2024年高考数学优等生培优第34讲 等差数列通项公式及性质-原卷版85

第34讲等差数列通项公式及性质【知识通关】通关一、等差数列的定义1.文字语言形式一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,公差通常用字母表示.要点诠释：(1)公差一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求;(2)共同特征:从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）.2.符号语言形式对于数列,若为常数)或为常数,则此数列是等差数列,其中常数叫作等差数列的公差.要点诠释：定义中要求“同一个常数”,必须与无关.通关二、等差中项如果成等差数列,那么叫作与的等差中项,即.要点：诠释(1)两个数的等差中项就是两个数的算术平均数.任意两实数的等差中项存在且唯一.(2)三个数成等差数列的充要条件是.通关三、等差数列的通项公式首项为,公差为的等差数列的通项公式为:推导过程：(1)归纳法根据等差数列定义可得,所以,,,.当时,上式也成立.所以归纳得出等差数列的通项公式为:.(2)叠加法根据等差数列定义,有:,,,.把这个等式的左边与右边分别相加(叠加),并化简得,所以.(3)迭代法.所以.要点诠释：(1)通项公式由首项和公差完全确定,一日一个等差数列的首项和公差确定,该等差数列就唯一确定了.(2)通项公式中共涉及四个量,已知其中任意三个量,通过解方程,便可求出第四个量.通关四、等差数列中的函数关系等差数列中,,令,则:（是常数且为公差）.(1)当时,为常数函数,为常数列;它的图像是在直线上均匀排列的一群孤立的点.(2)当时,是的一次函数;它的图像是在直线上均匀排列的一群孤立的点.(1)当时,一次函数单调增,为递增数列;(2)当时,一次函数单调减,为递减数列.结论一、通项公式理解由等差数列的通项公式可知：(1)已知等差数列的首项和公差,可以求得这个数列的任何一项;(2)已知这四个量中的任意三个,可以求得第四个量.【例1】在等差数列中,(1)若,求和;(2)若,求.【变式】在等差数列中,首项,公差,若,则的值为（）. A.37 B.36 C.20 D.19结论二、通项公式变形等差数列满足:.【例2】已知等差数列前9项的和为,则（）.A.100 B.99 C.98 D.97 【变式】是公差为的等差数列,如果,那么等于（）.A. B. C. D.结论三、公差的几何意义公差等于等差数列中任意两项之差与序号之差之比(即斜率),表示为:.【例3】在等差数列中,已知,求.在等差数列中,已知,求.【变式】已知等差数列中,,则____________.结论四、下标和相等,项之和相等等差数列中,若,则;若,则有【例4】已知等差数列中,,则的值是（）.A.15 B.30 C.31 D.64【变式】已知等差数列的前项和为,若,则____________.结论五、等差数列线性组合仍为等差数列若和均为等差数列,则（为常数)也是等差数列.【例5】已知数列满足,则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的（）.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式】设数列都是等差数列,若,则____________.结论六、下标成等差,项也成等差若是等差数列,则组成公差为的等差数列.【例6】若为等差数列,,则___________.【变式】已知等差数列中,,则___________.结论七、对称项设法1.当等差数列的项数为奇数时,可设中间一项为,再以公差为向两边分别设项:;2.当等差数列的项数为偶数时,可设中间两项分别为,再以公差为向两边分别设项:.【例7】设有四个数的数列前三个数构成一个等比数列,其和为,后三个数构成一个等差数列,其和为15,且公差非零.对于任意固定的实数,若满足条件的数列个数大于1,则的取值范围为__________.【变式】一等差数列由3个数组成,3个数之和为9,3个数的平方和为35,求这个数列.结论八、等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明方法有以下四种：1.定义法:（常数)或为等差数列.2.等差中项法:为等差数列.3.通项公式法:（是常数,）为等差数列.4.前项和公式法:为常数为等差数列.若判断一个数列不是等差数列,只需找出三项,使得这三项不满足即可.【例8】已知数列满足.求