5.2 概率及运算 2023-2024学年高中数学湘教版必修第二册

高中数学湘教版必修第二册第五章概率5.2概率及运算5.2.1古典概型

状元随笔(1)由古典概型的定义可得古典概型满足基本事件的有限性和等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不用通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．(2)在古典概型中，每个基本事件发生的可能性都相等，称这些基本事件为等可能基本事件．

要点二概率的基本性质(1)任何事件的概率P(A)满足0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率为1，即P(Ω)＝1.(3)不可能事件的概率为0，即P(∅)＝0.

√×××2．下列试验中是古典概型的是(

)A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环答案：B

答案：B

4．在20瓶饮料中，有2瓶已过了保质期．从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是________．

题型1古典概型的判断例1

(多选)下列概率模型中，是古典概型的是(

)A．从集合{x∈R|1≤x≤10}中任取一个数，求取到4的概率B．从集合{x∈Z|1≤x≤10}中任取一个数，求取到4的概率C．从装有2个白球和3个红球的盒子中任取2个球(除颜色外其他均相同)，求取到一白一红的概率D．向上抛掷一枚质地不均匀的硬币，求出现正面向上的概率答案：BC解析：A不是古典概型．因为从区间[1，10]内任取一个数，虽满足等可能性，但由于区间内有无数个对象可取，所以它不具备“有限性”这个条件．B是古典概型．因为试验结果只有10个，并且每个数被抽到的可能性相等，所以它不仅具备“有限性”，而且还具备“等可能性”．C是古典概型．道理同B.D不是古典概型．虽然试验的结果只有2种，但是这枚硬币的质地不均匀，故它不具备“等可能性”．方法归纳判断古典概型的方法(1)一个试验是否为古典概型，在于是否具有两个特征：有限性和等可能性．(2)并不是所有的试验都是古典概型，下列三类试验都不是古典概型：①样本点个数有限，但非等可能．②样本点个数无限，但等可能．③样本点个数无限，也不等可能．跟踪训练1

下列试验不是古典概型的是(

)A．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小B．同时掷两颗骰子，点数和为6的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率答案：C解析：ABD是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．C不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．题型2简单的古典型概率的计算例2

在集合{1，2，3，4，5}中，任取两个不同的数，观察结果．(1)样本空间共有多少个样本点？(2)A＝“两数之和等于6”，求P(A)．

方法归纳求古典概型的概率有两个关键点：(1)判断是否是古典概型；(2)准确求出样本空间和每个事件的样本点．跟踪训练2

(1)掷两颗骰子，出现点数之和等于8的概率等于____．

(2)2021年湖南新高考实行“3＋1＋2模式”，即语文、数学、英语必选，物理与历史2选1，政治、地理、化学和生物4选2，共有12种选课模式．今年高一小明与小芳都准备选历史与政治，假设他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为________．

题型3较复杂的古典概型的概率计算角度1与顺序有关的古典概型例3有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时．(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率；(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率．

解析：将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：如图所示，本题中的等可能基本事件共有24个．

角度2与顺序无关的古典概型例4一般地，一个大于1的正整数可以表示为两个或两个以上的正整数之和，我们定义：将一个正整数n(n>1)表示为k个正整数的和，叫做正整数n的k拆分，若不考虑拆分部分之间的顺序，称为正整数n的无序k拆分．例如，4的所有无序2拆分记作：{1，3}，{2，2}．(1)写出9的所有无序2拆分；(2)从9的所有无序3拆分中任取一个，求“所取拆分中的3个数可以作为△ABC的三边长”的概率．

方法归纳解决有序和无序问题应注意两点(1)不放回抽样，既可看成是有序的，也可看成是无序的，不影响结果，但必须注意观察角度要一致．(2)放回抽样，注意在连续抽取两次时因顺序不同所得到的样本点也不同，所以存在顺序．跟踪训练3

从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．

易错辨析对“有序”和“无序”判断不准而出错例5

甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中选择题3道，填空题2道．甲、乙两人依次抽取1道题，求甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率．

易错警示易错原因纠错心得在计算基本事件的总数时，若分不清“有序”和“无序”，将会出现“重算”或“漏算”的错误．突破这一思维障碍的方法是交换次序，看是否对结果造成影响，有影响是“有序”，无影响是“无序”．

答案：C

答案：C

答案：B

4．袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2球，则2球颜色相同的概率等于________．

5．现共有6家企业参与某项工程的竞标，其中A企业来自辽宁省，B，C两家企业来自福建省，D，E，F三家企业来自河南省．此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．(1)列举所有企业的中标情况；(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的概率是多少？

高中数学湘教版必修第二册第五章概率5.2概率及运算5.2.2概率的运算

P(A)＋P(B)1－P(A)

×√××

答案：A

3．甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为(

)A．0.2B．0.8C．0.4D．0.1答案：B解析：乙获胜的概率为1－0.2＝0.8.

0.3

题型1利用概率的加法公式求概率例1黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：已知同种血型的人可以互相输血，O型血可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若他因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？血型ABABO该血型的人所占的比例/%2829835解析：对任何一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.(1)因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B′＋D′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A′＋C′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.方法归纳运用概率的加法公式解题的步骤：(1)确定题中哪些事件彼此互斥；(2)将待求事件拆分为几个互斥事件之和；(3)先求各互斥事件分别发生的概率，再求和．跟踪训练1

在数学考试中，小明的成绩在90分(及90分)以上的概率是0.18，在80分～89分(包括80分和89分，下同)的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，求：(1)小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率；(2)小明数学考试及格的概率．解析：分别记小明的成绩在“90分(及90分)以上”“80分～89分”“70分～79分”“60分～69分”为事件A，B，C，D，这四个事件彼此互斥．(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)方法一小明数学考试及格的概率是P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.方法二小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是1－0.07＝0.93.

方法归纳(1)当事件A的概率不易求，直接计算概率比较烦琐时，可先间接地计算其对立事件B的概率，再由公式P(A)＋P(B)＝1求其概率．(2)应用对立事件的概率公式时，一定要分清事件和其对立事件．该公式常用于“至少”“至多”型问题的求解．跟踪训练2

一名射手在某次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算这个射手在这次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)射中的环数低于7环的概率．

题型2一般概率加法公式的应用例3如图，一面旗帜由3部分构成，这3部分必须分别涂上不同的颜色，现有红、黄、蓝、黑四种颜色可供选择，计算下列事件的概率：(1)红色被选中；(2)第1部分是黑色或第2部分是红色．

方法归纳概率加法公式和一般概率加法公式的区别在于A，B是否互斥．跟踪训练3

在所有的两位整数中，任取一个数，求这个数能被2或3整除的概率．