新教材2023版高中数学第2章空间向量与立体几何2.1空间直角坐标系2.1.1建立空间直角坐标系学生用书湘教版选择性必修第二册

2．1.1建立空间直角坐标系新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一空间直角坐标系空间直角坐标系在空间任取一点O，以O为原点，作三条________的有向直线Ox，Oy，Oz，在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴、y轴、z轴，从而组成了一个空间直角坐标系O­xyz❶．坐标平面在空间直角坐标系O­xyz中，由两条坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别称为________平面，________平面，________平面．右手系伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向________正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向________正方向，此时大拇指的指向即为________正方向．批注❶画空间直角坐标系O­xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.要点二空间直角坐标系中的坐标有了空间直角坐标系，空间中的点P与有序实数组(x，y，z)之间就建立了一一对应的关系．有序实数组(x，y，z)称为点P的坐标，记作P(x，y，z)，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标，z称为点P的竖坐标．点的坐标❷原点的坐标为O(0，0，0)，x轴上的点的坐标为________，y轴上的点的坐标为________，z轴上的点的坐标为________．平面上点的坐标❸xOy平面内的点的坐标为________，yOz平面内的点的坐标为________，xOz平面内的点的坐标为________．批注❷坐标轴上的点的特征：x轴上的点纵坐标和竖坐标都为0；y轴上的点横坐标和竖坐标都为0；z轴上的点横坐标和纵坐标都为0.批注❸坐标平面上的点的特征：xOy平面上的点竖坐标为0；yOz平面上的点横坐标为0；xOz平面上的点纵坐标为0.基础自测1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)空间直角坐标系中的任意一点的坐标是唯一的．()(2)空间直角坐标系中x轴上点的横坐标x＝0，竖坐标z＝0.()(3)空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z＝0.()2．点(2，0，3)在空间直角坐标系中的()A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．第一象限内3．在空间直角坐标系O­xyz，点A(1，－2，5)关于平面yOz对称的点B为()A．(1，－2，－5)B．(－1，－2，5)C．(－1，－2，－5)D．(1，2，－5)4．在空间直角坐标系中，自点P(－4，－2，3)引x轴的垂线，则垂足的坐标为________．题型探究·课堂解透——强化创新性在空间坐标系下确定点的位置例1在空间直角坐标系O­xyz中，画出下列各点：A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，A′(0，0，2)，B′(2，0，2)，C′(2，3，2)，D′(0，3，2)．方法归纳在空间坐标系下确定点的位置的方法(1)先确定点(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x0，y0，z0)在空间直角坐标系中的位置；(2)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点．巩固训练1在空间直角坐标系中，标出点M(2，－6，4)．在空间坐标系下求点的坐标例2设正四棱锥S­P1P2P3P4的所有棱长均为a，建立适当的坐标系．求点S，P1，P2，P3和P4的坐标．方法归纳在空间坐标系下求点的坐标作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．巩固训练2在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝14CD，试建立适当的坐标系，写出E，F，G在空间坐标系下求对称点的坐标例3在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4)．(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．方法归纳求空间对称点的2个策略巩固训练3求点(－2，1，4)关于y轴，z轴，yOz面，xOz面的对称点的坐标．2．1.1建立空间直角坐标系新知初探·课前预习[教材要点]要点一两两垂直xOyyOzxOzx轴y轴z轴要点二(x，0，0)(0，y，0)(0，0，z)(x，y，0)(0，y，z)(x，0，z)[基础自测]1．(1)√(2)×(3)×2．解析：点(2，0，3)的y轴坐标为0，所以该点在xOz平面上．答案：C3．解析：关于平面yOz对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相同．答案：B4．解析：∵点P(－4，－2，3)，∴自点P引x轴的垂线，垂足坐标为(－4，0，0)．答案：(－4，0，0)题型探究·课堂解透例1解析：点A为原点．点B为x轴上坐标为2的点．点C的竖坐标为0，因此点C就是xOy平面内横坐标为2、纵坐标为3的点．点D是y轴上坐标为3的点．点A′是z轴上坐标为2的点．点B′是zOx平面内横坐标为2、竖坐标也为2的点．要作出点C′(2，3，2)，只需过x轴上坐标为2的点B作垂直于x轴的平面α，过y轴上坐标为3的点D作垂直于y轴的平面β，根据几何知识可以得出：这两个平面的交线就是经过点C(2，3，0)且与z轴平行的直线l.再过z轴上坐标为2的点A′作垂直于z轴的平面γ，那么直线l与平面γ的交点也是三个平面α，β，γ，的交点，就是点C′.点D′是yOz平面内纵坐标为3、竖坐标为2的点．在同一空间直角坐标系中，画出以上各点，它们刚好是长方体ABCD­A′B′C′D′的八个顶点(如图)．巩固训练1解析：方法一先确定点M′(2，－6，0)在xOy平面上的位置，因为点M的竖坐标为4，则|MM′|＝4，且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就可确定点M的位置了(如图所示)．方法二以O为一个顶点，构造三条棱长分别为2，6，4的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略)．例2解析：以正四棱锥的底面中心作为坐标原点，棱P1P2，P1P4分别垂直于Oy轴和Ox轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|P1P2|＝a，P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，∴P1(a2，a2，0)，P2(－又P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称，∴P3(－a2，－a2，0)，P4(a2，－a又∵|OP1|＝22a，∴在Rt△SOP1|SO|＝SP12-OP12＝∴S(0，0，22a)巩固训练2解析：建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的横坐标、纵坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为(0，0，12)由F作FM⊥AD，FN⊥CD，垂足分别为M，N，由平面几何知识知FM＝12，FN＝1故F点坐标为(12，1因为CG＝14CD，G，C均在y故G点坐标为(0，34，0)例3解析：(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)．(2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2，1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2