18.2.2 菱形 课件 2023-2024学年人教版数学八年级下册

人教版数学八年级下册第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.1菱形第1课时菱形的性质导入新课欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？将一张矩形的纸对折，然后沿着图中的虚线剪下，猜猜看，打开是个什么图形，自己动手做一做.观察得到的四边形的形状，它是一个怎样的四边形呢？思考探究新知平行四边形矩形

前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.有一个角是直角思考如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?

平行四边形菱形邻边相等定义：菱形是特殊的平行四边形.平行四边形不一定是菱形.归纳有一组邻边相等的平行四边形.探究新知活动

在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题:问题1菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴.是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.问题1根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系?菱形的两条对角线有什么关系?

猜想1

菱形的四条边都相等.

猜想2

菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，ABCOD证一证求证:(1)AB=BC=CD=AD；

(2)AC⊥BD；

∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.∴AB=CD，AD

=BC（平行四边形的对边相等）.又∵AB=AD,∴AB

=

BC

=

CD

=AD.解：（2）∵AB=AD,ABCOD∴△ABD是等腰三角形.又∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）.在等腰三角形ABD中,∵OB=OD，∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.同理可证∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.知识归纳对边相等四个角都是直角对角线互相平分且相等四边相等对角相等两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角矩形的性质菱形的性质对角相等对角线互相平分对边相等平行四边形的性质

比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等三角形.探究新知

由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？FMNEGABDCO问题2

菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形ABCD的面积呢?ABCD思考

前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?E过点A作AE⊥BC于点E,则S菱形ABCD=底×高=BC·AE.能如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.ABCDO解：∵四边形ABCD是菱形，你有什么发现？菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=S△ABC

+S△ADC=AC·BO+AC·DO=AC(BO+DO)=AC·BD.菱形的面积计算有如下方法：归纳(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．例题与练习例1如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）．A

B

C

D

O

解：∵花坛ABCD是菱形，1.四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的长.解：∵四边形ABCD是菱形，练习∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∴△ABO是直角三角形，∴BO==3∴AC=2AO=8，BD=2BO=62.菱形ABCD的两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积.解：菱形的边长==5.（cm）

练习C菱形ABCD=4×5=20（cm）

例2如图，在菱形ABCD中，下列结论错误的是(

)A．BO＝DOB．∠DAC＝∠BACC．AC⊥BDD．AO＝DOD例3如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH.求证：∠DHO＝∠DCO.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠OHB＝∠OBH.∴OD＝OB，∠COD＝90°.∵DH⊥AB，又∵AB∥CD，在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO.∴∠OHB＝∠ODC.∴∠OBH＝∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°.3．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是(

)A．两组对边分别平行

B．两组对角分别相等C．对角线互相平分

D．四条边相等D练习4．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH等于____．5．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F.求证：CE＝CF.证明：连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF.ADFCBE

菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．归纳课堂小结菱形的性质菱形性质有关计算边1.周长=边长的四倍2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半角对角线1.两组对边平行且相等；2.四条边相等两组对角分别相等，邻角互补邻角互补1.两条对角线互相垂直平分；2.每一条对角线平分一组对角人教版数学八年级下册第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.1菱形第2课时菱形的判定导入新课有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形的性质两组对边平行四条边相等两组对角分别相等邻角互补两条对角线互相垂直平分边角对角线回顾菱形的定义是什么？性质有哪些？每一条对角线平分一组对角根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：AB=AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形.数学语言有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.ABCD思考

还有其他的判定方法吗？探究新知活动前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.你能证明这一猜想吗？ABCOD已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O

，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形.证一证 ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD,

∴BD是线段AC的垂直平分线.

∴BA=BC.

∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.命题1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.命题2：四条边都相等的四边形是菱形.已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是平行四边形.又AB=BC，∴ABCD是菱形.ADCB知识归纳对角线互相垂直的平行四边形是菱形AC⊥BD几何语言描述：∴□ABCD是菱形.ABCD菱形ABCDABCD□ABCD菱形的判定定理：∵在□ABCD中，AC⊥BD,四条边都相等的四边形是菱形AB=BC=CD=AD几何语言描述：∴四边形

ABCD是菱形.ABCD菱形ABCD菱形的判定定理：四边形ABCDABCD知识归纳∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，例题与练习例1如图，ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，

AO=4，BO=3.

求证：四边形ABCD是菱形.ABCDO又∵四边形ABCD是平行四边形，∵

OA=4,OB=3,AB=5，证明：即AC⊥BD，∴

AB2=OA2+OB2，∴△AOB是直角三角形，∴四边形ABCD是菱形.解：这是一个菱形.练习1.一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和6，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.BCDAOAO=CO=AC=6，BO=DO=BD=3.在△ABO中，S菱形ABCD=AC·BD=36BCDAO∵AO2+BO2=（3）2+62=81，AB2=92=81，∴△ABO是直角三角形，∴AC⊥BD，∴ABCD是菱形.例2如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由．解：四边形AEDF是菱形．理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∴四边形AEDF是菱形．例3如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AF＝DC；解：∵E是AD的中点，∴AE＝ED.∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE，∴△AFE≌△DBE(AAS)，∴AF＝DB.∵AD是BC边上的中线，∴DB＝DC，∴AF＝DC；解：四边形ADCF是菱形．证明如下：由(1)知，AF＝DC.∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．又∵AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形．∵AD是BC边上的中线，∴