新教材2023版高中数学课时作业三等差数列及其通项公式湘教版选择性必修第一册

课时作业(三)等差数列及其通项公式[练基础]1．若数列{an}的通项公式an＝3－2n，则此数列()A．是公差为－2的等差数列B．是公差为2的等差数列C．是公差为3的等差数列D．是首项为3的等差数列2．[2022·湖南株洲长鸿实验学校高二月考]已知等差数列{an}中，a2＋a8＝18，则a5＝()A．7B．11C．9D．183．在等差数列{an}中，已知a7＝19，2a2＋a5＝21，则{an}的公差d＝()A．4B．3C．2D．14．已知{an}是等差数列，且a3－1是a2和a5的等差中项，则{an}的公差为()A．－2B．－1C．1D．25．在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＋a7＝120，则a2＋a4＋a6的值为()A．30B．60C．90D．1206．[2022·湖南雅礼中学高二期中](多选)下列数列中，是等差数列的是()A．1，4，7，10B．lg2，lg4，lg8，lg16C．25，24，23，22D．10，8，6，4，27．在等差数列{an}中，已知5是a3和a6的等差中项，则a1＋a8＝________．8．[2022·湖南永州四中高二月考]在等差数列{an}中，a3＝5，a8＝10.则a10＝________．9．已知等差数列{an}中，a11＝20，a22＝86.(1)求数列{an}的公差d和a1；(2)满足10<an<150的共有几项．[提能力]10．(多选)下列说法错误的有()A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列11．已知数列{an}满足a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝eq\f(an,an＋1)，则a2023＝()A．eq\f(1,2021)B．eq\f(1,2022)C．eq\f(1,2023)D．eq\f(1,2024)12．在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝16，a14＋a15＋a16≥53，则d的取值范围为________．13．[2022·湖南邵东一中高二期中]数列{an}中，a1＝1，a2＝eq\f(2,3)，且n≥2时，有eq\f(1,an－1)＋eq\f(1,an＋1)＝eq\f(2,an)，则an＝________．14．数列{an}满足an＝3an－1＋3n－1(n∈N＋，n≥2)，已知a3＝95.(1)求a1，a2；(2)若bn＝eq\f(1,3n)(an＋t)(n∈N＋)，则是否存在实数t，使{bn}为等差数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．[培优生]15．[2022·湖南长郡中学模拟](多选)在数列{an}中，若aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n－1))＝p(n≥2，n∈N＋，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是()A．若{an}是等差数列，则{aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))}是等方差数列B．{(－1)n}是等方差数列C．若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N＋，k为常数)也是等方差数列D．若{an}是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列课时作业(三)等差数列及其通项公式1．解析：∵an＋1－an＝3－2(n＋1)－(3－2n)＝－2，a1＝3－2×1＝1，∴{an}是公差为－2，首项为1的等差数列．答案：A2．解析：设等差数列的性质可知：a2＋a8＝2a5＝18，所以a5＝9.答案：C3．解析：由题可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋6d＝19，,3a1＋6d＝21，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝3.))答案：B4．解析：设等差数列{an}的公差为d.由已知条件，得a2＋a5＝2(a3－1)即a1＋d＋(a1＋4d)＝2(a1＋2d－1)，解得d＝－2.答案：A5．解析：由等差数列的性质可知a1＋a3＋a5＋a7＝4a4＝120所以a4＝30，所以a2＋a4＋a6＝3a4＝90.答案：C6．解析：根据等差数列的定义，可得：A中，满足4－1＝7－4＝10－7＝3(常数)，所以是等差数列；B中，满足lg4－lg2＝lg8－lg4＝lg16－lg8＝lg2(常数)，所以是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足8－10＝6－8＝4－6＝2－4＝－2(常数)，所以是等差数列．答案：ABD7．解析：由题意知a3＋a6＝10，故a1＋a8＝a3＋a6＝10.答案：108．解析：由条件，得等差数列{an}的公差d＝eq\f(a8－a3,8－3)＝1，所以a10＝a8＋2d＝10＋2＝12.答案：129．解析：(1)设首项为a1，公差为d，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋10d＝20，,a1＋21d＝86.))解方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－40，,d＝6.))(2)由(1)知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－40，,d＝6.))∴an＝a1＋(n－1)d＝－40＋(n－1)·6＝6n－46，由10<an<150，又an＝6n－46，∴10<6n－46<150.解不等式，得eq\f(28,3)<n<eq\f(98,3)，取整数共有23项．10．解析：A.1，2，3显然成等差数列，但是1，4，9显然不成等差数列，因此本说法不正确；B．0，0，0显然成等差数列，但是log2a，log2b，log2c这三个式子没有意义，因此本说法不正确；C．因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，因为2(b＋2)－(a＋2＋c＋2)＝2b－a－c＝0，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列，因此本说法正确；D．1，2，3显然成等差数列，但是2a＝2，2b＝4，2c＝8，显然2a，2b，2c不成等差数列，因此本说法不正确．答案：ABD11．解析：因为an＋1＝eq\f(an,an＋1)，则eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝1，又a1＝eq\f(1,2)，则eq\f(1,a1)＝2，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为2，公差为1的等差数列，所以eq\f(1,an)＝n＋1，所以an＝eq\f(1,n＋1)，则a2023＝eq\f(1,2023＋1)＝eq\f(1,2024).答案：D12．解析：因为a1＋a2＋a3＝3a2，a14＋a15＋a16＝3a15，所以a2＝eq\f(16,3)，a15≥eq\f(53,3)，所以d＝eq\f(a15－a2,15－2)＝eq\f(a15－a2,13)≥eq\f(37,39).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(37,39)，＋∞))13．解析：因为n≥2时，有eq\f(1,an－1)＋eq\f(1,an＋1)＝eq\f(2,an)，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)，故数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an－1)))是常数列，因为a1＝1，a2＝eq\f(2,3)，所以eq\f(1,a2)－eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)，因此eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,2)(n≥2)，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1为首项，eq\f(1,2)为公差的等差数列，所以eq\f(1,an)＝1＋eq\f(1,2)(n－1)＝eq\f(n＋1,2)，因此an＝eq\f(2,n＋1).答案：eq\f(2,n＋1)14．解析：(1)当n＝2时，a2＝3a1＋32－1.当n＝3时，a3＝3a2＋33－1＝95，∴a2＝23.∴23＝3a1＋8，解得a1＝5.(2)当n≥2时，bn－bn－1＝eq\f(1,3n)(an＋t)－eq\f(1,3n－1)(an－1＋t)＝eq\f(1,3n)(an＋t－3an－1－3t)＝eq\f(1,3n)(3n－1－2t)＝1－eq\f(1＋2t,3n).要使{bn}为等差数列，则1－eq\f(1＋2t,3n)为常数，即t＝－eq\f(1,2)，即存在t＝－eq\f(1,2)，使{bn}为等差数列．15．解析：对于A，若{an}是等差数列，如an＝n，则aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝n2,则(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n)))2－(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n－1)))2＝n4－(n－1)4＝(2n2－2n＋1)(2n－1)不是常数，故{an}不是等方差数列，故A错误；对于B，数列{(－1)n}中，aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n－1))＝[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0是常数，∴{(－1)n}是等方差数列，故B正确；对于C，数列{an}中的项列举出来是a1，a2，…，ak，…，a2k，…数列{akn}中的项列举出来是，ak，a2k，a3k，…，∵(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(k＋1))－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(k)))＝(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(k＋2))－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(k＋1)))＝(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(k＋3))－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(k＋2)))＝…＝(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2k))－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2k－1)))＝p，将这k个式子累加得(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(k＋1))－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(k)))＋(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(k＋2))－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(k＋1)))＋(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(k＋3))－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(k＋2)))＋…＋(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2k))－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2k－1)))＝kp，∴aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2k))－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(k))＝kp，∴aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(k(n＋1)))－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(kn))＝kp，∴{akn}(k∈N＋，k为常数)是等方差数列，故C正确；对于D，∵{an}