浙江省绍兴市柯桥区2023-2024学年高三上学期1月期末考试数学试题(含答案)

学年第一学期期末教学质量调测高三数学试题注意事项：1．本科考试分为试题卷和答题卷，考生须在答题卷上答题，2．答题前，请在答题卷的规定处用，黑色字迹的签字笔或钢笔填写学校、班级、姓名和准考证号．3．试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．若（为虚数单位），则（）A．2B．C．3D．3．函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．4．已知平面向量，若，则（）A．或B．或C．或3D．或35．已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（）A．B．C．D．6．直线交曲线于点，则的最小值为（）A．B．C．D．7．已知为非负实数，且，则的最小值为（）A．B．C．D．8．若对任意实数，恒有成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知，关于的一元二次不等式的解集可能是（）A．B．C．D．10．已知直线为异面直线，平面平面，则下列线面关系可能成立的是（）A．B．平面C．平面平面D．平面平面11．已知等差数列的前项和为，则（）A．数列为等比数列B．C．当且仅当时，取得最大值D．12．双曲线上一动点为双曲线的左、右焦点，点为的内切圆圆心，连接交轴于点，则下列结论正确的是（）A．当时，点在的内切圆上B．C．D．当时，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的含的项的系数为____________．14．已知函数在上存在极值点，则正整数的值是____________．15．卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的城市地标．卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，则该外接球的表面积是____________．16．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过点的直线交于两点，直线分别交于，则的最小值为____________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知锐角的内角，所对的边分别为，且．（1）求角；（2）若，求的周长的取值范围．18．（12分）已知数列的前项和为．若为等差数列，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求．19．（12分）临近新年，某水果店购入三种水果，数量分别是36箱，27箱，18箱．现采用分层抽样的方法抽取9箱，进行质量检查．（1）应从三种水果各抽多少箱？（2）若抽出的9箱水果中，有5箱质量上乘，4箱质量一般，现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测．①用表示抽取的4箱中质量一般的箱数，求随机变量的分布列和数学期望；②设为事件“抽取的4箱水果中，既有质量上乘的，也有质量一般的水果”，求事件发生的概率．20．（12分）如图，在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，．（1）求证：；（2）若平面平面，在线段（包含端点）上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知椭圆与圆交于两点，直线过该圆圆心，且斜率为，点分别为椭圆的左、右顶点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率分别为．（1）求椭圆的离心率；（2）若，求的值．22．（12分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个解，求证：．2023学年第一学期期末教学质量调测高三数学试题参考答案一、选择题1-4CBCA5-8DBBC二、选择题9．ACD10．AD11．AB12．AB三、填空题17．（1）由已知得，，，为锐角三角形，．（2）由正弦定理得，则，因为得，得所以，得．18．（1）由已知得，设公差为，则，求得，当时，，符合上式，（2）由（1）知，令，得，当时，则当时，则；19．（1）根据分层抽样，水果需要抽取，B水果需要抽取（2）01234所以20．（1）取的中点，连接，因为是边长为2的正三角形，所以，由，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；（2）由（1）得，因为平面平面且交线为，所以平面，如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，则，设，则设平面的法向量为，，则有，取设平面的法向量为则有，所以，若平面平面，则，求得，所以．21．（1）由已知得，中点为，设，由得，，（2）由（1）得椭圆的方程为：．设，直线的方程为，，过作轴的垂线交分别于点易知直线，得同理直线，得得，由（※）知，，得．22．（1）由题意知的定义域为．对已知函数求导可得令，得，若，则，若