金融工程：第十章 期权的回报与价格分析

金融工程FinancialEngineering期权的回报与价格分析第十章引言作为一位投资者，进行期权交易最关注的就是未来可能获得的收益、可能承担的风险和期权价格的变化情形。本章将运用图形、公式和表格相结合的方式讨论期权的回报与盈亏，并进一步对期权价格的可能分布区间及影响期权价格的主要因素进行深入分析。目录期权的回报与盈亏分布期权价格的基本特性美式期权的提前执行期权价格曲线看涨看跌期权平价关系1.期权的回报与盈亏分布惯例及符号含义c、p：欧式看涨期权与看跌期权的价格C、P：美式价格ST：标的资产T时刻的价格S：标的资产t时刻的价格(现价)X：执行价格(T时刻或之前任意时刻)Xe-r(T-t)：t现值看涨期权多头的回报与盈亏分布看涨期权多头的盈利是无限的，亏损是有限的期权费。看涨期权空头的回报与盈亏分布由于期权合约是零和游戏（Zero—SumGames），也就是说买者的盈利就是卖者的亏损，买者的亏损就是卖者的盈利，所以我们可以发现，看涨期权多头和空头的曲线是关于x轴对称的。

看跌期权多头的回报与盈亏分布看跌期权多头的盈利是有限的，亏损也是有限的期权费。看跌期权空头的回报与盈亏分布看跌期权空头的盈利是有限的期权费，亏损也是有限的。小结斜率为45度或135度。看涨期权多头与看跌期权空头皆为45。，说明两者预期一致，都是上涨盈利。看涨期权空头与看跌期权多头皆为135。，说明两者预期一致，都是下跌盈利。看涨期权与看跌期权的多头与空头回报及盈亏图以横轴为对称。很多期权以复合或复杂的形式存在。欧式期权到期回报和盈亏公式习题1（P191）某投资者买进一份欧式看涨期权，同时卖出一份标的资产、期限和协议价格都相同的欧式看跌期权。请描述该投资者的盈亏状况，并揭示相关衍生品之间的关系。分析：该投资者最终的回报为：可见，这相当于协议价格为X的远期合约多头。本习题说明：1.欧式看涨期权多头+欧式看跌期权空头=远期合约多头；

欧式看涨期权空头+欧式看跌期权多头=远期合约空头。2.当X等于远期价格、期权费相同，远期合约的价值为0。此时看涨期权和看跌期权的价值相等。2.期权价格的基本特性内在价值与时间价值期权价格（价值）=内在价值+时间价值期权的内在价值，是多方可能行权时所获回报最大贴现值与0的较大者。注意：我们的定义与众不同，这种定义的优点有：期权价格下限等于内在价值时间价值恒大于0时间价值在平价点最大1期权价格（1）内在价值（intrinsicvalue）期权执行后，所产生的经济价值。例：某股票看涨期权执行价格（X）＄100,

执行时标的股票现价（ST）＄105。内在价值＝ST－X＝105－100＝＄5（2）时间价值（timevalue）期权价值，超过内在价值的部分。（到期日之前的价值）例：某股票看涨期权价格＄9，执行时标的股现价（ST）

＄105，该期权的执行价格（X）＄100。

时间价值＝9－(ST－X)＝9－(105－100)＝＄4注意：离到期时间越长，则期权的时间价值越大。

欧式期权的内在价值

欧式期权的内在价值由于X为确定现金流，其现值的计算就是简单的贴现，故此欧式无收益和有收益资产看涨期权的内在价值分别为

与欧式看跌期权内在价值的分析类似于欧式看涨期权。无收益资产美式期权的内在价值

有收益资产美式期权的内在价值

无收益资产美式看跌期权的内在价值

有收益资产美式看跌期权的内在价值

期权的内在价值案例10.1：通用电器（GE）看跌期权内在价值计算I2007年8月31日美国中部时间10:18，在CBOE，1份以通用电气股票为标的资产、执行价格为40美元、到期日为2007年9月22日的美式看跌期权价格为1.76美元，而同一天的通用电气股票收盘价为38.5美元。GE2007年每季度的股息为0.28美元，第三季度股息除权日为9月20日，股息发放日为10月25日。根据2007年8月31日的美国国债利率期限结构，1个月期年利率为4.02%，故此我们选择4%作为19天、23天和55天贴现率的近似。案例10.1：通用电器（GE）看跌期权内在价值计算II

实值期权、平价期权与虚值期权平价期权（AttheMoney）平价点就是使得期权内在价值由正值变化到零的标的资产价格的临界点。实值期权（IntheMoney）虚值期权（OutoftheMoney）实值期权、平价期权与虚值期权期权的时间价值期权时间价值=期权价格−期权内在价值定义：期权的时间价值是在期权尚未到期时，标的资产价格的波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。理解：无论将来价格怎么波动，期权多头的亏损永远是有限的，而增加的盈利却可能是无限的，因此标的资产的波动对于期权所有者来说是利大于弊的，这种权利义务不对称导致多头愿意为了一段时间内的波动多付期权费，从而产生了时间价值。期权时间价值的变动到期时间标的资产价格的波动率（期权的波动价值）期权的时间价值受内在价值影响，在期权平价点时间价值达到最大，并随期权实值量和虚值量增加而递减期权时间价值与内在价值的关系案例10.2：内在价值与时间价值IA股票（无红利）的市价为9.05元，A股票的两种欧式看涨期权的执行价格分别为10元和8元，有效期均为1年，1年期无风险利率为10%（连续复利）。这两种期权的内在价值分别为

期权1处于平价点，而期权2是实值期权。哪一种期权的时间价值高呢？案例10.2:内在价值与时间价值II假设这两种期权的时间价值相等，都等于2元，则期权1的价格为2元，期权2的价格为3.81元。如果让读者从中挑一种期权，你们愿意挑哪一种呢？为了比较这两种期权，假定1年后出现如下四种情况：情况一：ST>10元。则期权1获利

期权2获利 期权1获利等于期权2。案例10.2：内在价值与时间价值III情况二：

元。则期权1亏元，而期权2亏元。期权1亏损少于期权2。情况三：元。则期权1亏元，而期权2亏元,介于2.21元与4.21元之间。期权1亏损少于期权2。情况四：元，则期权1亏元，而期权2亏元。期权1亏损少于期权2。案例10.2：内在价值与时间价值IV由此可见，无论未来A股票价格是涨是跌还是平，期权1均优于或等于期权2。显然，期权1的时间价值不应等于而应高于期权2。再引入期权3：元，其他条件相同。比较平价期权1和虚值期权3，通过同样的分析可以发现期权1的时间价值应高于期权3。推广上述结论可以发现，无论期权2和期权3执行价格如何选择，只要是虚值或实值期权，其时间价值一定小于平价期权，且时间价值随期权实值量和虚值量增加而递减。期权价值的影响因素标的资产的市场价格与期权的协议价格期权的有效期标的资产的波动率无风险利率标的资产的收益标的资产的市场价格与期权的协议价格——最主要因素。看涨与看跌不同?期权的有效期对美式期权而言，有效期越长，多头获利机会越大。因此，有效期越长，期权价格越高。对欧式期权而言，通常认为有效期越长，期权价格越高；但有效期越长也不一定价格越高。标的资产的波动率波动率：用来度量股票未来价格不确定变化程度的指标。波动率越大，标的股票潜在的上涨很高和下跌很低的概率也就越大。由于期权对股价向不利方向变动进行保险，因此，随着波动率增加，期权的价值也会增加，即波动率增加对期权的影响总是有利的。历史波动率和隐含波动率无风险利率1、从比较静态的角度，比较不同利率水平下的两种均衡状态。1）对预期收益率和贴现率的影响：①对预期收益率的影响：如果一种状态下无风险利率水平较高，则标的资产的预期收益率也应较高，这意味对应于标的资产现在特定的市价

S0，未来预期价格E（ST）较高。②对贴现率的影响：如果一种状态下无风险利率水平较高，则贴现率较高，未来同样预期盈利的现值就较低。无风险利率1、从比较静态的角度2）对期权的影响：①对于看跌期权：利率上升引起未来预期价格E（ST）升高与预期盈利的现值降低。这两种效应都将减少看跌期权的价值②对于看涨期权：利率上升引起未来预期价格E（ST）升高，使期权价格上升。利率上升引起预期盈利的现值降低，使期权价格下降。由于前者的效应大于后者，因此对于较高的无风险利率，看涨期权的价格也较高。无风险利率2、从动态的角度考察

1）对标的资产价格和贴现率的影响：①对标的资产价格的影响：在标的资产价格与利率成负相关时（如股票、债券等），当无风险利率提高时，原有均衡被打破，为了使标的资产的预期收益率提高，均衡过程通常是通过同时降低标的资产的期初价格和预期未来价格。只是前者的降幅更大来实现。②对贴现率的影响：当无风险利率提高时，原有均衡被打破，贴现率也上升。无风险利率2）对期权的影响：①对于看涨期权，利率上升对标的资产价格和贴现率的影响这两种效应都将使期权价格下降。②对于看跌期权，利率上升对标的资产价格和贴现率的影响，前者效应为正，后者效应为负。由于前者效应通常大于后者，因此净效应是看跌期权价格上升。标的资产的收益标的资产分红或者是或者相应现金的时候，期权的协议价格不进行调整。红利：在除息日，红利将减少股票的价格。收益归标的资产的持有者所有。故，产生现金收益——看涨期权价格下降，看跌期权价格上升。注意：红利支付日在交割日之前。期权价值的影响因素期权价格的上限对于美式和欧式看涨期权，标的资产价格是看涨期权价格的上限：c≤S，C≤S在任何情况下，期权的价值都不会高于标的资产的价格，否则就会套利。买入标的资产并卖出期权来获取无风险利润。看跌期权价格的上限

1）美式看跌期权

美式看跌期权价格P的上限为XP≤X2）欧式看跌期权

欧式看跌期权价格p不能超过X的现值：p≤Xe-r(T-t)

无收益资产欧式看涨期权下限I构造组合组合A：一份欧式看涨期权加金额为的现金组合B：一单位标的资产T时刻的组合价值组合A：组合B：无收益资产欧式看涨期权下限II由于因此，在t时刻组合A的价值也应该大于组合B，即结论：由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为：有收益资产欧式看涨期权下限只要将上述组合A的现金改为

其中I

为期权有效期内资产收益的现值，并经过类似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：无收益资产欧式看跌期权下限I构造组合组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产组合D：金额为的现金T时刻的组合价值组合C：组合D：无收益资产欧式看跌期权下限II由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D，因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D，即：由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为：有收益资产欧式看跌期权下限将上述组合D的现金改为

可得出有收益资产欧式看跌期权价格的下限为：期权价格上下限3.美式期权的提前执行提前执行美式期权的合理性基本结论：对于美式期权来说，关键在于是否提前执行：无收益资产的美式看涨期权不可能提前执行，因此，；但有收益资产的美式看涨期权有可能提前执行，只是可能性很小。相反，美式看跌期权都有可能提前执行，因此，，其下限也是美式看跌期权的内在价值。提前执行无收益资产美式看涨期权的合理性I提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智的。①不提前执行时：持有准备用于执行期权的现金会产生收益，再加上美式期权的时间价值总是正的。②提前执行时：看涨期权得到的标的资产无收益。构造组合组合A：一份美式看涨期权加金额为的现金组合B：一单位标的资产不提前执行：T时刻组合A的价值为，而组合B的价值为，组合A在T时刻的价值一定大于等于组合B。提前执行无收益资产美式看涨期权的合理性II

提前执行无收益资产美式看跌期权的合理性I构造组合组合A：一份美式看跌期权加一单位标的资产组合B：金额为的现金若不提前执行，则到T时刻，组合A的价值为

，组合B的价值为X，因此组合A的价值大于等于组合B。若在𝜏时刻提前执行，组合A的价值为X，组合B的价值为：，因此组合A的价值也高于组合B。提前执行无收益资产美式看跌期权的合理性II结论：是否提前执行无收益资产的美式看跌期权，主要取决于期权的实值额

、无风险利率水平等因素。一般来说，只有当S相对于X来说较低，或者r较高时，提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的。由于无收益资产的美式看跌期权可能提前执行，期权价格下限变为：提前执行有收益资产美式看涨期权的合理性I在有收益情况下，提前执行可较早获得标的资产，从而获得现金收益，而现金收益可以派生利息。只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权方有可能是最优的。因此我们只需推导在每个除权日前提前执行的可能性。如果在

时刻提前执行期权，则期权多方获得

的回报。若不提前执行，则标的资产价格将由于除权降到。提前执行有收益资产美式看涨期权的合理性II因此如果提前执行是不明智的。提前执行有收益资产美式看涨期权的合理性III如果

则在提前执行有可能是合理的（仅是有可能并非必然要提前执行）。实际上，只有当

时刻标的资产价格足够大时提前执行美式看涨期权才是合理的。提前执行有收益资产美式看涨期权的合理性IV类似地，对于任意时刻，在时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权条件是相应地期权下限变为提前执行有收益资产美式看跌期权的合理性由于提前执行有收益资产的美式看跌期权意味着自己放弃收益权，因此与无收益资产的美式看跌期权相比，有收益资产美式看跌期权提前执行的可能性变小，但仍无法完全排除提前执行的可能性。4.期权价格曲线期权价格的基本分析1、期权价格等于内在价值加上时间价值内在价值主要取决于S和X，以及时间和利率、红利等因素；时间价值则受到有效期、内在价值、波动率、利率的影响。2、期权价值都以内在价值为下限，其中看涨期权上限为标的资产价格，看跌期权上限为协议价格（现值）。3、有收益资产的期权价格曲线只要从无收益资产的期权价格曲线稍作改动即可获得。无收益资产欧式看涨期权价格曲线1.r越高、期权期限越长、标的资产价格波动率越大，则期权价格曲线以0点为中心，越往右上方旋转，但基本形状不变，而且不会超过上限。2.期权的内在价