九章直线圆方程

高考数学

(山东专用)§9.2圆的方程课标卷、其他自主命题省（区、市）卷题组考点圆的方程五年高考1.(2019北京文,11,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程

为

.答案(x-1)2+y2=4解析本题考查了圆的方程和抛物线的方程与性质;考查了直线与圆的位置关系.∵抛物线的方程为y2=4x,∴其焦点坐标为F(1,0),准线l的方程为x=-1.又∵圆与直线l相切,∴圆

的半径r=2,故圆的方程为(x-1)2+y2=4.易错警示

由抛物线方程求焦点坐标时出错,从而导致错解.2.(2018天津文,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为

.答案

x2+y2-2x=0解析本题主要考查圆的方程.解法一:易知以(0,0),(1,1),(2,0)为顶点的三角形为等腰直角三角形,其外接圆的圆心为(1,0),半

径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.解法二:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由已知条件可得

解得

所以所求圆的方程为x2+y2-2x=0.方法总结常见的求圆的方程的方法:(1)利用圆的几何特征,求出圆心坐标和半径长,从而写出圆的标准方程.(2)利用待定系数法.若利用所给条件易求圆心的坐标和半径长,则常用标准方程求解;若所给

条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点,则常用一般方程求解.3.(2015课标全国Ⅰ,14,5分)一个圆经过椭圆

+

=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为

.答案

+y2=

解析由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分线

的方程为2x-y-3=0.令y=0,得x=

,所以圆心坐标为

,则半径r=4-

=

.故该圆的标准方程为

+y2=

.评析

本题考查圆和椭圆的方程,求出圆心坐标是解题关键.4.(2015湖北文,16,5分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的

上方),且|AB|=2.

(1)圆C的标准方程为

;(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为

.答案(1)(x-1)2+(y-

)2=2(2)-

-1解析(1)记AB的中点为D,在Rt△BDC中,易得圆C的半径r=BC=

.因此圆心C的坐标为(1,

),所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-

)2=2.(2)因为点B的坐标为(0,

+1),C的坐标为(1,

),所以直线BC的斜率为-1,所以所求切线的斜率为1.由点斜式得切线方程为y=x+

+1,故切线在x轴上的截距为-

-1.A组2017—2019年高考模拟·考点基础题组考点圆的方程三年模拟1.(2018山东齐河实验中学复习,1)已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与y轴的交点,且圆C与直线x+

y+3=0相切,则圆C的标准方程为

()A.x2+(y-1)2=8

B.x2+(y+1)2=8C.(x-1)2+(y+1)2=8

D.(x+1)2+(y-1)2=8答案

A对于直线x-y+1=0,令x=0,得y=1,∴圆C的圆心为(0,1),设圆C的半径为r,∵圆C与直线x+y+3=0相切,∴r=

=2

,∴圆C的标准方程为x2+(y-1)2=8.故选A.2.(2018山东德州模拟,13)已知圆C的圆心与点M(1,1)关于直线x-y+1=0对称,并且圆C与双曲线

-y2=1的渐近线相切,则圆C的方程为

.答案

x2+(y-2)2=3解析因为圆C的圆心与点M(1,1)关于直线x-y+1=0对称,所以圆C的圆心为(0,2),因为双曲线

-y2=1的渐近线方程为x±

y=0且与圆C相切,所以圆C的半径为

=

,所以圆C的方程为x2+(y-2)2=3.B组2017—2019年高考模拟·专题综合题组时间:20分钟分值:35分一、填空题(每小题5分,共10分)1.(2019山东潍坊期末,13)若直线3x+4y+12=0与两坐标轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则△AOB内切圆的标准方程为

.答案(x+1)2+(y+1)2=1解析设△AOB内切圆的半径为r,则

·OA·r+

·OB·r+

·AB·r=

×3×4,即r=1,所以圆心坐标为(-1,-1),所以△AOB内切圆的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=1.2.(2019山东淄博3月模拟,16)抛物线x2=4y的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上

的动点,当△FPM为等边三角形时,△FPM外接圆的方程为

.答案

+(y-1)2=

解析由题可知准线方程为y=-1,F(0,1).设P

.由PM=PF及抛物线的定义可知PM垂直于准线,∴M(x,-1).又由PM=MF,可得

+1=

,解得x=±2

.当x=-2

时,P(-2

,3),M(-2

,-1).△FPM为等边三角形⇒△FPM外接圆的圆心与重心重合,∴外接圆的圆心坐标为

,外接圆的半径为

=

.当x=2

时,同理可得圆心坐标为

,半径为

.∴△FPM外接圆的方程为

+(y-1)2=

.二、解答题(共25分)3.(2019山东联考,19)椭圆C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1且斜率为k的直线l与椭圆C相交于M,N两点.已知当k=

时,MF2⊥F1F2,且△MF1F2的面积为2

.(1)求椭圆C的方程;(2)当k=1时,求过点M,N且圆心在x轴上的圆的方程.解析(1)由已知得

=

,

|MF2||F1F2|=2

,所以|F1F2|=4,|MF2|=

,所以c=2,

=

⇒a2-4=

a⇒a=2

,b=2,所以椭圆C的方程为

+

=1.(2)当k=1时,l:y=x+2,与椭圆C的方程联立得3x2+8x=0,所以x1=0,x2=-

,所以M,N的坐标为(0,2),

,所以线段MN的中点为

,线段MN的中垂线方程为y-

=-

,令y=0,得x=-

,即圆心坐标为

,所以半径为

=

,所以圆的方程为

+y2=

.4.(2018山东聊城期末,19)在平面直角坐标系中,已知圆心在直线x-2y=0上,圆C经过点A(4,0),但

不经过坐标原点,并且直线4x-3y=0与圆C相交所得的弦长为4.(1)求圆C的一般方程;(2)若从点M(-4,1)发出的光线经过x轴反射,反射光线刚好通过圆C的圆心,求反射光线所在直

线的方程(用一般式表达).解析(1)设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,因为圆心C在直线x-2y=0上,所以a-2b=0,①又因为圆C经过点A(4,0),所以(4-a)2+b2=r2,②而圆心到直线4x-3y=0的距离d=

=

,易得d=

,即

=

,③由①②③得

或

又因为(x-2)2+(y-1)2=5经过坐标原点,所