2024年高考数学优等生培优第41讲 含参不等式解法-原卷版 97

第41讲含参不等式解法1.若函数f(x)在区间D上存在最小值和最大值,则不等式f(x)＞a在区间D上恒成立⇔＞a;不等式f(x)≥a在区间D上恒成立⇔≥a;不等式f(x)＜b在区间D上恒成立⇔＜b;不等式f(x)≤b在区间D上恒成立⇔≤b.2.若函数f(x)在区间D上不存在最大(小)值,且值域为(m,n),则不等式f(x)＞a(或f(x)≥a)在区间D上恒成立⇔m≥a;不等式f(x)＜b(或f(x)≤b)在区间D上恒成立⇔n≤b.3.若函数f(x)在区间D上存在最小值和最大值,则不等式a＜f(x)在区间D上有解⇔a＜﹔不等式a≤f(x)在区间D上有解⇔a≤不等式a＞f(x)在区间D上有解⇔a＞﹔不等式a≥f(x)在区间D上有解⇔a≥4.若函数f(x)在区间D上不存在最大(小)值,且值域为(m,n),则不等式a＜f(x)(或a≤f(x))在区间D上有解⇔a＜n;不等式b＞f(x)(或b≥f(x))在区间D上有解⇔b＞m.结论一、利用二次函数的性质对形如f(x)＞0或f(x)＜0在其定义域上的不等式恒成立问题,若f(x)满足二次函数的一般结构,那不妨将题转化成二次函数在其定义域上的图像在坐标系中与x轴的高低比较.一般来讲,对(或)在x∈R上恒成立问题,可以利用二次项系数及判别式进行讨论;对(或)在x∈D(D≠R)上恒成立问题,常用分离参数法.【例1】若不等式的解集是R,则m的取值范围是__________【变式】已知,若x∈[–2,2],f(x)≥2恒成立，则a的取值范围是_________________.结论二、分离变量若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.这类题型的基本解题思路如下:(1)将参数与变量分离,即化为g(a)≥f(x)(或g(a)≤f(x))恒成立的形式;(2)求f(x)在x∈D上的最大(或最小)值;(3)解不等式g(a)≥(或g(a)≤),得a的取值范围.【例2】当x∈[1,2]时,不等式恒成立,则m的取值范围是_________.【变式】已知x∈(–∞,1]时,不等式恒成立,则a的取值范围是___________结论三、变换主元在不等式的恒成立问题中，有一类题型是题中的参数如a，m，k等的范围是已知的，而问题要求的反而是变量x的范围。这类题型中，由于已知范围的变量是以前我们所接触的参数，因而题中的函数结构也就发生了改变，此时函数是以参数为自变量的函数。一般来说，我们在观察这类恒成立问题时，哪个变量的范围是已知的，哪个就是该函数的自变量。【例3】若|a|≤2,不等式恒成立,则x的取值范围是__________.【变式】若不等式对于a∈(－∞,3]恒成立,则x的取值范围是_______________.结论四、恒成立问题1.对任意的x∈D,都有f(x)＞m,则＞m;2.对任意的x∈D,都有f(x)＜m,则＜m.【例4】若对任意x＞0,都有,则a的取值范围是___________.【变式】已知函数,若对任意,都有,则实数的取值范围是____________________结论五、能成立问题1.若存在,使得,则;2.若存在,使得,则.【例5】存在实数,使得不等式有解,则的取值范围为________________【变式】已知函数,若定义域不为空集,则的取值范围为________________结论六、恰成立问题1.若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为;2.若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为.【例6】不等式的解集为,则________________【变式】已知函数,若的解集为,则________________结论七、“任意=存在”型对任意的,存在,使得,则的值域是值域的子集,即.【例7】函数,对于任意的,均存在,使得成立,则的取值范围是________________【变式】已知,对任意的,存在,使得,则的取值范围是________________结论八、“存在=存在”型若存在,存在,使得,则的值域与