5.2.2等差数列的前n项和（3知识点8题型强化训练）

5.2.2等差数列的前n项和课程标准学习目标（1）探索并掌握等差数列前n项和公式；（2）理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系；（3）能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，会求等差数列前n项的最值。（1）经历等差数列前n项和公式的推导，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养；（2）通过等差数列前n项和公式的运用，达成逻辑推理和数学运算的核心素养；（3）在利用等差数列前n项和公式解决实际问题的过程中，培养数学建模和数学运算的核心素养；知识点01等差数列的前n项和1、等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式2、等差数列前n项和公式的推导对于公差为d的等差数列，①②由①＋②得n个＝，由此得等差数列前n项和公式，代入通项公式得.【即学即练1】（2023·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）（多选）数列为等差数列，为其前n项和，已知，则（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】由可得，解得，，故A正确，B错误，，C正确，，D错误，故选：AC知识点02等差数列的前n项和性质1、片段和性质：设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和，，，…组成公差为的等差数列；2、前n项和与n的比值：数列是等差数列⇔(a，b为常数)⇔数列为等差数列，公差为；3、奇偶项和性质：若S奇表示奇数项的和，表示偶数项的和，公差为d；①当项数为偶数时，，，；②当项数为奇数时，，，.4、两等差数列前n项和比值：在等差数列，中，它们的前项和分别记为，则【即学即练2】（2023秋·天津河东·高三校考阶段练习）在等差数列中，已知，，则（）A．90B．40C．50D．60【答案】D【解析】因为为等差数列，所以成等差数列，，，故，.故选：D知识点03等差数列前n项和的最值1、等差数列的前n项和与二次函数的关系将等差数列前n项和公式，整理成关于n的函数可得.当时，关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点．2、求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略（1）将配方，若，则从二次函数的角度看：当时，Sn有最小值；当时，有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值．（2）邻项变号法：当，时，满足的项数n使取最大值；当，时，满足的项数n使取最小值。【即学即练3】（2024·重庆·高二巴蜀中学校考期末）已知等差数列的前项和为，且，则数列的最大项是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知对于等差数列，，所以，又因为，所以，故数列是递减数列，前项5为正，从第6项起均为负数，所以数列的最大项是，故选：B.【题型一：等差数列前n项和与基本量】例1．（2023·全国·高二期末）记等差数列的前项和为，若，，则的公差为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设等差数列的公差为，因为且，可得，解得.故选：C.变式11．（2023·甘肃兰州·高二兰州一中期末）设等差数列的前项和为，若，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设等差数列的公差为，则，①，②联立①②可得，，因此，.故选：B．变式12．（2023·江苏·高二专题练习）在等差数列中，（1）已知，，，求和；（2）已知，，求；（3）已知，，，求．【答案】（1），；（2）；（3）【解析】（1）由题意得，解得．又，∴，∴，．（2）设等差数列的公差为，，，，解得，则．（3），，，．变式13．（2024·内蒙古赤峰·高二统考期末）已知数列是等差数列，（1）求的通项公式（2）记的前项的和为，若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，则，解得所以数列的通项公式为（2）数列的前项和由，化简得即，所以或（舍），所以的值是.【方法技巧与总结】，，，，知三求二（1）在等差数列中，，或，两个公式共涉及，，，及五个基本量，它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、末项和前项和；、（2）依据方程的思想，在等差数列前项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”。【题型二：等差数列的片段和性质】例2．（2023·江苏·高二淮阴中学校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为40，前项和为420，则前项和为（）A．140B．180C．220D．380【答案】B【解析】设等差数列的前项和为，则成等差数列，所以，又所以，解得.所以等差数列的前项和为.故选：B.变式21．（2024·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期末）已知等差数列的前项和为，，，则（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】在等差数列中，，，所以，故构成公差为的等差数列，所以，即.故选：C变式22．（2023·广东东莞·高二校考阶段练习）设等差数列的前n项和为，且，，则．【答案】100【解析】因为数列是等差数列，所以仍然是等差数列，所以也是等差数列，因为，，所以，.变式23．（2024·河北邢台·高二博野中学校联考期末）已知等差数列的前项和为，若，则.【答案】46【解析】由等差数列的性质可知成等差数列，即1，8，成等差数列，且公差为，所以，得.【方法技巧与总结】等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．【题型三：等差数列前n项和与n的比值】例3．（2023·江苏徐州·高二统考阶段练习）设等差数列的前项和为，若，，则（）A．B．C．2022D．2023【答案】A【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，即，由，则，即，由，则，即，将代入，解得，.故选：A.变式31．（2023·四川眉山·高三校考开学考试）在等差数列中，，其前项和为，若，则（）A．2023B．2023C．2024D．2024【答案】C【解析】由是等差数列，设公差为，则所以，（常数），则也为等差数列.由，则数列的公差为1.所以所以，所以故选：C变式32．（2023·新疆·高二校联考期末）已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为．【答案】【解析】设等差数列的公差为，，，数列是以为首项，为公差的等差数列，，解得：；，，解得：，即的取值范围为.变式33．（2023·全国·高二合肥市第六中学校联考开学考试）设等差数列的前项和为，若，，则（）A．18B．36C．40D．42【答案】B【解析】，故为等差数列，故，故，解得.故选：B【方法技巧与总结】由数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，重新构造新的等差数列。【题型四：两个等差数列前n项和的比值】例4．（2024·内蒙古巴彦淖尔·高二统考期末）设等差数列的前项和分别为，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以.故选：A变式41．（2024·天津·高二天津市蓟州区第一中学校联考期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则.【答案】【解析】由，即.变式42．（2023·重庆·高三巴蜀中学校考阶段练习）已知两个等差数列，的前n项和分别为，.若则.【答案】2【解析】等差数列，的前n项和分别为，，，所以.变式43．（2023·福建南平·高二南平第一中学校考阶段练习）已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则【答案】【解析】由等差数列的性质可得：，，，所以，由得，得，所以.【方法技巧与总结】在等差数列，中，它们的前项和分别记为，则，注意结合公式来解决问题。【题型五：等差数列奇数项与偶数项的和】例5．（2022·四川雅安·高二雅安中学校考阶段练习）一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（）A．4B．8C．12D．20【答案】B【解析】根据等差数列的性质得：，，解得：，故该数列的项数为.故选：B变式51．（2023·陕西榆林·高二校联考阶段练习）已知等差数列的项数为其中奇数项之和为偶数项之和为则()A．B．C．D．【答案】A【解析】项数为的中奇数项共有项,其和为项数为的中偶数项共有项,其和为所以解得故选:A.变式52．（2022·河南·高二校考期末）在等差数列中，已知公差，且，则.【答案】145【解析】等差数列中，已知公差，.变式53．（2022·高二课时练习）一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，求公差d．【答案】【解析】设首项为，公差为，则由题意可得，解得又，．【方法技巧与总结】解题过程中要注意确定等差数列的项数，根据项数选择合适的公式。若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).【题型六：含绝对值的等差数列前n项和】例6．（2023·福建三明·高二校考阶段练习）已知为等差数列的前n项和，若.（1）求数列的通项公式与；（2）求数列的前50项和.【答案】（1），；（2）【解析】（1）设数列的首项为，公差为，由，可得，又由，联立方程组，解得，所以，.（2）由，解得，所以，则.变式61．（2022·广东·高二校联考阶段练习）等差数列的前项和为．已知，为整数，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，设数列的前项和为，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，因为，则，可得，即，解得，因为，则，，因此，.此时，故当时，取得最大值，合乎题意，所以，.（2）由（1）知，所以，因此，.变式62．（2024·吉林长春·高二校考期末）已知为等差数列,,.（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，，所以，；所以，，.（2）设的前n项和为的前n项和为.因为；令，得，所以当时，，当时，,故当时，;当时，故.变式63．（2023·湖北·高二校考阶段练习）设单调递减的等差数列的前项和为.（1）求数列的通项公式及前项和；（2）设数列的前项和为，求.【答案】（1），；（2）【解析】（1）因为数列为等差数列，所以，又，解得，或，又因为数列单调递减，所以，所以，所以，解得，所以.（2）由，解得，，解得，即，所以当时，，当时，，综上.【方法技巧与总结】已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点．第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．【题型七：等差数列前n项和的最值】例7．（2024·甘肃兰州·高二西北师大附中校考期末）设是等差数列的前项和，且，，则使得取最小值时的为（）A．6B．7C．6或7D．8【答案】A【解析】因为数列为等差数列，设数列的公差为，又，，则①，②，由①②解得，所以，当时，取最小值为，故选：A.变式71．（2024·天津宁河·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，若，公差，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题设，令，可得，又，故时，时，所以时最小，即最小为.故选：C变式72．（2023·山东泰安·高二新泰市第一中学校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则取得最大值时，n的值是（）A．23B．13C．14D．12【答案】D【解析】因为是等差数列，且，所以，，即，所以，，因为，所以等差数列是递减数列，所以当时，取得最大值.故选：D.变式73．（2023·江苏苏州·高二张家港市沙洲中学校考开学考试）（多选）已知等差数列中，当且仅当时，仅得最大值.记数列的前k项和为，（）A．若，则当且仅当时，取得最大值B．若，则当且仅当时，取得最大值C．若，则当且仅当时，取得最大值D．若，，则当或14时，取得最大值【答案】BD【解析】由等差数列前n项和有最大值，所以数列为递减数列，对于A，且时取最大值，设，则，当时，；时，；时，，所以或14时，前k项和取最大值，A项错误；对于B，当且仅当时取最大值，则时，，时，.，则，，，，前14项和最大，B项正确；对于C，，则，同理，，，前13项和最大，C项错误；对于D，，，得，由题等差数列在时，，时，，所以，，，所以或14时，前k项和取最大值，D项正确；故选：BD.【方法技巧与总结】1、二次函数法：将Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n配方，转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．2、邻项变号法：当a1>0，d<0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))时，Sn取得最小值．特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．【题型八：等差数列前n项和的实际应用】例8．（2024·江苏盐城·高二校联考期末）南宋数学家杨辉在《解析九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有一高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第100项为（）A．4951B．4953C．4955D．4957【答案】A【解析】设该高阶等差数列为，因为前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，所以所以所以，故选：A.变式81．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）某中学的募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到了5000元.他们第1天只收到了20元，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多15元，这次募捐活动一共进行了（）A．20天B．25天C．30天D．35天【答案】B【解析】由题意可知，每一天收到的捐款成等差数列，首项为20，公差为15，设这次募捐活动一共进行了n天，则，得（负值舍去）.故选：B.变式82．（2023·陕西西安·高二西安市黄河中学校考阶段练习）已知从冬至日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影长减等寸（减等寸：以相等的尺寸减少）.若雨水的日影长为95寸，冬至､小寒､大寒､立春的日影长之和为480寸，则冬至的日影长为（）A．135寸B．130寸C．125寸D．120寸【答案】A【解析】由题意得十二个节气的日影长成等差数列，设该等差数列的公差为，则，解得，所以冬至的日影长为135寸.故选：A.变式83．（2023·河南濮阳·高二范县第一中学校联考阶段练习）有12个砝码，总质量为，它们的质量从小到大依次构成等差数列，且最重的3个砝码质量之和是最轻的3个砝码质量之和的4倍．用这些砝码称一个质量为的物体，则需要的砝码个数至少为（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】将12个砝码的质量从小到大依次设为，由题可知，，，所以，化简得，，所以，由得，，，化简得，，解方程得，所以，，，，，，满足，，又因为，满足，所以这些砝码称一个质量为的物体，则需要的砝码个数至少为6个.故选：C.【方法技巧与总结】等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用，将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程。需要注意一下两点：（1）抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型；（2）深入分析题意，确定是求通项公式，或是求前项和，还是求项数。一、单选题1．（2022·高二单元测试）设等差数列的前项和为，，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由数列为等差数列，则，解得，则，解得或，又，所以，故选：B.2．（2023·高二课时练习）已知等差数列的公差，，那么（）A．80B．120C．135D．160【答案】C【解析】在等差数列中，公差，，所以,所以，故选：C3．（2023·河南·高三安阳县高级中学校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设等差数列的公差为，则，数列是公差为的等差数列，，解得：，.故选：D.4．（2023·河南·高二校联考阶段练习）已知数列的前项和，若，则（）A．578B．579C．580D．581【答案】B【解析】当时，当时，，经检验时，不成立.故得到.令，则，解得，且，当时，，当时，，故：，.故选：B.5．（2023·湖南岳阳·高二统考期末）小方是一名文学爱好者，他想利用业余时间阅读《红楼梦》和《三国演义》，假设他读完这两本书共需40个小时，第1天他读了10分钟，从第2天起，他阅读的时间比前一天增加10分钟，恰好阅读完这两本书的时间为（）A．第20天B．第21天C．第22天D．第23天【答案】C【解析】由题设，每天阅读时间是首项、公差都为10的等差数列，所以前n天阅读总时间为分钟，令，则，，又开口向上且对称轴为，即上递增，，，，所以恰好阅读完这两本书的时间为第22天.故选：C6．（2023·陕西咸阳·高二校考阶段练习）设等差数列，的前项和分别为，，，都有，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为等差数列，的前项和分别为，且，所以.故选：D.7．（2024·黑龙江牡丹江·高二牡丹江一中校考期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，数列、都是等差数列，显然两个数列都不是常数列，，因为等差数列前项和公式为，所以不妨令为常数，且，所以时，，．，，，.故选：A8．（2023·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】设等差数列的公差为d，因为，所以又，所以所以等差数列的前5项为正数，从第6项开始为负数，所以当时，取得最大值.故选：A二、多选题9．（2024·广东东莞·高二统考期末）已知数列的前n项和，则下列说法正确的是（）A．的最大值为B．是等差数列C．是递减数列D．【答案】BC【解析】对于A，根据函数，其图象对称轴为，所以，当或时，有最大值20，故A错误；对于B，因为，所以，则是等差数列，故B正确；对于C，当时，，又符合上式，所以，结合一次函数的性质知，是递减数列，故C正确；对于D，，故D错误.故选：BC.10．（2024·湖南衡阳·高二统考期末）已知均是公差不为0的等差数列，且，记的前项和分别为，则（）A．B．C．为递增数列D．【答案】AD【解析】对于A，由，得，故A正确；对于B，设的公差分别为，均不为0，所以，即，所以，所以，所以无法确定的通项公式，故B错误；对于C，由B，不妨取，因此，则为递减数列，故C错误；对于D，因为，所以，故D正确.故选：AD11．（2023·河南南阳·高二校考阶段练习）设数列是公差为d的等差数列，是其前n项和，且，则（）A．B．C．或为的最大值D．【答案】BCD【解析】根据题意可知，由可得，即，又，所以可得公差；所以A错误，B正确；易知是关于的一元二次函数，且二次函数图象的对称轴为直线，开口向下，又因为为整数，所以当且时，是单调递增的，当且时，是单调递减的；又和关于对称轴对称，所以可得，且为的最大值，即C正确；根据二次函数性质可知，距离对称轴越近的值越大，易知，即距离对称轴比距离对称轴远，所以可得，即D正确.12．（2023·河北·高二校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，公差为，且，若，则下列命题正确的是（）A．数列是递增数列B．是数列中的最小项C．和是中的最小项D．满足的的最大值为25【答案】AC【解析】对于A：因为，所以，即，因为，所以，数列是递增数列，A正确；对于B：因为数列是递增数列，所以最小项是首项，B错误；对于C：因为，，所以当或时，取最小值，C正确；对于D：由不等式，可得，又因为，所以满足的的最大值为24，D错误．故选：AC．三、填空题13．（2023·高二课时练习）等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于．【答案】【解析】因为等差数列共有项，所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，所以，，解得.14．（2023·安徽安庆·高二校考阶段练习）等差数列中，其前项和为100，其前项和为500，则其前项和为．【答案】1200【解析】因为是等差数列，则成等差数列，成等差数列，即，解得.15．（2023·全国·高三专题练习）已知是等差数列的前项和，若，，则.【答案】【解析】设等差数列的公差为，则，则，故对任意的，，因此，数列为等差数列，且