2024年高考数学优等生培优第40讲 不等式的性质与解法-解析版94

第40讲不等式的性质与解法通关一、文字语言与数学符号之间的转换文字语言数学符号文字语言数学符号大于＞至多≤小于＜至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤通关二、不等式的基本性质性质别名内容注意性质1对称性a＞bb＜a;a＜bb＞a可逆性质2传递性a＞b,b＞ca＞c;a＜b,b＜ca＜c同向性质3可加性a＞ba＋c＞b＋c可逆性质4可乘性a＞b,c＞0ac＞bc;a＞b,c＜0ac＜bcc的符号性质3推论1称项法则a＋b＞ca＞c－b可逆性质3推论2同向可加性a＞b,c＞da＋c＞b＋d同向性质4推论1同向同正可乘性a＞b＞0,c＞b＞0ac＞bd同向，同正性质4推论2可乘方性同正性质4推论3可开方性同正性质4推论4倒数法则同号结论一、不等式的性质1.加法法则(同向不等式可加性):a＞ba＋c＞b＋c(c∈R).2.乘法法则:若a＞b,则3.除法法则:若a＞b且c≠0,则【例1】若实数a,b满足a＞b,则下列不等式一定成立的是() A. B. C. D.【答案】D【解析】,因为a＞b，a－b＞0，，所以.故选D.【变式】当a＞b＞c时，下列不等式恒成立的是(). A.ab＞ac B.a|c|＞b|c| C.|ab|＜|bc| D.(a－b)|c－b|＞0【答案】D【解析】A选项,必须满足a＞0,故不恒成立;B选项,|c|＝0时,结论不成立;C选项,b＝0时,结论显然不成立;D选项,因为a＞b＞c,所以a－b＞0,又因为|c－b|＞0,所以D选项正确.故选D.结论二、比较大小1.作差法:任意两个代数式a，b可以作差a－b后比较a－b与0的关系,进一步比较a与b的大小.①a－b＞0⇔a＞b;②a－b＜0⇔a＜b;③a－b＝0⇔a＝b.2.作商法:任意两个值为正的代数式a，b可以作商a÷b后比较与1的关系,进一步比较a与b的大小.①;②;③.若代数式a，b都为负数,也可以用作商法.3.中间量法:若两个代数式a，b不容易直接判断大小,可引入第三个量c分别与a，b作比较,若满足a＞c且c＞b,则a＞b.第三个量就是中间量.这种方法就是中间量法,其实质是不等式的传递性.一般选择0或1为中间量.【例2】若a＞b＞0,则下列不等式中一定成立的是(). A． B. C. D.【答案】D【解析】因为a＞b＞0，所以，所以，A选项错误；因为－＝当a＞b＞0，且ab＜1时，,此时，B选项错误；因为a＞b＞0，所＝＝，C选项错误;因为a＞b＞0，所以－＝＝＜0，，D选项正确.故选D.【变式】设实数a,b满足0＜a＜b,且a＋b＝1,则下列四数中最大的是(). A. B. C.2ab D.a【答案】B【解析】由已知有b＞＞a＞0,且＞2ab,排除C、D选项.作差比较A、B选项.由＝＝又ab＜,即ab＜,所以1－4ab＞0,所以＞故选B.结论三、一元二次不等式的图象一元二次方程的根有两个相异的实根有两个相等的实根没有实数根的解集R的解集【例3】不等式的解集为______________.【答案】【解析】不等式化为，解得.所以不等式的解集为.【变式】不等式的解集为(). A. B.或 C.或 D.【答案】【解析】因为,所以,即,解得或,所以不等式的解集为或.故选B.结论四、分式不等式1.一般地,解分式不等式的基本思想是化分式不等式为整式不等式或整式不等式组,即（1）;（2）;（3)(4)2.穿根法步骤(1)将f(x)最高次项系数化为正数;(2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解的因式的积,然后求出f(x)＝0的解,并在数轴上标出;(3)自数轴正方向起,用曲线从右至左、自上而下依次从各解穿过数轴,奇穿偶不穿;(4)记数轴上方为正,下方为负,根据不等号写出解集.【例4】不等式的解集为(). A.{x|x＜－2或x＞3} B.{x|x＜–2或1＜x＜3} C.{x|－2＜x＜1或x＞3} D.{x|－2＜x＜1或1＜x＜3|【答案】C【解析】.利用数轴穿根法解得－2＜x＜1或x＞3.故选C.【变式】不等式的解集是(). A. B. C. D.【答案】D【解析】,于是且x≠1.故选D.结论五、绝对值不等式1.|f(x)|＜a(a＞0)⇔－a＜f(x)＜a;2.|f(x)|＞a(a＞0)⇔f(x)＜－a或f(x)＞a;3.|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x);4.|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＜－g(x)或f(x)＞g(x).【例5】若不等式|x－a|＜1的解集为{x|1＜x＜3},则实数α的值为_______.【答案】2【解析】因为|x－a|＜1,所以－1＜x－a＜1,所以a－1＜x＜a＋1,所以不等式|x–a|＜1的解集为{x|a－1＜x＜a＋1}.因为不等式|x－a|＜1的解集为{x|1＜x＜3},所以a－1＝1且a＋1＝3,