2024年高考数学优等生培优第18讲 导数的定义和运算-解析版58

第18讲导数的定义和运算通关一、导数的概念设函数，当自变量从变到时，函数值从变到，函数值关于的平均变化率为.当趋于，即趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数在点的导数，通常用符号表示，记作要点诠释：导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在某一时刻的瞬间变化率.对于不同的实际问题，平均变化率有不同的实际意义.如位移运动中，位移从时间到的平均变化率即为到这段时间的平均速度增量可以是正数，也可以是负数，但是不可以等于0.的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数.时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近.函数在处的导数还可以用符号表示.通关二、基本初等函数的导数基本初等函数导数特别地常数函数（为常数），幂函数（为有理数），指数函数对数函数正弦函数余弦函数要点诠释：常数函数的导数为0，即（为常数） ，其几何意义是曲线（为常数）在任意点处的切线平行于x轴.有理数幂函数的导数等于幂指数与自变量的（－1）次幂的乘积，即.在数学中，“”表示以（=2.71828）为底数的对数；“”表示以10为底数的常用对数.通关三、和、差、积、商的导数导数的加法法则导数的减法法则导数的乘法法则导数的除法法则通关四、复合函数的导数复合函数的概念对于函数，令，则是中间变量的函数，是自变量的函数，则函数是自变量的复合函数.【例】如，函数是由和复合而成的.复合函数的导数设函数在点处可导，，函数在点处的对应点处也可导，，则复合函数在点处可导，并且，或写作复合函数求导一般步骤分层：将复合函数分出内层、外层.各层求导：对内层，外层分别求导，得到，.求积并回代：求出两导数的积，然后将用替换，即可得到的导数.结论一、平均变化率和瞬时变化率函数的增量:;平均变化率：；瞬时变化率：.【例1】函数在闭区间内的平均变化率为（） A. B. C. D.【答案】D【解析】.故选D.【变式】若函数，则当时，函数的瞬时变化率为（） A.1 B.－1 C.2 D.－2【答案】D【解析】，.故选D.结论二、导数的定义【例】2设在处可导，则等于（） A. B. C. D.【答案】D【解析】.故选D.【变式】已知函数在处可导，则（） A. B. C. D.【答案】D【解析】.故选D.结论三、复合函数求导设函数在点处有导数，函数在点处对应点处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或些写作.①；②；③；④；⑤.【例3】已知，则=__________.【答案】【解析】解法一：设，，，则.解法二：==【变式】已知，则=_____________.【答案】【解析】，.结论四、导数的运算，，.【例4】已知，则=______________.【答案】【解析】.【变式】已知，则=______________.【答案】【解析】结论五、实际是一个数代表函数在处的导数值；是函数值的导数，且.【例5】已知函数，则的值为_______________.【答案】1【解析】,，解得.所以【变式】设函数，若，则=___________.【答案】1【解析】由函数的解析式可得，则，据此可得，整理可得，解得=1.结论六、多用乘法求导运算连乘积形式先展开化为多项式的形式，再求导公式形式观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导对数形式先化为和、差的形式，再求导根式形式先化为分数指数幂的形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导含待定系数如含f'（a），a，b等的形式，先将待定系数看成常数，再求导【例6】等比数列中，，函数，则（）A. B. 【答案】C【解析】令，则，且有意义，于是.故选.【变式】设函数是两两不等的常数)，则_________.【答案】0【解析】因为，所以，同理：，所以原式.结论七、特殊函数的导函数1..2..【例7】设，则等于（） A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以所以故选.【变式】设，则“”是“”的