高中数学北师大版必修1学案3-6指数函数幂函数对数函数增长的比较

§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较知识点三种函数类型的增长比较[填一填]在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)，y＝xn(n>0)都是增(填“增”或“减”)函数，但它们的增长速度不同，而且在不同的“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并会远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax<xn<ax.[答一答]怎样理解指数函数、幂函数、对数函数增长情况具有一定规律性？提示：一般地，对于指数函数y＝ax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.同样地，对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax<xn.综上所述，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax<xn<ax.函数模型的选取：(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝xn(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快．类型一函数增长快慢的比较【例1】试利用图像比较y＝x2和y＝2x的增长情况．【思路探究】应首先利用列表描点法画出函数图像，再通过图像比较其增长情况．【解】为观察到y＝x2和y＝2x的图像和全貌，便于比较其增长情况，列如下两表：对应表1的图像如图(1)．对应表2的图像如图(2)．由图(1)可以看到，y＝2x和y＝x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16)．结合图像可得：当x∈(0,2)时，2x>x2；当x∈(2,4)时，2x<x2；当x>4时，2x>x2.再结合图(2)可以发现，当自变量x越来越大时，y＝2x的图像就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道．规律方法(1)我们常把指数的这种快速剧增形象地称为“指数爆炸”．(2)在计算器或计算机中，1.10×1012常表示成1.10E＋12.(3)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x增长，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)则增长会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax<xn<ax.在给出的四个函数y＝3x，y＝x3，y＝3x，y＝log3x中，当x∈(3，＋∞)时，其中增长速度最快的函数是(B)A．y＝3x B．y＝3xC．y＝x3 D．y＝log3x解析：随着x的增大，函数y＝ax(a>1)的增速会远远超过y＝xn(n>0)的增速，而函数y＝logax(a>1)的增长速度最慢．故选B.类型二比较大小【思路探究】方法1：数形结合法．方法2：化为同底数的对数函数，利用对数函数的单调性来比较大小，不可化为同底数的，与0比较，或与1比较．【解】规律方法对于对数函数，当真数x>1时，在x轴上方或下方均有“底数越大，图像越偏下”；当真数0<x<1时，在x轴上方或下方均有“底数越大，图像越偏上”．反之由图像的位置也能确定底数的大小关系．四个数2.40.8,3.60.8，log0.34.2，log0.4A．3.60.8>log0.40.5>2.40.8>log0.3B．3.60.8>2.40.8>log0.34.2>log0.4C．log0.40.5>3.60.8>2.40.8>log0.3D．3.60.8>2.40.8>log0.40.5>log0.3解析：∵y＝x0.8在(0，＋∞)上是增函数，又3.6>2.4>1，∴3.60.8>2.40.8>1.∵log0.34.2<log0.31＝log0.41<log0.40.5<log0.40.4＝1，∴log0.34.2<0<log0.40.5<1，∴3.60.8>2.40.8>log0.40.5>log0.3类型三不同增长的函数模型的实际应用【例3】某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？【思路探究】某个奖励模型符合公司要求，即当x∈[10，1000]时，能够满足y≤5，且eq\f(y,x)≤25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．【解】借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像(如图所示)．观察图像发现，在区间[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1000]上单调递增，当x∈(20,1000]时，y>5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝1.002x，由函数的图像，并利用计算器计算可知，在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10,1000]上单调递增，因此当x>x0时，y>5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1000]上单调递增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算当x∈[10,1000]时，是否有eq\f(y,x)＝eq\f(log7x＋1,x)≤0.25成立．令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1000]．利用计算器或计算机作出函数f(x)的图像如图所示，由图像可知它是单调递减的，因此f(x)<f(10)≈－0.3167<0，即log7x＋1<0.25x.所以当x∈[10,1000]时，eq\f(log7x＋1,x)<0.25，说明按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金不会超过利润的25%.综上所述，模型y＝log7x＋1符合公司要求．规律方法从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型增长速度要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增长的含义．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位为：元/102kg)与上市时间时间/t50110250种植成本/Q150108150(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q和上市时间的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bx，Q＝a·logat；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．解：(1)由提供的数据知道，描述西红柿的种植成本Q与上市时间t之间的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bx，Q＝a·logat中任意一个进行描述时都应有a≠0，而此时上述四个函数中有三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以，选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．以表格所提供的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c得到：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(150＝2500a＋50b＋c，,108＝12100a＋110b＋c，,150＝62500a＋250b＋c，))解上述方程组得a＝eq\f(1,200)，b＝－eq\f(3,2)，c＝eq\f(425,2).所以，描述西红柿种植成本Q和上市时间t变化关系的函数为Q＝eq\f(1,200)t2－eq\f(3,2)t＋eq\f(425,2).(2)由(1)可知当上市t＝150天时，种植成本为100元/102——如何选择函数模型——指数函数型模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；对数函数型模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1，x>0)；幂函数型模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．在解决实际问题时，我们要根据实际情况灵活选取函数的模型．(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数型模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数型模型．(3)幂函数型模型y＝xα(α>0)可以描述增长幅度不同的变化，α值较小(α≤1)时，增长速度较慢；α值较大(α>1)时，增长速度较快．【例4】某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人，假如你是厂长，将会采用什么办法估算以后几个月的产量？(注：幂函数型模型：y＝aeq\r(x)＋b，指数函数型模型：y＝abx＋c)【解析】(幂函数型模型)设y1＝aeq\r(x)＋b，将(1,1)，(2,1.2)两点的坐标代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,\r(2)a＋b＝1.2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≈0.48，,b≈0.52，))所以y1＝0.48eq\r(x)＋0.52.(指数函数型模型)设y2＝abx＋c，将(1,1)，(2,1.2)，(3,1.3)三点的坐标代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝1，,ab2＋c＝1.2，,ab3＋c＝1.3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.8，,b＝0.5，,c＝1.4，))所以y2＝－0.8×0.5x＋1.4.将x＝4分别代入上述函数关系式，求得第4个月产量：y1＝1.48，y2＝1.35.因此选用y＝－0.8×0.5x＋1.4估算以后几个月的产量．规律方法利用函数图像或函数表是求解函数模型的常用方法，尤其在实际问题中，应用得更加广泛．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问：你会选择哪种投资方案？解：设第x天所得回报是y元，则方案一可用函数f1(x)＝40(x∈N＋)进行描述；方案二可用函数f2(x)＝10x(x∈N＋)进行描述；方案三可用函数f3(x)＝0.4×2x－1(x∈N＋)进行描述．作出以上三个函数在[0，＋∞)上的图像，如图所示．由图像可知，每天所得回报，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一、二同样多；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三最多．我们再看累计回报数，列表如下：从上表可知，投资7天以内(不含7天)，应选择第一种投资方案；投资7天，选择第一、二种方案均可；投资8～10天，应选择第二种投资方案；投资11天以上(含11天)，应选择第三种投资方案．一、选择题1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是(A)A．y＝2x B．y＝x10C．y＝lgx D．y＝10x2解析：在指数函数y＝ax(a>1)，对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)中，随着x的增大，指数函数y＝ax(a>1)的函数值增长速度最快，呈“爆炸式”增长，故选A.2．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是(B)A．2x>x2>log2xB．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2D．x2>log2x>2x解析：解法1：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图像，因为在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，