2024年高考数学优等生培优第29讲 向量的概念和性质-原卷版77

第29讲向量的概念和性质【知识通关】通关一、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则交换律:结合律:减法求与的相反向量的和的运算叫作与的差三角形法则数乘求实数与向量的积的运算（1）（2）时，与方向相同；时，与方向相反；时，通关二、几种特殊向量特殊向量定义备注零向量长度为0的向量零向量记作，其方向是任意的 单位向量长度等于1个单位的向量单位向量记作平行向量方向相同或相反的非零向量(也叫共线向量) 与任意向量共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量特殊向量相反向量长度相等且方向相反的两个向量若为相反向量,则结论一、三角形法则与平行四边形法则1.向量的加法:(1)三角形法则：，，的和（或和向量）(2)平行四边形法则:不共线，以为领边作平行四边形，则(3)多边形法则:已知n个向量,依次把这n个向量首尾相连,以第一个向量的始点为始点,第n个向量的终点为终点的向量叫作这n个向量的和向量.2.向量的减法:如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量.【例1】已知正六边形，在下列表达式①；②；③；④中，等价的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式】如图，，，分别是的边，，的中点，则（）A． B． C． D．结论二、单位向量方向上的单位向量（长度为1，与方向相同）【例2】设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则．上述命题中，假命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【变式】已知点，，则与向量同方向的单位向量为（）A． B． C． D．结论三、共线向量（平行向量）向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得.当时，共线同向；当时，共线反向.【例3】给出下列命题：①若，则；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，则；④的充要条件是；⑤若，则；其中正确的序号是_____________________【变式】平面向量，共线的充要条件是（）A．，方向相同 B．，两向量中至少有一个为零向量 C．， D．存在不全为零的实数，，结论四、共线求参用两个不共线向量（如）表示向量，设，化成关于的方程，由于不共线，则，解方程组即可.【例4】设向量，不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为（）A．或2 B．或3 C．2或 D．1或【变式】设为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知与共线，且与共线，则________________结论五、平面向量基本定理如果和是平面内两个不平行的向量，为该平面任一向量，则存在唯一的一对实数和使得.评注：定理中和是两个不共线的向量；为平面内任一向量，且实数对是唯一的；平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底.【例5】在中，若点满足，则=（） 【变式】在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则=（） 结论六、中线定理若为边BC上的中线，则【例】6如图，在中，是边的中线，是边的中点，若，，则=（） 【变式】如图，在中，，，分别为线段，，的中点，则=（） B． C． D．结论七、向量共线模型如图，在中，若点D是边BC上的点，且，则向量(系数之和为1).【例7】如图，在中，点0是BC的中点，过点0的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N，若，，则m+n的值为___