广东省惠州市第五中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试卷

2023-2024秋季学期期末教学质量检测九年级数学试卷一、选择题：(本大题共10小题，每小题3分，共30分)．1.下列图形中，是中心对称图形的是（） A．B．C．D．2.下列是一元二次方程的为（）A. B. C. D.3.毛泽东在《沁园春•雪》中提到五位历史名人：秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗，小红将这五位名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上，小哲从中随机抽取一张，卡片上介绍的人物是唐朝以后出生的概率是（）A．B．C．D．4.关于反比例函数y=，下列说法正确的是（）A．图象过点(1，2)B．图象在第一、三象限C．当＞0时，y随的增大而减小D．当＜0时，y随的增大而增大题5图5.如图，在半径为的⊙中，弦，于点，题5图则OC长为（）A． B．C． D．6.若是一元二次方程的两个根，则的值是（）A.B.C.D.7.A.y＝4(x+3)2+5 B.y＝4(x+3)2﹣5C.y＝4(x﹣3)2+5 D.y＝4(x﹣3)2﹣5题8图如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，题8图则∠C的度数为（）A.

32°

B.

42°

C.

58°

D.

116°

题9图9.△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是（）题9图A．B．C．D．题10图10.抛物线的顶点为D（﹣1，2），与轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4c＜0；②当＞﹣1时，随增大而减小；③+b+c＜0；④若方程﹣m=0没有实数根，则m＞2；⑤3+c＜0．其中正确结论的个数是（）题10图A．2个 B．3个 C．4个 D．5个填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）.11.点A（3，-1）关于原点对称的点的坐标为_____________.12.如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A′B′C，若AC⊥A′B′，则∠A=______.13.二次函数的图象的顶点坐标是_______________.14.如图，直线AD∥BE∥CF，BC=AC，DE=4，那么EF的值是_________.15.如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影部分的面积为________.题15图题15图题14图题12图题16（2）图题16（2）图三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．16．（1）解方程：.（2）如图，三个顶点的坐标分别为A（2,4），B（1,1），C（4,3）.请画出绕点O逆时针旋转后的△A1B1C1,并求出C点旋转到C1点所经过的路径长.（结果保留π）题17图在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条题17图相同宽度金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽.18.已知关于x的方程3x2－(k+3)x+k＝0.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根大于2，求k的取值范围.四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19.在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为，放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y.（1）用列表法或画树状图表示出（，y）的所有可能出现的结果；20．综合与实践一次数学综合实践活动课上，小华发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小华的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝.尝试证明：（1）请参照小华提供的思路，利用图2证明：＝；应用拓展：（2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．若AC＝1，AB＝2，求DE的长.21.如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点(F不与A，B重合)，过点F的反比例函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)的图象与BC边交于点E.(1)当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标；(2)设(1)中的直线EF的解析式为y＝ax＋b，直接写出不等式ax＋b＜eq\f(k,x)的解集；(3)当k为何值时，△AEF的面积最大，最大面积是多少？题21图题21图五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．22．综合探究如图，平行四边形ABCD中，AC＝BC，过A、B、C三点的⊙O与AD相交于点E，连接CE.（1）求证：AB＝CE；（2）求证：DC与⊙O相切；（3）若⊙O半径r＝5，AB＝8，求AE的值.题22图题22图23．综合运用如图，抛物线与x轴交于A（﹣6，0），B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC.（1）求抛物线的函数表达式.（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长.2023-2024秋季学期期末教学质量检测九年级数学参考答案与评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．1.C2.B3.B4.D5.B6.C7.D8.A9.D10.C二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11.（-3,1）12.50°13.（1,3）14.215.三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．16.（1）解：，……………2分或，……………4分，．………………5分（2）解：……………3分………5分17.解：设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为(80+2x)cm，宽为(50+2x)cm，根据题意得:(80+2x)(50+2x)=5400，…………4分解得:x1=-70(不符合题意，舍去),x2=5.…………6分答:金色纸边的宽度为5cm.…………7分18.（1）证明：依题意，得：△=(k+3)²-4×3×k=k²-6k+9=(k-3)².………1分∵(k-3)²≥0，………2分∴△≥0.∴该方程总有两个实数根.………3分（2）解：解方程3x²-(k+3)x+k=0得：x1=1，x2=………5分∵该方程有一个根大于2，∴∴k>6.………7分四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19.解：（1）列表如下：12341（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）…………6分∵共有16种情形，其中落在二次函数y=2的图象上有2种，即点（1，1）（2，4），∴P（落在二次函数y=2的图象上）=216=18．……………920.（1）证明：∵CE∥AB，∴∠E＝∠EAB，∠B＝∠ECB，∴△CED∽△BAD，∴，………2分∵∠E＝∠EAB，∠EAB＝∠CAD，∴∠E＝∠CAD，∴CE＝CA，∴．………4分（2）解：∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，由（1）可知，，又∵AC＝1，AB＝2，∴，………5分∴BD＝2CD，∵∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝，………7分∴BD+CD＝，∴3CD＝，∴CD＝，∴DE＝.………9分21.解：(1)∵四边形OABC为矩形，OA＝3，OC＝2，∴AB＝2，BC＝3.∵F为AB的中点，∴点F的坐标为(3，1)．…………2分∵点F在反比例函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)的图象上，∴k＝3×1＝3.∴反比例函数的解析式为y＝eq\f(3,x).…………3分∵点E在BC上，∴E点纵坐标为2.在y＝eq\f(3,x)中，令y＝2，得x＝eq\f(3,2)，∴点E的坐标为(eq\f(3,2)，2)；…………4分(2)0＜x＜eq\f(3,2)或x＞3；…………5分(3)由题意可知点E的纵坐标为2，点F的横坐标为3，且E、F在反比例函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)的图象上，∴可设E(eq\f(k,2)，2)，F(3，eq\f(k,3))．∴AF＝eq\f(k,3)，CE＝eq\f(k,2).∴BE＝BC－CE＝3－eq\f(k,2).∴S△AEF＝eq\f(1,2)AF·BE＝eq\f(1,2)·eq\f(k,3)·(3－eq\f(k,2))＝－eq\f(1,12)k2＋eq\f(k,2)＝－eq\f(1,12)(k－3)2＋eq\f(3,4).…………7分∵－eq\f(1,12)＜0，∴S△AEF是关于k的开口向下的抛物线，∴当k＝3时，S△AEF有最大值，最大值为eq\f(3,4).即当k的值为3时，△AEF的面积最大，最大面积为eq\f(3,4).…………9分五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．22.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD,∠B=∠D，AD=BC.∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∴∠DEC=∠B，∴∠D=∠DEC，∴CD=CE，∴AB=CE.…………3分（2）证明：如图，连接CO并延长交AB于点H，∵AC=BC，∴，且CO是半径，∴CH⊥AB，AH=BH.…………5分∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD.又CH⊥AB.…………6分∴CH⊥CD,且CO是半径，∴DC与⊙O相切.…………7分（3）解：如图，连接OA∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，CD=AB=8.∵AH=BH，AB=8，∴AH=BH=4.…………8分又AO=5，CH⊥AB，∴∴∴.…………9分∵AC=BC，∴∠CAB=∠B.∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∴∠CED=∠B，∵∠B=∠D,∴△CDE∽△CAB.…………10分…………11分…………12分解：（1）把点A(-6,0)和点B(2,0)代入抛物线得： ………………2分∴此抛物线的函数表达式为y=x2+2x﹣6.………………3分（2）①存在：设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，∵B（2，0），C（0，﹣6），∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，………4分∵DE∥BC，∴当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，分两种情况：如图1，当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形，