（）A. B.4 C. D.2〖答案〗A〖解析〗复数满足，则，所以.故选：A.3.已知非零向量，，满足，，若为在上的投影向量，则向量，夹角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，为在上的投影向量，所以，故故选：B4.设集合，且，，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以，．因为，所以.故选:C5.设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗因为是公比不为1的无穷等比数列，若为递减数列，当，则，所以，令，则，所以，所以时，当，则，所以恒成立，当，则，所以，当时，当，则，此时恒成立，对任意均有，故充分性成立；若存在正整数，当时，，当且，则恒成立，所以对任意均有，但是为递增数列，故必要性不成立，故“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的充分不必要条件；故选：A6.在平面直角坐标系中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头（开始时与圆盘上点重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为，细绳的粗细忽略不计，当时，点与点之间的距离为（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗展开过程中：,故选：D.7.已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图所示，最大面积的截面四边形为等腰梯形，其中，高为，故面积为.故选:D．8.在某次数学节上，甲､乙､丙､丁四位同学分别写下了一个命题：甲：；乙：；丙：；丁：．所写为真命题的是（）A.甲和乙 B.甲和丙 C.丙和丁 D.甲和丁〖答案〗B〖解析〗令，则，由得，则在上单调递增，由得，则在上单调递减，，则，即，故甲正确；，故乙错误；，，即，则，故丙正确；，，即，则，故丁错误，故选：B．二、多选题9.数列的前n项和为Sn，，则有（）A. B.为等比数列C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由题得，两式相减得，即，当时，，所以数列从第项起是等比数列，所以，所以数列的通项为.当时，；当时，符合上式，所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以ABD选项正确，C选项错误.故选：ABD10.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（）A.可能取到数字4 B.中位数可能是2C.极差可能是4 D.众数可能是2〖答案〗BD〖解析〗设这5个数字为，对于A：若取到数字4，不妨设，则，可得，可知这4个数中至少有2个1，不妨设为，则这5个数字的方差，不合题意，故A错误；对于C：因为这5个数字的平均数为2，这5个数字至少有1个1，不妨设为，若极差是4，这最大数为5，不妨设为，则这5个数字的平均数，则，可知这3个数有2个1，1个2，此时这5个数字的方差，不合题意，故C错误；对于BD：例如2，2，2，2，2，可知这5个数字的平均数为2，方差为0，符合题意，且中位数是2，众数是2，故BD正确；故选：BD.11.已知函数满足：，，则（）A.的图象关于直线对称 B.函数是偶函数C.函数在上单调递减 D.函数的值域为〖答案〗AD〖解析〗，由，故，即，由，故，即，则有，即，故、、、，当时，，由函数关于直线对称，故的图象关于直线对称，故A正确；，由为奇函数，故函数为奇函数，故B错误；当时，，取时，即，函数并不单调递减，故C错误；由，故，故D正确.故选：AD.12.设双曲线的焦距为，离心率为e，且a，c，成等比数列，A是E的一个顶点，F是与A不在y轴同侧的焦点，B是E的虚轴的一个端点，PQ为E的任意一条不过原点且斜率为的弦，M为PQ中点，O为坐标原点，则（）A.E的一条渐近线的斜率为B.C.（，分别为直线OM，PQ的斜率）D.若，则恒成立〖答案〗ABC〖解析〗因为a，c，成等比数列，所以，所以且，解得（负根舍），又，所以，所以，即E的一条渐近线的斜率为，故A正确；不妨设F为左焦点，B为虚轴的上端点，则A为右顶点，则BF的斜率，AB的斜率，所以，所以，故B正确；设，，，则，作差后整理得，即，所以，故C正确；设直线，则直线，将代入双曲线方程，得，则，，将k换成得，则与b的值有关，故D错误．故选：ABC．第II卷（非选择题）三、填空题13.在一次知识竞赛的选做题部分，要求选手在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，答题时选手的选法种数为______.〖答案〗24〖解析〗由题意，第1题的选法有种，第2题的选法有种，第3题的选法有种，根据分步乘法原理，答题时选手的选法一共有种.故〖答案〗为：2414.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式，求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.若现有的物体，放在的空气中冷却，以后物体的温度是，则______（参考值，）〖答案〗0.24〖解析〗依题意，，把数据代入公式中，整理得：，两边取自然对数，可得：，即得：.故〖答案〗为：0.24.15.在四棱锥P−ABCD中，已知底面ABCD是边长为的正方形，其顶点P到底面ABCD的距离为3，该四棱锥的外接球O的半径为5，若球心O在四棱锥P−ABCD内，则顶点P的轨迹长度为___________.〖答案〗〖解析〗因为底面是边长为的正方形，所以该正方形外接圆半径，所以球心到底面的距离，又顶点到底面的距离为3，所以点在与底面平行的截面圆的圆周上，由球心在四棱锥内，可得截面圆的半径，故顶点的轨迹长度为.故〖答案〗：.16.已知函数在（为自然对数的底）内有零点，则的最小值为___________.〖答案〗〖解析〗设函数在上的零点为，则，所以在直线，设为坐标原点，则，其最小值就是到直线的距离的平方，所以，设，所以，则，由，当时，；当时，，由，，则，故，故〖答案〗为：.四、解答题17.在中,分别是的内角所对的边,且.（1）求角的大小；（2）若，，求边.解：（1）由和正弦定理可得：，整理得：，由余弦定理得：，因，故得：.（2）由，可得：，又由正弦定理：可得：，由（1）知，代入解得：.18.已知数列满足，．（1）求的通项公式；（2）若，设数列的前n项和，证明：．（1）解：由及，得，所以，当时，有．当时，，符合上式，所以．（2）证明：由（1）得，所以，所以，所以，两式相减，得，所以．因为，所以。19.如图，在四棱锥中，四边形ABCD是直角梯形，平面ABCD，，∥，，点E是PB的中点.（1）证明:平面平面PBC；（2）若平面PAD与平面ABCD所成锐二面角的正切值为2，求直线PD与平面ACE所成角的正弦值.（1）证明：不妨设，则，可得，即，可得，又因为平面ABCD，平面ABCD，则，且，平面PAC，可得平面PAC，且平面PBC，所以平面平面PBC.（2）解：取的中点，可知，如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，设，可得，设平面的法向量，则，令，则，可得，由题意可知：平面的法向量，设平面PAD与平面ABCD所成锐二面角为，则，由，解得（舍负），则，解得，则，可得，设平面的法向量，则，令，则，可得，则，所以直线PD与平面ACE所成角的正弦值.20.为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如下.（1）用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（2）可以认为这次竞赛成绩近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为，的近似值），已知样本标准差，如有的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少（结果取整数）？（3）从的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测份试卷（抽测的份数是随机的），若已知抽测的份试卷都不低于90分，求抽测2份的概率.参考数据：若，则.解：（1）由频率分布直方图可知，平均分；（2）由（1）可知，,设学校期望的平均分约为，则，因为，，所以，即，所以学校的平均分约为72分；（3）由频率分布直方图可知，分数在和的频率分别为和，那么按照分层抽样，抽取10人，其中分数在，应抽取人，分数在应抽取人，记事件：抽测份试卷，事件取出的试卷都不低于90分，则,，，则.21.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程，（2）证明：.（1）解：，，.故曲线在点处的切线方程为.（2）证明：由（1）得.令函数，则，所以是增函数.，，所以存在，使得，即.所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增..因为，所以，所以.故.22.设抛物线方程为，过点的直线分别与抛物线相切于两点，且点在轴下方，点在轴上方.（1）当点的坐标为