三角函数的最值问题初探

三角函数的最值问题分类例析三角函数式的最值问题是函数最值的重要组成部分，也是历屉高考的热点之一。三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与代数中的二次函数、一元二次议程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。因此，三角函数的最值问题的求解，往往要综合应用多方面的知识。三角函数的最值问题的类型很多，其常见类型有以下几种：y=asinx+b（或y=acosx+b）型处理方法：利用，即可求解，此时必须注意字母a的符号对最值的影响。例1函数y=acosx+b（a、b为常数），若－7≤y≤1，求bsinx+acosx的最大值.剖析：函数y=acosx+b的最值与a的符号有关，故需对a分类讨论.解：当a＞0时，a=4，b=－3；当a=0时，不合题意；当a＜0时，a=－4，b=－3.当a=4，b=－3时，bsinx+acosx=－3sinx+4cosx=5sin（x+）（tan=－）；当a=－4，b=－3时，bsinx+acosx=－3sinx－4cosx=5sin（x+）（tan=）.∴bsinx+acosx的最大值为5.例2．例3已知函数的定义域为，值域为，求常数、的值.解：∵，.∵，∴，∴.当时，.∴解得当时，.∴解得故、的值为或感悟：分类讨论是重要的数学思想方法，本例若不对常数进行讨论，将会出错。y=asinx+bcosx型处理方法：引入辅助角，化为y=sin（x+）,利用函数即可求解。Y=asinx+bsinxcosx+mcosx+n型亦可以化为此类。例3。已知f(x)=2cosx+sin2x+a,若x＜2,求a的取值范围。注：本题综合运用三角恒等变形，三角函数的单调性，不等式的性质，函数的恒成立等知识，是一个较好的三角函数综合题。例4．求函数y=asinx+bcosx的最值。解：y=asinx+bcosx=sin(x+arctg)∴当x=2k+--arctg时，ymax=当x=2k+--arctg时，ymin=--例5．求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值、最大值。并写出函数y取最值时的x的集合。解：∵y=sin2x+2cos2x+1=sin2x+cos2x+2=sin（2x+）+2∴当sin（2x+）=--1时，有ymin=2--.当sin（2x+）=1时，有ymax=2+.此时有2x+=2k--,x=k--(kz)2x+=2k+,x=k+(kz)故函数y取最小值2--时x的集合是{x∣x=k--,kz}y取最大值2+时x的集合是{x∣x=k+,kz}从上面三例可以清晰地看出，这一类的三角函数的最值求解中运用的基本的方法是“利用辅助角法”，将较复杂的三角式转化成“Asin()”的形式，将异名三角比化归成同名三角比。同时，也应对自变量的取值范围要仔细地考察。y=asinx+bsinx+c（或y=acosx+bcosx+c）型例6．已知：定义在上的减函数，使得对一切实数均成立，求实数的范围。解：由题意可得，即，又，，，，，或.例7．如果∣x∣≤求函数f(x)=cos2x+sinx的最大、最小值。解：y=--sin2x+sinx+1=--（sinx--）2+设sinx=t得y=--（t--）2+由题设∣x∣≤.∴-≤sinx≤∴-≤t≤因为f(x)在[-，]是增函数，在[，]是减函数∴当x=-时，=当x=时，=上例就是利用在闭区间上求二次函数最值的方法，就可以求含三角式的二次函数的最值。但是在运用这个方法前，首先要将引用三角比之间的转换使式子中只含有同名的三角比，再把此三角比视为二次函数的自变量。例8、在△ABC中，求cosAcosBcosC的最大值。本题是一个经典习题，有多种解法。下面解法中把角C当作主元化为二次形式，再进行配方，又利用，此法具有一般性。例9．设。求f(x)的最大、小值。分析：二次函数，分类讨论。令。所以则ⅰ）当时，即：-4≤a≤4时，；当-4≤a≤0时，；当0≤a≤4时，；ⅱ）当时，即a≤-4，；。ⅲ）当时，即a≥4，；。形如y=的最值例10．求函数y=的最小值（0<x<）解：∴0<x<∵sinx+cosx–1≠0y=1+=1+(0<x<)∴0<-1≤-1∴y≥1+=3+2∴函数y在0<x范围内的最小值3+2这是一例分子、分母只有常数项不同的三角函数式，便可以在分子中添置辅助项后，通过恒等变形把它化成只有分母含有自变量的三角函数式，只需研究分母的最值，就能求出原函数的最值。在这样的变形中若遇到要把分子“翻下去”作为繁分式分母一部分时，这个“翻下去”的式子不能为零，如果这个式子可能为零，则应将为零的情况另作处理。“设其不为零的”情况下继续解下去，最后把各种情况下求得的值综合起来考虑最值。例11．.y=的最大值是_________，最小值是_________.解析一：y==1－.当sinx=－1时，得ymin=－1，当sinx=1时，得ymax=.解析二：原式sinx=（∵y≠1）||≤1－1≤y≤.∴ymax=，ymin=－1.答案：－1例12．.y=（0＜x＜π）的最小值是________.解析一：y=ysinx+cosx=2sin（x+）=2sin（x+）=（x∈（0，π））0＜≤1y≥.∴ymin=.解析二：y可视为点A（－sinx，cosx），B（0，2）连线的斜率kAB，而点A的轨迹x∈（0，π）是单位圆在第二、三象限的部分（如下图），易知当A（－，）时，ymin=kAB=.用三角代换求某些代数函数的最值。例13．求函数y=x+的最大、最小值解：∵xR∴可设x=sin(-)则有y=sin+∣cos∣∵-∴cos≥0∴y=sin+cos=sin(+)∵-∴-≤≤+≤∴-1≤sin(+)当=-亦即x=-1函数y=-1当=亦即x=函数y=上述例中都运用了三角代换能使某些代数函数的最值问题得到最解决。在这类题型的解题中，必需确定所设三角中角的变化范围，这是十分重要的环节，否则在后面的解题就得分类讨论或者发生矛盾的现象，甚至使整题前功尽弃。六、含有sinx±cosx,sinxcosx的函数的最值型对于含有sinx±cosx,sinxcosx的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t,,将sinxcosx转化为t的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。例14．求y=的最值？思悟小结1.求三角函数最值的常用方法有：①配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；②化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；③数形结合