新教材2023版高中数学第2章平面解析几何初步2.4点到直线的距离学生用书湘教版选择性必修第一册

2．4点到直线的距离最新课程标准(1)掌握两点间的距离公式及点到直线的距离公式．(2)会求两条平行直线间的距离．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一两点间的距离已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x2要点二点到直线的距离点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0❷的距离d＝____________________．要点三两条平行直线间的距离两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不全为0，且C1≠C2)之间的距离d＝C1-批注❶公式可简记为“纵差方，横差方，加起来，开平方”．批注❷给出的直线方程必须是一般式，不是一般式的，则应先化为一般式再利用公式求距离．批注❸利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．基础自测1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关．()(2)直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离是|C1－C2|.()(3)原点到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式是CA2+(4)平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．()2．已知点A(3，7)，B(2，5)，则A，B两点间的距离为()A．5B．5C．3D．293．点(0，－1)到直线y＝x＋1的距离为()A．1B．2C．3D．24．已知两条直线l1：x＋2y－4＝0，l2：2x＋4y＋7＝0，则直线l1与直线l2间的距离为()A．352BC．5D．105．已知点A(2，－1)到直线l：y＝2x＋t的距离为5，则t＝________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1两点间距离公式的应用例1(1)若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5，－3)到原点的距离相等，则点M的坐标为________；(2)已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)、B(3，－3)、C(1，7)，试判断△ABC的形状．方法归纳1．利用两点间的距离公式求参数的值的方法常用方法是待定系数法，即先设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立方程，再利用方程的思想求解参数．2．利用两点间的距离公式判断三角形的方法要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．巩固训练1(1)已知点A(－3，4)，B(2，3)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；(2)已知点M(x，－4)与点N(2，3)间的距离为72，求x的值．题型2点到直线的距离公式的应用例2(1)[2022·湖南长沙一中测试]已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A．2B．2－2C．2－1D．2＋1(2)[2022·湖南师大附中测试]已知△ABC的顶点A(5，1)，边AB上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，边AC上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，①求顶点C的坐标；②求△ABC的面积．方法归纳点到直线距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．巩固训练2(1)已知点A(1，－2)，B(5，6)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________；(2)垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1，0)的距离是3105的直线l的方程是题型3两条平行线间的距离问题例3(1)已知两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是()A．(0，＋∞)B．[0，5]C．(0，5]D．[0，17](2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为____________．方法归纳解决两条平行直线间的距离问题的2种常用方法巩固训练3(1)[2022·湖南长郡中学测试]两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为()A．a＝6，d＝63B．a＝－6，d＝C．a＝－6，d＝53D．a＝6，d＝(2)若斜率为2的直线m被直线l1：x＋2y－3＝0与l2：x＋2y＋1＝0所截得的线段为AB，则线段AB的长为________．题型4对称问题(数学探究)例4已知点P，Q在直线l：3x－y－1＝0上．(1)若点P到点A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大，求点P的坐标；(2)若点Q到点A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小，求点Q的坐标．方法归纳利用对称性解决问题(1)在直线上求一点，使它到两定点距离之和最小．①当两定点不在直线的同一侧时，两点连线与直线的交点即为所求；②当两定点在直线的同一侧时，可借助点关于直线对称，将问题转化为①的情形来解决．(2)在直线上求一点，使它到两定点距离之差的绝对值最大．①当两定点在直线的同一侧时，利用三角形的两边之差小于第三边，可知两定点的连线与直线的交点即为所求；②当两定点不在直线的同一侧时，可借助点关于直线对称，将问题转化为①的情形来解决．巩固训练4若点P(m，0)到点A(－3，2)及B(2，8)的距离之和最小，求实数m的值．易错辨析选用直线方程的形式不当引发错误例5过点P(2，5)，且与点(－4，1)距离等于6的直线方程为________．解析：当斜率存在时，设所求直线方程为y－5＝k(x－2)，即kx－y－2k＋5＝0，由点到直线的距离公式得：-4k-1-2k+5k2故所求直线方程为5x＋12y－70＝0.当斜率不存在时，直线平行于y轴，直线方程为x＝2，符合题意．综上，所求直线方程为5x＋12y－70＝0或x＝2.答案：5x＋12y－70＝0或x＝2【易错警示】出错原因纠错心得忽略了直线的斜率不存在的情况而漏解致错．一般地，求直线方程，设为点斜式或斜截式是常见的两种形式．因此，一定要考虑斜率不存在而直线存在的形式．2．4点到直线的距离新知初探·课前预习[教材要点]要点二Ax0+By0+CA[基础自测]1．(1)×(2)×(3)√(4)√2．解析：由两点间的距离公式得|AB|＝2-32答案：B3．解析：(0，－1)到直线y＝x＋1的距离为d＝1+112+答案：B4．解析：因为两直线l1：x＋2y－4＝0，l2：2x＋4y＋7＝0平行，且l1：2x＋4y－8＝0，它们之间的距离即为l1：2x＋4y－8＝0与l2：2x＋4y＋7＝0之间的距离为：d＝7+822+答案：A5．解析：因为点A(2，－1)到直线l：2x－y＋t＝0的距离为5，所以d＝2×2--1+t12+22＝5，可得|5＋t答案：－10或0题型探究·课堂解透例1解析：(1)设点M(x，0)(x>0)，由题意可知，x2+02＝52+-32，解得x＝34(2)方法一∵|AB|＝3+32+-3|AC|＝1+32+7-又|BC|＝1-32+∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．方法二∵kAC＝7-11kAB＝-3-13则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝1+32+7-|AB|＝3+32+-3∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．答案：(1)(34，0)(2)见解析巩固训练1解析：(1)设点P的坐标为(x，0)，则有|PA|＝x+32+0|PB|＝x-22由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－95故所求点P的坐标为(－95，0)|PA|＝-95+3(2)由|MN|＝72，得|MN|＝x-22+即x2－4x－45＝0，解得x1＝9或x2＝－5.故所求x的值为9或－5.例2解析：(1)由题意得a-2+31+1＝1.解得a＝－1＋2或a＝－1∵a>0，∴a＝－1＋2.(2)①设C(m，n)，因为直线AC与直线BH垂直，且C点在直线2x－y－5＝0上，所以n-1m-5=-2②设B(a，b)由题知：M(a+52，所以a+5-b+12-5=0a-2b-5=0kBC＝3+34+1＝65，直线BC：y－3＝65(x－4)，即6x－5y－|BC|＝4+12+3+3点A到直线BC的距离d＝6×5-所以S△ABC＝12×答案：(1)C(2)见解析巩固训练2解析：(1)∵A(1，－2)，B(5，6)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，∴a-2+1a解得a＝－2或a＝－1.(2)设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知：d＝3×-1-0+m所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3，故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.答案：(1)－2或－1(2)3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0例3解析：(1)当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d＝2--12+-1-(2)设直线l的方程为2x－y＋C＝0，由题意，得3-C22+12＝C+122+12，解得C＝1，答案：(1)C(2)2x－y＋1＝0巩固训练3解析：(1)∵两直线平行，∴2＝a3，解得a＝6将2x－y＋3＝0化为6x－3y＋9＝0，∴d＝9-46(2)直线l1：x＋2y－3＝0与l2：x＋2y＋1＝0的斜率为－12直线m的斜率为2，故直线m与直线l1，l2垂直，由两条平行直线的距离公式可得|AB|＝1+31+4＝4答案：(1)D(2)4例4解析：(1)如图所示，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，∵kl·kBB′＝－1，即3×b-4a∴a＋3b－12＝0.①又线段BB′的中点坐标为(a2，b+42∴3×a2-b+42－1＝0，即3a－b－6由①②得a＝3，b＝3，∴B′(3，3)．于是直线AB′的方程为y-13-1＝x-43-由3x-y∴l与直线AB′的交点坐标为(2，5)，∴当点P到点A，B的距离之差最大时，点P的坐标为(2，5)．(2)如图所示，设点C关于l的对称点为C′，同样可以计算求得C′的坐标为(35，∴AC′所在直线的方程为y-124即19x＋17y－93＝0，由3x-y∴直线AC′和l的交点坐标为(117，∴当点Q到点A