级高数下公式

一、格林(Green)公式

二、曲线积分与路径无关的条件*三、曲线积分基本定理四、小结第四节格林公式１.区域连通性的分类

设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD单连通复连通一、Green(格林)公式２.边界曲线L的正负向单连通区域的边界的正向为逆时针方向.复连通呢？边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边,此时行走的方向即为曲线的正向.３定理简单例子Green公式>>>2

y0xGreen公式证明步骤:1.单连通区域:①D=Dx=Dy(既是x型也是y型区域)在Dx下可证在Dy下可证(书P189)>>>上面两式之和为②非Dx非Dy时(分割)2.复连通区域辅助线单连通区域>>>yxoabDcdABCE证明(1)yxodDcCEBAD是Y型区域两式相加得D是X型区域，同理可证------D既是X型区域又是Y型区域(书P189)CBA证明(2)()由(1)知D不同时是X型与Y型区域情形1ED故,在D为单连通区域下，有则以L,l及AB为边界的区域就成了一个单连通区域.D是复连通区域情形DAB证明(3)由(2)知D是复连通区域情形如图添加辅助线AB，把D的边界L和l连结起来.(L,l对D来说为正方向)(外L为逆时针,内l为顺时针)注意:l和L有方向!其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L

所围原式圆周区域为D,

则41.简化曲线积分典型例题:例1.计算OABL2.简化二重积分xyo解

3.计算平面面积A(这里，L=D+)解0òò-+-=AMOONAydxxdyydxxdy2121其中L为不过原点的分段光滑正向闭曲线.解:设L所围闭区域为D，由Green公式知4.注意格林公式的条件在D上不连续!不能用Green公式连续①②令即当时,(类似书P192

例4)？例4.

计算(取适当小的r>0,使l与L不相交)在D内作圆周取逆时针方向,对区域记L和

lˉ

所围的区域为②应用格林公式,得()(复连通)重要的结论:①封闭的复连通区域D,其外边界L,内边界l都是逆时针走向

(如图)②练习1设L是由表示的曲线的正向，则求即：20040707一4

1.设且都取正向,问下列计算是否正确?提示:练习2Gyxo二、平面定向曲线积分与路径无关的条件BA如果在区域G内有1、曲线积分与路径无关的定义说明:

积分与路径无关时,曲线积分可记为

(

L1,L2(A

B)

G)2、定理2：四个等价命题与路径无关的四个等价命题条件等价命题注:两条件缺一不可！有关定理2的说明：在D内与路径无关

充要条件是在D内恒成立

计算思路:闭合非闭闭合非闭补充曲线或用第二类曲线计算公式(积分与路径无关)==选简单路径BLOA解BLO(选简单路径)A解P0根据定理2,若在某区域内则可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数u(x,y):及动点或则可构造原函数为取定点PAB(适当)是某个函数的全微分,并求出这个函数.例1.验证注意:证:

设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。L1L2是某个函数的全微分,并求出这个函数.例1.验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证:令则由定理2

可知存在原函数L1L2例2.验证（1）定义:且满足若一阶微分方程可写成如下形式：例如是全微分方程.3、二元函数的全微分方程求解则称(*)为全微分方程或恰当方程.（2）解法:应用曲线积分与路径无关∴通解为解是全微分方程,原方程的通解为例1例2解(由例1)则4.曲线积分基本定理四、小结1.二重积分与曲线积分的关系2.格林公式的应用.3.曲线积分与路径无关的条件

---四个等价命题4.曲线积分基本定理——格林公式;作用下沿曲线L:由移动到求力场所作的功W解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.思考题

设质点在力场思考:

积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!设为D内任意两条由A到B

的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))(2)与路径无关证:

求证(1)求证(2)积分与路径无关因曲线积分则证:在D内取定点和任一点B(x,y),与路径无关,构造函数(3)同理可证因此有偏导数连续可微连续求证

(3)设存在函数

u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有:(4)证：即u∈C(