四川省泸州市泸县第四中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题

泸县四中高2023级高一上期期末考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题：，，则它的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】结合已知条件，利用命题否定的定义即可求解.【详解】由全称命题的否定的概念可知，命题的否定为：，.故选：D.2.设集合，若，则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用集合的交并补混合运算即可得解.【详解】因为，而，，所以，所以.故选：D.3.已知幂函数的图象过，则下列求解正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用幂函数过的点求出幂函数的解析式即可逐项判断正误【详解】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，），∴2α，解得α，故f（x），即，故选A【点睛】本题考查了幂函数的定义，是一道基础题．4.不等式的解集是（）A.或 B.C或 D.【答案】A【解析】【分析】直接解分式不等式即可.【详解】由或，所以不等式的解集为：或，故选：A.5.已知函数的最小正周期是，当时，函数取得最小值，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数的最小正周期可求得的值，由当时，函数取得最小值，可求出的值，可得出函数的解析式，然后代值计算可得的值.【详解】因为函数的最小正周期是，则，则，当时，函数取得最小值，则，所以，，所以，，其中，因此，.故选：B.6.若且，则的最小值是A.6 B.12 C.24 D.16【答案】D【解析】【详解】试题分析：，当且仅当时等号成立，所以最小值为16考点：均值不等式求最值7.中国茶文化博大精深．茶水口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．已知室内的温度为，设茶水温度从开始，经过x分钟后的温度为．y与x的函数关系式近似表示为，那么在室温下，由此估计，刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳口感（参考数据：）（）A.8 B.7 C.6 D.5【答案】B【解析】【分析】根据题意代入数据，列出等量关系式，利用对数的运算性质化简即可求得.【详解】由题意降至时口感最佳，即，带入函数关系式即得，即，两边同时取对数，得，所以.故选：B8.已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（）A.50 B.2 C.0 D.50【答案】B【解析】【分析】根据条件可判断函数是以4为周期的周期函数，从而求得．【详解】解：是定义域为的奇函数，的图象关于原点对称，，的图象关于对称，是以4为周期的周期函数，又，，，，，故选：．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合，，若，则实数的值可以是（）A.1 B. C. D.3【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，分别讨论与，然后代入检验，即可得到结果.【详解】因为，，且，当时，即，此时,，满足；当时，解得或，当时，，，满足；当时，，，满足；综上所述，实数的值可以是.故选：ABD10.关于的不等式对任意恒成立的充分不必要条件有（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】先求二次不等式恒成立的充要条件，得解集，则充分不必要条件是集合的非空真子集，验证选项即可.【详解】当不等式对任意恒成立时，有，解得，记.当的取值范围是集合的非空真子集时，即为不等式对任意恒成立的充分不必要条件，AB选项中的范围满足题意.故选：AB11.将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列结论正确的是（）A. B.是图象的一条对称轴C.是图象的一个对称中心 D.在上单调递减【答案】BD【解析】【分析】利用三角函数图象变换得出函数的解析式，利用整体代入法结合正弦函数的基本性质可判断B、C、D的正误，计算的值可判断A选项的正误.综合可得出结论.【详解】由题意知.所以，故A项错误；因为，所以是函数图象的一条对称轴，B项正确；因为，故不是函数图象的对称中心，C项错误；当时，，因为在上单调递减，所以在上单调递减，D项正确.故选：BD.【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求函数解析式，同时也考查了正弦型函数对称性与单调性的判断，一般利用整体代入法结合正弦函数的基本性质进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12.定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则（）A.的图象关于点对称 B.的图象关于直线对称C.的值域为 D.的实数根个数为6【答案】BC【解析】【分析】利用可判断A；根据函数满足的性质推得直线和皆为的图象的对称轴，可判断B；数形结合判断C；数形结合，将的实数根个数问题转化为函数图象的交点问题，判断D.【详解】对A，由题意可知当时，，故，则，即的图象不关于点对称，A错误；由于函数满足，故4为函数的周期；对B，函数为偶函数，则的图象关于直线对称，即有，则，故的图象也关于直线对称，由于4为函数的周期，故直线和皆为的图象的对称轴，当时，，故B正确；对C，由函数性质作出函数的图象如图，可知函数值域为，C正确；对D，方程的根即与的图象的交点的横坐标，因为当时，，当时，，当时，，所以与的图象共有7个交点，即方程的实数根个数为7，故D错误.故选：.【点睛】方法点睛：（1）抽象函数的奇偶性以对称性结合问题，往往要采用赋值法，推得函数周期性；（2）方程根的个数问题，往往采用数形结合，将根的问题转化为函数图象交点问题.第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的面积为__________．【答案】【解析】【详解】14.函数的值域为________．【答案】【解析】【分析】根据函数解析式分段求出函数的值域，即可得解.【详解】解：因为，当时，则，当时，则，综上可得，故答案为：．15.已知函数满足，当时，函数，则__________．【答案】【解析】【分析】由得函数的周期为2，然后利用周期和对化简可得，从而可求得结果【详解】解：由题意，函数满足，化简可得，所以函数是以2为周期的周期函数，又由时，函数，且，则．故答案为：．【点睛】方法点睛：函数的周期性有关问题的求解策略：（1）求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；（2）解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解．16.已知函数且在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】由题意可知在两段上均为增函数，且在上的最小值大于或等于，作出和的图象，根据交点个数判断与3的大小关系，以及直线和抛物线相切的条件，列出不等式组解出．【详解】是上的单调递增函数，在，上单调递增，可得，且，即，作出和的函数草图如图所示：由图象可知在上有且只有一解，可得，或，即有△，即有或；由，解得，即时，有且只有一解．则的范围是，．故答案为，．【点睛】本题考查分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质求解即可；（2）利用指数的运算性质求解即可.【小问1详解】【小问2详解】18.已知.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）上下同除，将正余弦化成正切即可计算；（2）借助，将原式化为齐次分式后上下同除，将正余弦化成正切后借助的值即可计算.【小问1详解】，，解得；【小问2详解】19.已知集合A＝，．（1）当m＝1时，求AB，(A)B；（2）若AB＝A，求实数m的取值范围．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答．①函数的定义域为集合B；②不等式的解集为B．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用集合的运算求解即可.（2）通过AB＝A得出，计算时注意讨论A为空集的情况.【小问1详解】选条件①：（1）当时，，选条件②：此时集合与①相同，其余答案与①一致；【小问2详解】若，则当时，，解得当时，，即，解得综上，实数m的取值范围为20.定义在上的函数，满足，，当时，（1）求的值；（2）证明在上单调递减；（3）解关于的不等式.【答案】（1）0（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）取，计算即可.（2）取任意且，则，得到，得到证明.（3）计算，不等式转化为，根据函数的单调性结合定义域得到答案.【小问1详解】当时，，则.【小问2详解】取任意且，则，则所以.又因为时，所以，所以在上单调递减.【小问3详解】因为，又，故，.不等式可化为，即，因为是上的减函数，故，解得，故不等式的解集为.21.已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为,（单位：cm），且要求，部件的面积是．（1）求y关于x的函数表达式，并求定义域；（2）为了节省材料，请问x取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，并求出最小值．【答案】（1），；（2）时，面积最小，.【解析】【分析】（1）利用已知条件求出，然后求解函数的定义域即可．（2）设圆形铁片半径为R，则面积S=πR2，过圆心O作CD的垂线，垂足为E，交AB于点F，连结OD，求出R的表达式，然后利用基本不等式求解最小值即可．【详解】（1）由题意，利用矩形面积和正三角形的面积公式，可得，整理得，又由，解得，即函数的定义域为，即，．（2）设圆形铁片半径为R，则面积S=πR2，过圆心O作CD垂线，垂足为E，交AB于点F，连结OD，则，所以=，因为x2＞0，由基本不等式，可得，当且仅当，即时，取等号，所以圆形铁片的最小面积为（cm2），答：当x=2时，所用圆形贴片的面积最小，最小面积为（cm2）．【点睛】本题主要考查了函数的实际应用，列出函数的解析式，通过基本不等式求解最小值是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．22.设函数．（1）判断函数的奇偶性；（2）证明函数在上是增函数；（3）若是否存在常数，，使函数在上的值域为，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）偶函数，理由见解析（2）证明见解析（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】(1)利用偶函数的定义判断即可；(2)证明内层函数的单调性，再根据