2.1 两角和与差的三角函数 2023-2024学年高中数学湘教版必修第二册

高中数学湘教版必修第二册第二章三角恒等变换2.1两角和与差的三角函数2.1.1两角和与差的余弦公式教材要点要点两角和与差的余弦公式状元随笔公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式，可用口诀“余余，正正，号相反”记忆公式．名称简单符号公式使用条件两角差的余弦C(α－β)cos(α－β)＝____________________α，β为任意角两角和的余弦C(α＋β)cos(α＋β)＝____________________cosαcosβ＋sinαsinβcosαcosβ－sinαsinβ基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对任意角α，β，都有cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.(

)(2)存在角α，β，使得cos(α－β)＝cosα－cosβ.(

)(3)对任意角α，β，都有cos(α－β)＝cosα－cosβ.(

)(4)存在角α，β，使得cos(α＋β)＝cosα－cosβ.(

)×√×√

答案：C

答案：A

方法归纳利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的和差，正用公式直接求解．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．

答案：A

(2)cos63°sin57°＋sin117°sin33°＝________．

方法归纳(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)已知角的一个弦值，求另一个弦值时，一定注意已知角的范围．

答案：B

方法归纳(1)要求角需先求这个角的三角函数值，然后根据范围得出角的值．(2)已知一个角的正弦值(余弦值)求余弦值(正弦值)时，要根据角的范围确定其符号．

易错警示易错原因纠错心得只考虑α，β为锐角，得0＜α＋β＜π.忽视角的隐含条件，导致结果出现了两解．利用三角函数值求值时，不仅要注意有关角的范围，还要结合一些特殊角的三角函数值把角的范围缩小到尽可能小的范围内，这样可以避免多解的情况．

答案：A

答案：A

高中数学湘教版必修第二册第二章三角恒等变换2.1两角和与差的三角函数2.1.2两角和与差的正弦公式教材要点要点两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝______________________α，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝____________________α，β∈Rsinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ

基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对任意的α，β角，都有sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.(

)(2)存在α，β角，使得sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.(

)(3)存在α，β角，使得sin(α－β)＝sinα＋sinβ.(

)(4)∀α，β，有sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β.(

)×√√√

答案：D

答案：C

答案：A

方法归纳(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分，解题时要注意逆用或变用公式．跟踪训练1

(1)化简：sin(x＋27°)cos(18°－x)＋sin(63°－x)·sin(18°－x)＝________．

方法归纳(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)已知角的一个弦值，求另一个弦值时，一定注意已知角的范围．

答案：A

方法归纳(1)要求一个角，一般可以先求这个角的某种三角函数值，具体求哪种三角函数值，应根据所求角的范围确定．(2)考虑角的拼凑，注意到β＝α－(α－β)，故sinβ＝sin[α－(α－β)]，或cosβ＝cos[α－(α－β)].(3)本题还可以将cos(α－β)展开，结合同角三角函数的关系求解，但比较复杂．

答案：D

答案：ABC

答案：C

高中数学湘教版必修第二册第二章三角恒等变换2.1两角和与差的三角函数2.1.3两角和与差的正切公式教材要点要点

两角和与差的正切公式名称公式简记符号使用条件两角和的正切tan(α＋β)＝__________________T(α＋β)两角差的正切tan(α－β)＝__________________T(α－β)

状元随笔公式T(α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．

×√×

答案：D

答案：B

答案：B

方法归纳(1)注意两角和与差的正切公式的特点，逆用公式求值．(2)第(1)小题用到了“1”的变换，即将常数1转化为tan45°，这种技巧在解三角函数问题中经常用到．

答案：A

答案：D

方法归纳由三角函数定义与同角三角函数的基本关系式求已知角的正切值，再运用两角和与差的正切公式求解．

答案：C

答案：C

易错辨析忽略条件中隐含的角的范围出错例5

已知tan2α＋6tanα＋7＝0，tan2β＋6tanβ＋7＝0，α，β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．

易错警示易错原因