2014年四川省高考数学考试卷(理科)

wordword/word2014年省高考数学试卷〔理科〕2014年省高考数学试卷〔理科〕一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分．在每一小题给处的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔5分〕〔2014•〕集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，如此A∩B=〔〕A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{0，1}D．{﹣1，0}2．〔5分〕〔2014•〕在x〔1+x〕6的展开式中，含x3项的系数为〔〕A．30B．20C．15D．103．〔5分〕〔2014•〕为了得到函数y=sin〔2x+1〕的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点〔〕A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行一定1个单位长度4．〔5分〕〔2014•〕假设a＞b＞0，c＜d＜0，如此一定有〔〕A．＞B．＜C．＞D．＜5．〔5分〕〔2014•〕执行如如下图的程序框图，假设输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为〔〕A．0B．1C．2D．36．〔5分〕〔2014•〕六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，如此不同的排法共有〔〕A．192种B．216种C．240种D．288种7．〔5分〕〔2014•〕平面向量=〔1，2〕，=〔4，2〕，=m+〔m∈R〕，且与的夹角等于与的夹角，如此m=〔〕A．﹣2B．﹣1C．1D．28．〔5分〕〔2014•〕如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，如此sinα的取值围是〔〕A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]9．〔5分〕〔2014•〕f〔x〕=ln〔1+x〕﹣ln〔1﹣x〕，x∈〔﹣1，1〕．现有如下命题：①f〔﹣x〕=﹣f〔x〕；②f〔〕=2f〔x〕③|f〔x〕|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是〔〕A．①②③B．②③C．①③D．①②10．〔5分〕〔2014•〕F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2〔其中O为坐标原点〕，如此△ABO与△AFO面积之和的最小值是〔〕A．2B．3C．D．二、填空题：本大题共5小题，每一小题5分，共25分11．〔5分〕〔2014•〕复数=_________．12．〔5分〕〔2014•〕设f〔x〕是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1〕时，f〔x〕=，如此f〔〕=_________．13．〔5分〕〔2014•〕如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，如此河流的宽度BC约等于_________m．〔用四舍五入法将结果准确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73〕14．〔5分〕〔2014•〕设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P〔x，y〕．如此|PA|•|PB|的最大值是_________．15．〔5分〕〔2014•〕以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ〔x〕组成的集合：对于函数φ〔x〕，存在一个正数M，使得函数φ〔x〕的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1〔x〕=x3，φ2〔x〕=sinx时，φ1〔x〕∈A，φ2〔x〕∈B．现有如下命题：①设函数f〔x〕的定义域为D，如此“f〔x〕∈A〞的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f〔a〕=b〞；②函数f〔x〕∈B的充要条件是f〔x〕有最大值和最小值；③假设函数f〔x〕，g〔x〕的定义域一样，且f〔x〕∈A，g〔x〕∈B，如此f〔x〕+g〔x〕∉B．④假设函数f〔x〕=aln〔x+2〕+〔x＞﹣2，a∈R〕有最大值，如此f〔x〕∈B．其中的真命题有_________．〔写出所有真命题的序号〕三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．〔12分〕〔2014•〕函数f〔x〕=sin〔3x+〕．〔1〕求f〔x〕的单调递增区间；〔2〕假设α是第二象限角，f〔〕=cos〔α+〕cos2α，求cosα﹣sinα的值．17．〔12分〕〔2014•〕一款击鼓小游戏的规如此如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐如此扣除200分〔即获得﹣200分〕．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．〔1〕设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；〔2〕玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？〔3〕玩过这款游戏的许多人都发现．假设干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．18．〔12分〕〔2014•〕三棱锥A﹣BCD与其侧视图、俯视图如如下图，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．〔1〕证明：P是线段BC的中点；〔2〕求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．19．〔12分〕〔2014•〕设等差数列{an}的公差为d，点〔an，bn〕在函数f〔x〕=2x的图象上〔n∈N*〕．〔1〕假设a1=﹣2，点〔a8，4b7〕在函数f〔x〕的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；〔2〕假设a1=1，函数f〔x〕的图象在点〔a2，b2〕处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn．20．〔13分〕〔2014•〕椭圆C：+=1〔a＞b＞0〕的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．〔1〕求椭圆C的标准方程；〔2〕设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ〔其中O为坐标原点〕；②当最小时，求点T的坐标．21．〔14分〕〔2014•〕函数f〔x〕=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．〔1〕设g〔x〕是函数f〔x〕的导函数，求函数g〔x〕在区间[0，1]上的最小值；〔2〕假设f〔1〕=0，函数f〔x〕在区间〔0，1〕有零点，求a的取值围．2014年省高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分．在每一小题给处的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔5分〕〔2014•〕集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，如此A∩B=〔〕A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{0，1}D．{﹣1，0}考点：交集与其运算．专题：计算题．分析：计算集合A中x的取值围，再由交集的概念，计算可得．解答：解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，∴A∩B={﹣1，0，1，2}．应当选：A．点评：此题属于容易题，集合知识是高中局部的根底知识，也是根底工具，高考中涉与到对集合的根本考查题，一般都比拟容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分．2．〔5分〕〔2014•〕在x〔1+x〕6的展开式中，含x3项的系数为〔〕A．30B．20C．15D．10考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求出〔1+x〕6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数．然后求解即可．解答：解：〔1+x〕6展开式项Tr+1=C6rxr，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴〔1+x〕6展开式中x2项的系数为15，在x〔1+x〕6的展开式中，含x3项的系数为：15．应当选：C．点评：此题考查二项展开式的通项的简单直接应用．牢记公式是根底，计算准确是关键．3．〔5分〕〔2014•〕为了得到函数y=sin〔2x+1〕的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点〔〕A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行一定1个单位长度考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据y=sin〔2x+1〕=sin2〔x+〕，利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，得出结论．解答：解：∵y=sin〔2x+1〕=sin2〔x+〕，∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数y=sin〔2x+1〕的图象，应当选：A．点评：此题主要考查函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，属于根底题．4．〔5分〕〔2014•〕假设a＞b＞0，c＜d＜0，如此一定有〔〕A．＞B．＜C．＞D．＜考点：不等式比拟大小；不等关系与不等式．专题：不等式的解法与应用．分析：利用特例法，判断选项即可．解答：解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，如此，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确．应当选：D．点评：此题考查不等式比拟大小，特值法有效，导数计算正确．5．〔5分〕〔2014•〕执行如如下图的程序框图，假设输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为〔〕A．0B．1C．2D．3考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：算法的功能是求可行域，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，求出最大值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求可行域，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．应当选：C．点评：此题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．6．〔5分〕〔2014•〕六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，如此不同的排法共有〔〕A．192种B．216种C．240种D．288种考点：排列、组合与简单计数问题．专题：应用题；排列组合．分析：分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．解答：解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．应当选：B．点评：此题考查排列、组合与简单计数问题，考查学生的计算能力，属于根底题．7．〔5分〕〔2014•〕平面向量=〔1，2〕，=〔4，2〕，=m+〔m∈R〕，且与的夹角等于与的夹角，如此m=〔〕A．﹣2B．﹣1C．1D．2考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量与应用．分析：由求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案．解答：解：∵向量=〔1，2〕，=〔4，2〕，∴=m+=〔m+4，2m+2〕，又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，应当选：D点评：此题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档．8．〔5分〕〔2014•〕如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，如此sinα的取值围是〔〕A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值围是∪．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．解答：解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值围是∪．不妨取AB=2．在Rt△AOA1中，==．sin∠C1OA1=sin〔π﹣2∠AOA1〕=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，=1．∴sinα的取值围是．应当选：B．点评：此题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．9．〔5分〕〔2014•〕f〔x〕=ln〔1+x〕﹣ln〔1﹣x〕，x∈〔﹣1，1〕．现有如下命题：①f〔﹣x〕=﹣f〔x〕；②f〔〕=2f〔x〕③|f〔x〕|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是〔〕A．①②③B．②③C．①③D．①②考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质与应用．分析：根据中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案．解答：解：∵f〔x〕=ln〔1+x〕﹣ln〔1﹣x〕，x∈〔﹣1，1〕，∴f〔﹣x〕=ln〔1﹣x〕﹣ln〔1+x〕=﹣f〔x〕，即①正确；f〔〕=ln〔1+〕﹣ln〔1﹣〕=ln〔〕﹣ln〔〕=ln〔〕=ln[〔〕2]=2ln〔〕=2[ln〔1+x〕﹣ln〔1﹣x〕]=2f〔x〕，故②正确；当x∈[0，1〕时，|f〔x〕|≥2|x|⇔f〔x〕﹣2x≥0，令g〔x〕=f〔x〕﹣2x=ln〔1+x〕﹣ln〔1﹣x〕﹣2x〔x∈[0，1〕〕∵g′〔x〕=+﹣2=≥0，∴g〔x〕在[0，1〕单调递增，g〔x〕=f〔x〕﹣2x≥g〔0〕=0，又f〔x〕≥2x，又f〔x〕与y=2x为奇函数，所以丨f〔x〕丨≥2丨x丨成立，故③正确；故正确的命题有①②③，应当选：A点评：此题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档．10．〔5分〕〔2014•〕F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2〔其中O为坐标原点〕，如此△ABO与△AFO面积之和的最小值是〔〕A．2B．3C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线中的最值与围问题．分析：可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理与•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．解答：解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，直线AB与x轴的交点为M〔〔0，m〕，由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，从而，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2．不妨令点A在x轴上方，如此y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO==．当且仅当，即时，取“=〞号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，应当选B．点评：求解此题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用根本不等式时，应注意“一正，二定，三相等〞．二、填空题：本大题共5小题，每一小题5分，共25分11．〔5分〕〔2014•〕复数=﹣2i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩大和复数．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法如此化简所给的复数，可得结果．解答：解：复数===﹣2i，故答案为：﹣2i．点评：此题主要考查两个复数代数形式的乘除法法如此的应用，属于根底题．12．〔5分〕〔2014•〕设f〔x〕是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1〕时，f〔x〕=，如此f〔〕=1．考点：函数的值．专题：计算题．分析：由函数的周期性f〔x+2〕=f〔x〕，将求f〔〕的值转化成求f〔〕的值．解答：解：∵f〔x〕是定义在R上的周期为2的函数，∴=1．故答案为：1．点评：此题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题〞．13．〔5分〕〔2014•〕如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，如此河流的宽度BC约等于60m．〔用四舍五入法将结果准确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73〕考点：余弦定理的应用；正弦定理；正弦定理的应用．专题：应用题；解三角形．分析：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度．解答：解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，如此Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m∴CD==46≈79.58m．∴BC=CD﹣BD=79.58﹣19.5=60.08≈60m故答案为：60m点评：此题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．14．〔5分〕〔2014•〕设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P〔x，y〕．如此|PA|•|PB|的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，如此有PA⊥PB；再利用根本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A〔0，0〕，动直线mx﹣y﹣m+3=0即m〔x﹣1〕﹣y+3=0，经过点定点B〔1，3〕，注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，如此有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5〔当且仅当时取“=〞〕故答案为：5点评：此题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直〞这一特征是此题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由根本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．15．〔5分〕〔2014•〕以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ〔x〕组成的集合：对于函数φ〔x〕，存在一个正数M，使得函数φ〔x〕的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1〔x〕=x3，φ2〔x〕=sinx时，φ1〔x〕∈A，φ2〔x〕∈B．现有如下命题：①设函数f〔x〕的定义域为D，如此“f〔x〕∈A〞的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f〔a〕=b〞；②函数f〔x〕∈B的充要条件是f〔x〕有最大值和最小值；③假设函数f〔x〕，g〔x〕的定义域一样，且f〔x〕∈A，g〔x〕∈B，如此f〔x〕+g〔x〕∉B．④假设函数f〔x〕=aln〔x+2〕+〔x＞﹣2，a∈R〕有最大值，如此f〔x〕∈B．其中的真命题有①③④．〔写出所有真命题的序号〕考点：命题的真假判断与应用；充要条件；函数的值域．专题：新定义；极限思想；函数的性质与应用；不等式的解法与应用．分析：根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到此题的结论．解答：解：〔1〕对于命题①“f〔x〕∈A〞即函数f〔x〕值域为R，“∀b∈R，∃a∈D，f〔a〕=b〞表示的是函数可以在R中任意取值，故有：设函数f〔x〕的定义域为D，如此“f〔x〕∈A〞的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f〔a〕=b〞∴命题①是真命题；〔2〕对于命题②假设函数f〔x〕∈B，即存在一个正数M，使得函数f〔x〕的值域包含于区间[﹣M，M]．∴﹣M≤f〔x〕≤M．例如：函数f〔x〕满足﹣2＜f〔x〕＜5，如此有﹣5≤f〔x〕≤5，此时，f〔x〕无最大值，无最小值．∴命题②“函数f〔x〕∈B的充要条件是f〔x〕有最大值和最小值．〞是假命题；〔3〕对于命题③假设函数f〔x〕，g〔x〕的定义域一样，且f〔x〕∈A，g〔x〕∈B，如此f〔x〕值域为R，f〔x〕∈〔﹣∞，+∞〕，并且存在一个正数M，使得﹣M≤g〔x〕≤M．∴f〔x〕+g〔x〕∈R．如此f〔x〕+g〔x〕∉B．∴命题③是真命题．〔4〕对于命题④∵函数f〔x〕=aln〔x+2〕+〔x＞﹣2，a∈R〕有最大值，∴假设a＞0，当x→+∞时，→0，ln〔x+2〕→+∞，∴aln〔x+2〕→+∞，如此f〔x〕→+∞．与题意不符；假设a＜0，当x→﹣2时，→，ln〔x+2〕→﹣∞，∴aln〔x+2〕→+∞，如此f〔x〕→+∞．与题意不符．∴a=0．即函数f〔x〕=〔x＞﹣2〕当x＞0时，，∴，即；当x=0时，f〔x〕=0；当x＜0时，，∴，即．∴．即f〔x〕∈B．故命题④是真命题．故答案为①③④．点评：此题考查了函数值域的概念、根本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．此题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．〔12分〕〔2014•〕函数f〔x〕=sin〔3x+〕．〔1〕求f〔x〕的单调递增区间；〔2〕假设α是第二象限角，f〔〕=cos〔α+〕cos2α，求cosα﹣sinα的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：〔1〕令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的围，可得函数的增区间．〔2〕由函数的解析式可得f〔〕=sin〔α+〕，又f〔〕=cos〔α+〕cos2α，可得sin〔α+〕=cos〔α+〕cos2α，化简可得〔cosα﹣sinα〕2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα的值．解答：解：〔1〕∵函数f〔x〕=sin〔3x+〕，令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈z．〔2〕由函数的解析式可得f〔〕=sin〔α+〕，又f〔〕=cos〔α+〕cos2α，∴sin〔α+〕=cos〔α+〕cos2α，即sin〔α+〕=cos〔α+〕〔cos2α﹣sin2α〕，∴sinαcos+cosαsin=〔cos2α﹣sin2α〕〔sinα+cosα〕．又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，此时cosα﹣sinα=﹣．当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．点评：此题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，属于中档题．17．〔12分〕〔2014•〕一款击鼓小游戏的规如此如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐如此扣除200分〔即获得﹣200分〕．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．〔1〕设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；〔2〕玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？〔3〕玩过这款游戏的许多人都发现．假设干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．考点：离散型随机变量与其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：〔1〕设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；〔2〕求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论．〔3〕计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进展分析即可．解答：解：〔1〕X可能取值有﹣200，10，20，100．如此P〔X=﹣200〕=，P〔X=10〕==P〔X=20〕==，P〔X=100〕==，故分布列为：X﹣2001020100P由〔1〕知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，如此至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣．由〔1〕知，每盘游戏或得的分数为X的数学期望是E〔X〕=〔﹣200〕×+10×+20××100=﹣=．这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过假设干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．点评：此题主要考查概率的计算，以与离散型分布列的计算，以与利用期望的计算，考查学生的计算能力．18．〔12分〕〔2014•〕三棱锥A﹣BCD与其侧视图、俯视图如如下图，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．〔1〕证明：P是线段BC的中点；〔2〕求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．考点：二面角的平面角与求法；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角．专题：空间向量与应用．分析：〔1〕用线面垂直的性质和反证法推出结论，〔2〕先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值．解答：解：〔1〕由三棱锥A﹣BCD与其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2设O为BD的中点，连接OA，OC于是OA⊥BD，OC⊥BD所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN∥NP，故BD⊥NP假设P不是线段BC的中点，如此直线NP与直线AC是平面ABC相交直线从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点〔2〕以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如此A〔0，0，〕，M〔，O，〕，N〔，0，〕，P〔，，0〕于是，，设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和由，如此，设z1=1，如此由，如此，设z2=1，如此cos===所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值点评：此题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题．19．〔12分〕〔2014•〕设等差数列{an}的公差为d，点〔an，bn〕在函数f〔x〕=2x的图象上〔n∈N*〕．〔1〕假设a1=﹣2，点〔a8，4b7〕在函数f〔x〕的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；〔2〕假设a1=1，函数f〔x〕的图象在点〔a2，b2〕处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn．考点：数列的求和；数列与函数的综合．专题：函数的性质与应用；等差数列与等比数列．分析：〔1〕由于点〔a8，4b7〕在函数f〔x〕=2x的图象上，可得，又等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得=2d．由于点〔a8，4b7〕在函数f〔x〕的图象上，可得=b8，进而得到=4=2d，解得d．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．〔2〕利用导数的几何意义可得函数f〔x〕的图象在点〔a2，b2〕处的切线方程，即可解得a2．进而得到an，bn．再利用“错位相减法〞即可得出．解答：解：〔1〕∵点〔a8，4b7〕在函数f〔x〕=2x的图象上，∴，又等差数列{an}的公差为d，∴==2d，∵点〔a8，4b7〕在函数f〔x〕的图象上，∴=b8，∴=4=2d，解得d=2．又a1=﹣2，∴Sn==﹣2n+=n2﹣3n．〔2〕由f〔x〕=2x，∴f′〔x〕=2xln2，∴函数f〔x〕的图象在点〔a2，b2〕处的切线方程为，又，令y=0可得x=，∴，解得a2=2．∴d=a2﹣a1=2﹣1=1．∴an=a1+〔n﹣1〕d=1+〔n﹣1〕×1=n，∴bn=2n．∴．∴Tn=+…++，∴2Tn=1+++…+，两式相减得Tn=1++…+﹣=﹣==．点评：此题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式与其前n项和公式等根底知识与根本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“错位相减法〞，属于难题．20．〔13分〕〔2014•〕椭圆C：+=1〔a＞b＞0〕的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．〔1〕求椭圆C的标准方程；〔2〕设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ〔其中O为坐标原点〕；②当最小时，求点T的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与围问题．分析：第〔1〕问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2与焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第〔2〕问中，先设点的坐标与直线PQ的方程，利用两点间距离公式与弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．解答：解：〔1〕依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1．〔2〕设T〔﹣3，m〕，P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕，PQ的中点为N〔x0，y0〕，①证明：由F〔﹣2，0〕，可设直线PQ的方程为x=my﹣2，由⇒〔m2+3〕y2﹣4my﹣2=0，所以于是，从而，即，如此，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，如此〔当且仅当x2=2时，取“=〞号〕，所以当最