河北省张家口市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1河北省张家口市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知空间向量，若与互相垂直，则实数（）A.0 B.1 C.2 D.〖答案〗B〖解析〗因为与互相垂直，所以，解得.故选：B.2.经过两点的直线的方向向量为，则实数（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗由已知得.故选：A.3.已知数列为等差数列，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为数列为等差数列，又，所以，即，于是.故选：A.4.双曲线的左、右焦点分别是，过作斜率为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，则，解得，则，因为，则，所以，所以，解得或(舍去).故选：B.5.已知等比数列的各项均为正数，是数列的前项和，若，则（）A.8 B.128 C.32 D.64〖答案〗D〖解析〗设等比数列的公比为，由题易知，由，且，解得（负舍）.由，即，解得.所以.故选：D.6.在长方体中，为的中点，点为线段的中点，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图建立空间直角坐标系，则，所以，设点到直线的距离为，则，故选：D.7.已知为抛物线上的动点，点到轴的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗过点作的垂线并延长与抛物线的准线交于点，抛物线的焦点，由抛物线的定义，根据图象可得的最小值即为点到直线的距离，故的最小值为.故选：C.8.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的一个交点，且，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗不妨设在第一象限，如下图：由椭圆和双曲线的定义可得：，所以，在中，由余弦定理可得，，，，，.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知点为圆上的动点，则下列选项正确的有（）A.点在圆外 B.C.直线与圆相离 D.若直线为圆的切线，则〖答案〗ABD〖解析〗对A，由题意，得圆的圆心为坐标原点，半径，所以，则点在圆外，故A正确；对B，又，所以，故B正确；对C，圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，故C错误；对D，若直线为圆的切线，则，故D正确；故选：ABD10.已知等差数列和等比数列的各项均为正数，，且，则下列选项中一定成立的有（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为等差数列和等比数列的各项均为正数，且，所以，又，所以，所以，又，解得所以，所以，A错误，B正确；又所以，C正确，D错误.故选：BC.11.在长方体中，四边形为正方形，为的中点，点是上的一点，且，则下列选项正确的有（）A.平面 B.为平面的法向量C.为平面的法向量 D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A：在长方体中，明显有，又面，面，所以平面，A正确；对于B：假设为平面的法向量，则面，又面则，又，面，，所以面，又面所以，则四边形为菱形，与矛盾，B错误；对于C：如图建立空间直角坐标系，其中，所以，所以，又所以为平面的法向量，C正确；对于D：，则所以，D正确.故选：ACD.12.已知椭圆，过原点的直线交椭圆于两点，过点向轴引垂线，垂足为，连接并延长，交椭圆于点，直线和的斜率分别为，则下列选项正确的有（）A. B. C. D.若，则〖答案〗BCD〖解析〗设，且，对于A：，不为定值，A错误；对于B：，B正确；对于C：，C正确；对于D：当时，联立，解方程组，不妨取，由选项得，则直线的方程为，联立，消去得，则，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知两条直线和相互垂直，则___________.〖答案〗〖解析〗由已知两直线垂直可得，解得.故〖答案〗为：.14.直线过椭圆的右焦点，直线交椭圆于两点，为的中点，为坐标原点，若的斜率为1，则椭圆的方程为___________.〖答案〗〖解析〗由题意得直线的方程为，由，解得，则，，令，解得，又因为右焦点在直线上，则，所以，设，则，，解得，所以，则，所以椭圆方程为，故〖答案〗为：.15.已知平行六面体的所有棱长都相等，且，则直线与直线所成角的余弦值为___________.〖答案〗0〖解析〗因为，所以四边形为平行四边形，所以，所以直线与直线所成角和直线与直线所成的角相等，又因为，所以，所以直线与直线垂直，即直线与直线所成角的余弦值为0.故〖答案〗为：0.16.圆锥曲线因其特殊的形状而存在着特殊的光学性质.我们知道，抛物线的光学性质是平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后汇聚于其焦点；双曲线的光学性质是从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.卡式望远镜就是应用这些性质设计的.下图为卡式望远镜的中心截面示意图，其主要由两块反射镜组成，主镜是中央开孔的凹抛物面镜，副镜是双曲线左支的旋转面型凸双曲面镜，主镜对应抛物线的顶点与副镜对应双曲线的中心重合，当平行光线投射到主镜上时，经过主镜反射，将汇聚到主镜的焦点处，但光线尚未汇聚时，又受到以为焦点的凸双曲面镜的反射，穿过主镜中心的开孔后汇聚于另一个焦点处.以的中点为原点，为轴，建立平面直角坐标系.若米，凹抛物面镜的口径为米，凸双曲面镜的口径为1米，要使副镜的反射光线全部通过凹抛物面镜的中央孔洞，则孔洞直径最小为___________米.〖答案〗〖解析〗因为曲线C的焦点坐标为，所以，则抛物线C的方程为，因为，所以，则，解得,，设，又，所以，易知，则则，解得，根据题意，从点反射，与轴的交点，此时孔洞半径最小，即.易知，则,即，解得,直径为.所以要使副镜的反射光线全部通过凹抛物面镜的中央孔洞，则孔洞直径最小为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设数列的前项和为，已知.（1）求数列通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）当时，.又满足上式.所以数列的通项公式为.（2）.设数列的前项和为，则18.已知圆，直线.（1）证明：直线恒过定点；（2）直线与圆交于两点，当最小时，求直线的方程.解：（1）整理得，令，解得，即直线恒过定点；（2）圆即，圆心，又由（1）直线恒过定点若直线与圆交于两点，当时，最小，所以，此时直线，即直线的方程为.19.如图，在四棱锥中，平面，其中，为棱的中点，点满足.（1）证明：向量与向量共面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.解：（1）因为平面，且，所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设，，则，所以，令，则，解得，即存在实数使，所以向量与向量共面；（2），，则在直角梯形中，所以，则，设面的法向量为，则，取得，设设面的法向量为，则，取得，故平面与平面夹角的余弦值为20.已知点是直线上一动点，定点，过点作直线的垂线与线段的中垂线交于点，动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线交于两点，且，求.解：（1）设点，由中垂线的性质可得，即点到直线的距离和到点的距离相等，故点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，故曲线方程为；（2）设直线的方程为，联立，消去得，设，则，因为，则，解方程组，可得，或所以.21.已知满足.（1）证明：数列为等比数列；（2）已知数列的前项和为，证明：.解：（1），两边同时乘以得，令，，变形得，又，，，，明显有，数列为等比数列；（2）由（1）得，则，所以，两式相减得：，，明