2024年高考数学优等生培优第9讲 二次函数-原卷版49

第9讲二次函数通关一、二次函数的解析式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(2)顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),其中（m,n)为抛物线顶点坐标，x=m为对称轴方程(3)双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标。通关二、二次函数的图像和性质解析式y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)图像定义域R值域对称轴顶点坐标奇偶性当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数单调性时是减函数；时是增函数；时是减函数；时是增函数；最值当时，当时，【评注】可以直接根据二次函数的性质比较两个函数值的大小。若二次函数的图像开口向上，则到对称轴距离大的自变量对应的函数值较大；若二次函数的图像开口向下，则到对称轴距离大的自变量对应的函数值较小。【结论第讲】结论一、y=ax2+bx+c(a≠0)的性质与a,b,c的关系关于a,b,c的代数式作用说明a决定开口方向与大小；决定单调性a>0向口向上，a越小开口越大，为单调递减区间，为单调递增区间a<0向口向下，|a|越小开口越大，为单调递增区间，为单调递减区间b决定奇偶性b=0偶函数b≠0非奇非偶函数c决定与y轴交点位置c>0交点在x轴上方c=0过原点c<0交点在x轴下方决定对称轴位置ab>0在y轴左侧b=0对称轴是y轴ab<0在y轴右侧决定与x轴的交点个数>0两个交点=0一个交点<0无交点决定顶点的位置利用配方法把函数化为决定与x轴的两交点间的距离=【例1】设abc>0，二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是（）【变式】右图是二次函数图像的一部分,图像过点,对称轴为.给出下面四个结论:①;②＝－1;③;④.其中正确的是().A.②④ B.①④ C.②③ D.①③结论二、二次函数的对称性二次函数的图像是一条抛物线,对称轴方程为,顶点坐标是①如果二次函数满足,那么函数的图像关于对称.②二次函数使成立的充要条件是函数的图像关于直线为常数)对称.【例2】若的图像关于对称,则_______.【变式】已知二次函数,如果其中,则_____.结论三、二次函数的单调性二次函数(1)当时,如图所示,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增,当时,;(2)当时,如图所示,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减,当时,.【例3】已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围为_______.【变式】若函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,则实数的取值范围是().A. B. C.[1,3] D.结论四、给定区间上的值域对二次函数,当时,在区间上的最大值为,最小值为,令:(1)若,则;(2)若,则;(3)若,则;(4)若,则.【例4】如果函数定义在区间上,求的最小值.【变式】已知二次函数的最小值为1,且.(1)求的解析式;(2)若在区间[]上不单调,求的取值范围;(3)若,试求的最小值.结论五、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系设①函数的图像与轴无交点方程无实根不等式的解集为不等式的解集为.②函数的图像与轴相切方程有两个相等的实根不等式的解集为.③函数的图像与轴有两个不同的交点方程有两个不等的实根:设不等式的解集为不等式的解集为.【例5】设二次函数,方程的两个根满足0(1)当时,证明;(2)函数的图像关于直线对称,证明:.【变式】设关于的不等式和的解集分别是和.(1)若,求实数的取值范围;(2)是否存在实数,使得?如果存在,求出的值,如果不存在,请说明理由.结论六、一元二次方程根的分布令分布情况①两根都小于k②两根都大于k③一个根小于k，一个根大于k④两根都在(m，n)内图像(a＞0)充要条件分布情况⑤两根有且仅有一根在(m，n)内⑥两根都在区间(m，n)外⑦x1∈(a，m)，x2∈(n，b)图像(a＞0)充要条件注:(1)一元二次方程根的分布问题需考虑:①;②对称轴;③区间端点函数值的符号.(2)若,则不用考虑、对称轴的范围;方程有两根时要注意区分,还是.【例6】二次方程,有一个根比1大,另一个