数学-3.3 公式法-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年七年级数学下册同步精讲精练(湘教版)（带答案）

3.3公式法知识点一知识点一公式法像a2

题型一综合运用公式法分解因式【例题1】将多项式分解因式，结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据完全平方公式分解为，再将分解为由此得到答案.【详解】==，故选：D.【变式1-1】因式分解：__．【答案】【分析】将当作整体，对式子先进行配方，然后利用平方差公式求解即可．【详解】解：原式．故答案是：．【变式1-2】因式分解(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【详解】（1）解：

；（2）解：．【变式1-3】阅读下列材料，并完成相应的任务．把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）．它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．把分解因式．该因式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，再将此项减去，即可得．这种方法叫填项法．任务：请你仿照上面的做法，将下列各式分解因式．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）原式仿照题意添一项，再减去，利用乘法公式分解因式即可；（2）仿照题意求解即可．【详解】（1）解：

；（2）解：．题型二因式分解在简算中的应用【例题2】计算：________．【答案】4【分析】根据完全平方公式进行计算即可求解．【详解】解：，故答案为：4．【变式2-1】利用因式分解计算：的结果是______．【答案】8800【分析】先提出11，再根据平方差公式计算即可．【详解】原式====8800．

故答案为：8800．【变式2-2】计算：_______．【答案】【分析】原式根据平方差公式进行计算即可得到结果．【详解】解：=故答案为：【变式2-3】=_______．【答案】【分析】先利用平方差公式把每一个因数化为两个因数的积，约分后可得余下的因数，再计算乘法，从而可得答案．【详解】解：====故答案为：．【变式2-4】计算：__．【答案】2【分析】把分成，利用完全平方公式展开，计算即可．

【详解】．故答案为：．【变式2-5】_______，_______，_______；=_________．【答案】

；

144000；

16；

2001000【分析】根据提取公因式法，平方差公式法，完全平方公式法进行因式分解即可得．【详解】根据题意知，；（572+428）（572-428）=1000×144=144000；==16；=（2000+1999）（2000-1999）+（1998+1997）（1998-1997）+（1996+1995）（1996-1995）+……+（2+1）（2-1）=2000+1999+1998+1997+1996+1995+……+2+1=（2000+1）×2000÷2=2001000，故答案为：；144000；16；2001000．题型三利用因式分解求值【例题3】先因式分解，然后计算求值：，其中，．【答案】解：

当，时，原式．【变式3-1】先因式分解，再求值：，其中，．【答案】；；【详解】解：；当，时，原式．题型四利用因式分解判断三角形的形状【例题4】已知的三边a，b，c满足，判断的形状．【答案】，，，

或，或，是等腰三角形．【变式4-1】△ABC三边a、b、c满足，判断△ABC的形状并说明理由．【答案】△ABC是等边三角形，理由见解析【详解】解：△ABC是等边三角形，理由如下：∵，∴，∴，∵，，∴a－b＝0，且b－c＝0，∴a＝b，且b＝c，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．【变式4-2】已知分别是三边的长，且，请判断的形状，并说明理由．【答案】是等边三角形，理由见详解【详解】解：是等边三角形，理由为：原等式变形得，∴，∴，∴是等边三角形．【变式4-3】已知a，b，c是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．

【答案】等腰三角形【详解】∴∴∴∴∵a，b，c是的三边，∴，∴，∴∴是等腰三角形．题型五局部因式分解求最值问题【例题5】对于二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项9，使其成为完全平方式，再减去9这项，使整个式子的值保持不变（这个过程叫“配方”），于是有：．请仿照上面的做法，解答下列各题：(1)因式分解：；(2)求代数式的最小值．(3)代数式的最小值为______．【答案】(1)(2)4(3)3【分析】（1）在一次项的后面加上9再减去9，配成一个完全平方的形式，再利用平方差公式进行因式分解；（2）首先将配方成，然后根据平方的非负性求解即可；

（3）首先将配方成，然后根据平方的非负性求解即可．【详解】（1）；（2）∵∴∴的最小值为4，∴代数式的最小值为4；（3）∵，∴∴的最小值为3∴代数式的最小值为3．【变式5-1】已知对于任意实数x代数式的最小值是0，代数式，当时的最小值是0．(1)求代数式的值是最小值时x的值．(2)判断代数式的值是有最大值，还是最小值，并求出代数式的最大值或者最小值【答案】(1)

(2)有最大值，最大值为【分析】（1）根据完全平方公式因式分解，得出，即可求解；（2）根据完全平方公式因式分解，进而得出，根据，即可求解．【详解】（1）解：∵∴时，最小值为0；（2）解：∵∵∴，有最大值，最大值为【变式5-2】形如及的式子，我们叫做“完全平方式”．在运用公式法进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以解决代数式的最大（或最小）值问题．例如：，因为，所以，所以代数式有最小值，最小值是2．(1)代数式的最小值是________，此时的值是_______．(2)求代数式的最小值．(3)求代数式的最值（请说明“最大值”或“最小值”），并求出此时相应的的值．【答案】(1)3，-2(2)-6

(3)代数式的最大值为5，此时x=-1【分析】（1）先把原式变形为，再根据非负数的性质，即可求解；（2）先把原式变形为，再根据非负数的性质，即可解决问题；（3）先把原式变形为，再根据非负数的性质，即可解决问题．（1）解：，∵，∴，∴代数式的最小值是3，此时的值是-2；故答案为：3，-2（2）解：∵，∴，∴，∴代数式的最小值为-6；（3）解：，

，∵，∴∴，∴代数式的最大值为5，此时x=-1．【变式5-3】阅读理解并解答：（1）我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，在运用完全平方公式行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以解决代数式的值的最大（或最小）值问题．例如：①x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，∵（x+1）2是非负数，即（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2．则这个代数式x2+2x+3的最小值是，这时相应的x的值是．②3x2﹣12x+5＝3（x2﹣4x）+5＝3（x2﹣4x+4﹣4）+5＝3（x﹣2）2﹣12+5＝3（x﹣2）2﹣7，∵（x﹣2）2是非负数，即（x﹣2）2≥0，∴3（x﹣2）2﹣7≥﹣7．则这个代数式3x2﹣12x+5的最小值是，这时相应的x的值是．（2）仿照上述方法求代数式﹣x2﹣14x+10的最大或最小值，并写出相应的x的值；【答案】（1）①2，-1；②-7，2；（2）代数式﹣x2﹣14x+10的最大值为59，相应的x的值为-7；【分析】（1）①根据题意得当时，该代数式有最小值，即可求解；②根据题意得当时，该代数式有最小值，即可求解；（2）将代数式-x2-14x+10化为-（x+7）2+59，即可求解；【详解】（1）①∵当时，该代数式有最小值，∴时；代数式x2+2x+3有最小值，最小值是2；②∵当时，该代数式有最小值，∴；代数式3x2﹣12x+5有最小值，最小值是-7（2）﹣x2﹣14x+10

∵是非负数，∴∴，∴当，即时，代数式﹣x2﹣14x+10有最大值，最大值为59，相应的x的值为-7；题型六利用因式分解解决整除问题【例题6】学习了因式分解的知识后，老师提出了这样一个问题：设为整数，则的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由？若不能，请举出一个反例，你能回答这个问题吗？【答案】能，理由见解析.【分析】利用平方差公式展开，即可得出一定能被20整除．【详解】解：的值一定能被20整除，理由如下：=（n+7+n-3）（n+7-n+3）=20（n+2），∴的值一定能被20整除．【变式6-1】两个连续奇数的平方差能被8整除吗？为什么？【答案】能．理由见解析．【分析】设这两个连续奇数为和，则，因此可判断两个连续奇数的平方差能被8整除．【详解】设这两个连续奇数为和，则

．因此两个连续奇数的平方差能被8整除．【变式6-2】利用因式分解说明：能被30整除．【答案】解：原式．能被30整除．【变式6-3】用因式分解的方法求证：能被7整除．【答案】见解析【分析】把原式提取公因式，计算得到7的倍数，进而得到能被7整除．【详解】解：∵32022-4×32021+10×32020=32020×（9-12+10）=32013×7，∴32022-4×32021+10×32020能被7整除．【变式6-4】用平方差公式进行因式分解在数的运算中有着广泛的应用，比如，数的整除性探究中的应用．例：能被2009整除吗？解:∵中有因数2009，∴一定能被2009整除．请你试一试：已知数字恰能被两个在60和70之间的整数整除，求出这两个数．【答案】63和65．【分析】根据题目中的运算规律进行因式分解，即可求出答案．【详解】解：==；

=；∴可被63与65整除，即所求在60和70之间的两个整数是63和65．【变式6-5】利用因式分解求出能整除的小于10的自然数.【答案】能整除的小于10的自然数为1，2，3，5，6.【分析】逆用积的乘方，提公因数，把幂的系数化成小于10的几个自然数的乘积的形式，即可求解.【详解】∵，又∵，∴能整除的小于10的自然数为1，2，3，5，6.【变式6-6】阅读材料：若为常数有一个因式为，则如何因式分解？解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解若为常数有一个因式为，则因式分解______．【答案】【分析】根据题意，因为有一个因式为，仿照例题通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式．【详解】解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把

代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解因式分解，故答案为：．题型七十字相乘法【例题7】【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为

．请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：__________．【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：①

__________；②

__________．【探究与拓展】对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：①

分解因式__________；②

若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．【答案】(1)(2)

(3)②43或【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可．（2）①把二次项系数2写成，常数项写成，满足，写出分解结果即可．②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，写出分解结果即可．

（3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，写出分解结果即可．②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，写出分解结果，计算即可．【详解】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以．故答案为：．（2）①把二次项系数2写成，，满足，所以．故答案为：．②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，所以．故答案为：．（3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，所以．故答案为：．②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，所以m=或m=，故m的值为43或-78．【变式7-1】请用十字相乘法分解下列多项式，要求写出一种符合分解的分解图．(1)(2)

【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题中方法利用十字相乘法分解因式即可；（2）根据题中方法利用十字相乘法分解因式即可．【详解】（1）解：分解图如下：∴；（2）分解图如下：∴．【变式7-2】阅读与思考：利用多项式的乘法法则可推导得出：．因式分解与整式乘法是方向相反的变形，利用这种关系可得：．利用这个式子可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式，例如：将式子分解因式．分析：这个式子的常数项，一次项系数．这是一个型的式子，∴，∴．(1)填空：式子的常数项=，一次项系数=，分解因式．(2)若可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是．【答案】(1)10；7；；(2)，．【分析】（1）由的常数项为，一次项系数为，从而可得因式分解的结果；（2）由，再分类讨论可得答案．【详解】（1）解：式子的常数项为，一次项系数为，

分解因式；（2）∵，∴，此时，或，此时，或，此时，或，此时，∴，．【变式7-3】阅读并解决问题：材料1：在因式分解中，有一类形如的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成．例如：．材料2：分解因式：．解：设，则原式．这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．(1)运用上述方法分解因式：①___________，②___________；(2)请用“换元法”进行因式分解：．【答案】(1)①，②．(2)【分析】（1）由题意直接进行因式分解即可；（2）设，把原多项式换元后因式分解，再代入还元；【详解】（1）①，②；故答案为：①，②．（2）设，则原式

．【变式7-4】阅读下列材料：材料1：将一个形如的二次三项式分解因式时，如果能满足，且，则可以把分解因式成．例如：①；②．材料2：因式分解：．解：将“”看成一个整体，令，则原式．再将“”还原，得原式．上述解题用到了整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题．(1)根据材料1，分解因式：．(2)结合材料1和材料2，完成下面小题：①分解因式：．②分解因式：．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）将写成，根据材料1的方法可得）即可；（2）①令，原式可变为，再利用十字相乘法分解因式即可；②令，原式可变为，即，利用十字相乘法可分解为，再将“”还原，即可求解．【详解】（1）解：原式；（2）①令，

∴∴②令，，∴．题型八分组分解法【例题8】阅读下列材料：因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：(1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)若、、为非零实数，且，求证：．

【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再利用平方差公式因式分解即可得到答案；（2）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再利用提公因式法因式分解即可得到答案；（3）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再综合运用提取公因式法和公式法因式分解即可得到答案．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）证明：，，，，，，，，∴．

【变式8-1】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：例1：

分成两组

分别分解

提取公因式完成分解像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在