4.3.2　空间中直线与平面的位置关系 2023-2024学年高中数学湘教版必修第二册

高中数学湘教版必修第二册第四章立体几何初步4.3直线与直线、直线与平面的位置关系4.3.2空间中直线与平面的位置关系第1课时直线与平面平行的判定教材要点要点一空间中直线与平面的位置关系位置关系图形写法公共点情况直线在平面内__________直线上所有的点都是公共点直线和平面相交__________有且只有一个公共点直线和平面平行__________没有公共点a⊂α

a∥α

要点二直线与平面平行的判定定理文字语言如果________一条直线与此________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行图形语言符号语言________________平面外平面内若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α状元随笔(1)直线与平面平行的判定定理，主要作用是可以证明直线与平面平行．(2)应用直线与平面平行的判定定理，必须具备三个条件：①直线a在平面外，即a⊄α.②直线b在平面内，即b⊂α.③两直线a，b平行，即a∥b.(3)线面平行的判定定理，可简记为“线线平行，则线面平行”．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.(

)(2)若直线与平面不相交，则直线与平面平行．(

)(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．(

)(4)若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α.(

)××××2．下列结论正确的是(

)A．过直线外一点，与该直线平行的平面只有一个B．过直线外一点，与该直线平行的直线有无数条C．过平面外一点，与该平面平行的直线有无数条D．过两条平行线中的一条的任一平面均与另一条直线平行答案：C解析：过平面外一点，与该平面平行的直线有无数条，只要直线与平面无公共点，就是直线与平面平行．3．如图，在长方体ABCD­-A′B′C′D′的六个面所在的平面中，与AB平行的平面是_______________________．平面A′B′C′D′，平面DCC′D′解析：由于AB∥A′B′，AB⊄平面A′B′C′D′，A′B′⊂平面A′B′C′D′，所以AB∥平面A′B′C′D′，同理证得AB∥平面DCC′D′.题型1直线与平面位置关系的判定例1下列条件为直线a与平面α平行的充分条件的是(

)A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BDD．a⊄α，b⊂α，a∥b答案：D解析：若b⊂α，a∥b，则a∥α或a⊂α，故选项A不是．若b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a⊂α，故选项B不是．若满足此条件，则a∥α或a⊂α或a与α相交，故选项C不是．选项D是直线与平面平行的充分条件．方法归纳1．平行问题是以无公共点为主要特征的，直线和平面平行即直线与平面没有任何公共点，紧紧抓住这一点，平行的问题就可以顺利解决．2．解决此类题目，可以采用直接法，也可以使用排除法．

答案：CD解析：结合直线与平面位置关系可知AB错误，CD正确．题型2直线与平面平行的判定定理的应用角度1中位线模型例2

如图，直三棱柱ABC­-A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.

证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又因为D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC1.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.方法归纳“要证线面平行，先证线线平行”，三角形的中位线，梯形的中位线是证明线线平行的主要工具．当条件中出现“中点”字样的条件时，要想到中位线，如中点不够，往往需要再“找”或“作”中点，即“由中点想中位线，取中点连中位线”．角度2平行四边形模型例3如图，在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BDD1B1.

方法归纳使用直线与平面平行的判定定理时，关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线，一般遵循“先找后作”的原则，即现有的平面中没有出现与已知直线平行的直线时，我们再考虑添加辅助线．跟踪训练2

(1)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，E为PC的中点，PF＝2FD，求证：BE∥平面AFC.证明：如图，连接BD，交AC于点O，取PF的中点G，连接EG，ED，ED交CF于点M，连接MO.在△PCF中，E，G分别为PC，PF的中点，则EG∥FC.在△EDG中，MF∥EG，且F为DG的中点，则M为ED的中点．在△BED中，O，M分别为BD，ED的中点，则BE∥MO.又因为MO⊂平面AFC，BE⊄平面AFC，所以BE∥平面AFC.(2)已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ，如图所示．求证：PQ∥平面CBE.

易错辨析判断直线与平面平行时忽略直线在平面内的情形致误例4已知M是两条异面直线a，b外一点，则过点M且与直线a，b都平行的平面(

)A．有且只有一个

B．有两个C．没有或只有一个D．有无数个答案：C解析：过点M作直线a′∥a，过点M作直线b′∥b，则直线a′，b′确定平面α.当a，b都不在由a′，b′确定的平面α内时，过点M且与a，b都平行的平面只有一个；当a⊂α或b⊂α时，过点M且与a，b都平行的平面不存在．易错警示易错原因纠错心得解题时易忽略a⊂α或b⊂α的情况，从而错选A.直线与平面的位置关系的分类要清晰，一种分法是直线在平面内与不在平面内(包括直线与平面平行和相交)；另一种分法是直线与平面平行(无公共点)和直线与平面不平行(直线在平面内和直线与平面相交)．课堂十分钟1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是(

)A．直线m在平面α外B．直线m与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行D．直线m与平面α内的一条直线平行答案：C解析：选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．2．圆台的底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是(

)A．平行

B．相交C．在平面内D．不确定答案：A解析：圆台底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点，则它们平行．3．点M，N是正方体ABCD-­A1B1C1D1中A1A，A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，则MN与平面PCB1的位置关系是(

)A．平行B．相交C．MN⊂平面PCB1D．以上三种情况都有可能答案：A解析：平面PCB1即平面B1AC，∵MN∥AB1，MN⊄平面B1AC，AB1⊂平面B1AC，∴MN∥平面ACB1，即MN∥平面PCB1.高中数学湘教版必修第二册第四章立体几何初步4.3直线与直线、直线与平面的位置关系4.3.2空间中直线与平面的位置关系第2课时直线与平面平行的性质教材要点要点直线与平面平行的性质文字语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行．符号语言图形语言a⊂β

基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都无公共点．(

)(2)若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的任意一条直线．(

)(3)若直线a与平面α不平行，则直线a就与平面α内的任一直线都不平行．(

)(4)若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b.(

)√×××2．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(

)A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交答案：D解析：因为a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交．3．如果直线a∥平面α，b⊂α，那么a与b的关系是(

)A．相交B．平行或异面C．平行D．异面答案：B

平行解析：由线面平行的性质得，AB∥CD，AB∥EF，由基本事实4得CD∥EF.题型1利用线面平行的性质定理证明线线平行

例1如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．证明：∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可证NP∥MQ.∴四边形MNPQ为平行四边形．方法归纳运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”．跟踪训练1

一平面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形只有一条对角线与这个截面平行，判断这四个交点围成的四边形的形状．解析：如图所示，AC∥平面EFGH，则EF∥HG.而对角线BD与平面EFGH不平行，所以EH与FG不平行．所以EFGH是梯形．题型2利用线面平行的性质求线段比例2如图，已知E，F分别是菱形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值．

方法归纳解此类题的关键：一是转化，即把线面平行转化为线线平行；二是计算，把要求的线段长或线段比问题，转化为同一个平面内的线段长或线段比问题去求解，此时需认真运算，才能得出正确的结果．跟踪训练

2

如图，AB，CD为异面直线，且AB∥α，CD∥α，AC，BD分别交α于M，N两点．求证：AM∶MC＝BN∶ND.

证明：连接AC，A1C1在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形ACC1A1是平行四边形，所以AC∥A1C1，因为AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1，因为AC⊂平面PAC，平面A1BC1∩平面PAC＝MN，所以AC∥MN.因为MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.方法归纳直线与平面平行的性质定理和直线与平面平行的判定定理经常综合使用，即通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行．跟踪训练3

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明：如图，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又M是PC的中点，∴AP∥OM.又AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.

答案：B解析：由直线与平面平行的性质定理知l∥m.2.如图所示，在空间四边形ABCD中，F，G分别是线BC，CD的中点，EH∥平面CBD，则EH与FG的位置关系是(

)A．平行B．相交C．异面D．不确定答案：A解析：因为EH∥平面CBD，EH⊂平面ABD，平面CBD∩平面ABD＝BD，所以EH∥BD，又FG∥BD，所以EH∥FG.3．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为(

)A．都平行

B．都相交且一定交于同一点C．都相交不一定交于同一点D．平行或相交于同一点答案：D

4．如图所示，棱柱ABC­-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．1

高中数学湘教版必修第二册第四章立体几何初步4.3直线与直线、直线与平面的位置关系4.3.2空间中直线与平面的位置关系第3课时直线与平面垂直的判定教材要点要点一直线与平面垂直的定义定义如果直线l与平面α相交，并且垂直于这个平面内的________直线，称直线l与平面α互相垂直．记法________有关概念直线l叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l的垂面，它们的交点叫作垂足．画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．所有l⊥α图示性质(1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直．(2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．状元随笔对直线与平面垂直的几点说明(1)定义中的“所有直线”这一词语与“任意一条直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形．(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．这是判断两条直线垂直的一种重要方法．要点二直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的________直线垂直，那么该直线与此平面垂直．符号语言a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，__________，则l⊥α图形语言两条相交

状元随笔(1)不能用“一条直线与平面内的两条平行直线垂直来判断此直线与平面垂直”．实际上，由基本事实4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线平行．(2)线面垂直的判定定理可简记为“线线垂直，则线面垂直”．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)直线l垂直于平面α内的两条直线，则直线l垂直于平面．(

)(2)如果一条直线与平面的垂线垂直，则该直线与这个平面平行．(

)(3)直线l垂直于平面α内的无数条直线，则直线l垂直于平面α.(

)(4)如果l⊥α，那么直线l垂直于平面α内的无数条直线．(

)×××√2．在正方体ABCD-­A1B1C1D1中，与BC1垂直的平面是(

)A．平面DD1C1C

B．平面A1B1CDC．平面A1B1C1D1D．平面A1DB答案：B

3．直线n⊥平面α，n∥l，直线m⊂α，则l，m的位置关系是________．l⊥m解析：由题意可知l⊥α，所以l⊥m.题型1直线与平面垂直关系的判断例1下列说法正确的是(

)A．垂直于同一条直线的两条直线平行B．如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直C．如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直D．若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直答案：B解析：因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故A不正确．由线面垂直的定义可得，B正确．因为这两条直线可能是平行直线，故C不正确．如图，l与α不垂直，但a⊂α，l⊥a，故D不正确．方法归纳直线与平面垂直的定义的“双向”作用(1)证明线面垂直：若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，该直线与已知平面垂直．即线线垂直⇒线面垂直．(2)证明线线垂直：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直．即线面垂直⇒线线垂直．跟踪训练1

如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内(

)A．不存在与l垂直的直线B．存在一条与l垂直的直线C．存在无数条与l垂直的直线D．任一条都与l垂直解析：平面α内与l在α内的射影垂直的直线，垂直于直线l，这样的直线有无数条，故A，B不正确，C正确；若在平面α内，任一条都与l垂直，则直线l与平面α垂直，与题设矛盾，故D不正确．答案：C题型2直线与平面垂直的判定定理的应用例2如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.

方法归纳(1)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理的逆定理等都是找线线垂直的方法．

跟踪训练2

如图，该几何体的三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是矩形．若AA1＝2AC，AC⊥AB，M为CC1的中点．证明：A1M⊥平面ABM.

题型3线面垂直的判定定理与线面垂直的定义的综合应用例3如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.

方法归纳证明线面垂直与线线垂直问题时，注意线线垂直与线面垂直的转化．

易错辨析逻辑推理不严密致误例4

如图，在三棱柱ABC­-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，D是AB的中点，连接CD.求证：CD⊥平面ABB1A1.

易错警示易错原因纠错心得没有正确使用直线与平面垂直的判定定理，忽略了“垂直于平面的两条相交直线”这一条件致错．应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键条件．课堂十分钟1．(多选)下列说法中正确的是(

)A．过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直B．过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直C．过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行D．过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直答案：ABC解析：由线面垂直的性质及线面平行的性质知ABC正确；D错，过直线外一点作平面与直线垂直，则平面内过这一点的所有直线都与该直线垂直．2．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(

)A．平面OAB

B．平面OACC．平面OBC

D．平面ABC答案：C

3.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为(

)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定答案：B解析：易证AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，所以△ABC为直角三角形．4．在直三棱柱ABC-­A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件______________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)∠A1C1B1＝90°解析：如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)5．如图，在四棱锥S-­ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求证：SD⊥平面SAB.

高中数学湘教版必修第二册第四章立体几何初步4.3直线与直线、直线与平面的位置关系4.3.2空间中直线与平面的位置关系第4课时直线与平面垂直的性质教材要点要点一直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线________符号语言图形语言作用①线面垂直⇒线线平行；②作平行线

平行a∥b状元随笔(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．(3)线面垂直的性质定理可简记为“线面垂直，则线线平行”．要点二点面距、线面距1．点到平面的距离过一点S向平面ABC作垂线，垂足为A，则称垂线段SA的长度为点S到平面ABC的距离．2．直线与平面的距离一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线与这个平面的距离．要点三直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线一条直线l与一个平面α________，但不与平面α________，则直线l称为平面α的一条斜线．斜足斜线l与平面α的交点A称为斜足．投影过斜线l上斜足以外的一点P向平面α作垂线，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线l在平面α上的投影．直线与平面所成的角(1)平面的一条斜线与它在该平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角．(2)直线与平面所成的角θ的取值范围是__________．相交垂直[0°，90°]状元随笔把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的投影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若l⊥β，且α∥β，则l⊥α.(

)(2)垂直于同一条直线的两平面平行．(

)(3)如果一条直线上有两点到一平面的距离相等，那么直线不一定与平面平行．(

)(4)如果一个平面内任意一点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面平行．(

)√√√√2．已知△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则不重合的直线l，m的位置关系是(

)A．相交B．异面C．平行D．不确定答案：C

3．棱长为2的正方体ABCD-­A′B′C′D′中，P是平面ABCD内一点，则点P到平面A′B′C′D′的距离是(

)A．1

B．2C．3

D．4答案：B4．在正方体ABCD-­A1B1C1D1中，直线AC与平面A1D所成的角为________．45°解析：如图，因为CD⊥平面ADD1A1，所以直线AC与平面A1D所成的角为∠CAD，因为△ADC是等腰直角三角形，所以∠CAD＝45°.题型1直线与平面垂直的性质定理的应用例1如图，已知正方体ABCD-­A1B1C1D1.(1)求证：A1C⊥B1D1.(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C.

方法归纳(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直．(2)在证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．跟踪训练1

如图所示，在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.

题型2有关距离的计算例2已知在