公务员考试第二部分 数量关系教材

第二部分：数量关系一、数字推理二、数学运算主要考查考生对数量关系的理解和计算能力。尽管数量关系考试的内容都是小学的加减乘除四则运算，但在限定的时间内准确完成所有题的计算是相当困难的。这项考题的题型有两种。2006年

(9分)2007年

(12分)2008年

(9分)2009年(10.5分)数字推理5/4.5分10/6分8/4.8分8/5.6分数学运算5/4.5分10/6分7/4.2分7/4.9分一、数字推理（一）、一级关系：1、等差关系2、等比关系3、加(减)法规律

4、积（商）规律5、乘(开)方规律

6、间隔(循环)规律7、阶乘数列8、质、合数数列（二）、二级关系（三）、三级关系（四）、组合规律（五）、图形数阵

(六)、其它规律数量关系备考知识1、

20以内的平方数、10以内的立方数、

(2、3、4、5、6、7)的多次方数2、一些常见数字：

(0、1、2)、(3、4、5)、(6、7、

8、9、10)、

(15、16、17)、(24、25、26、27、28)、

(34、35、36、37、38)、(47、48、49、50)、

(63、64、65)、(80、81、82)、(99、100、101)(120、121、122、124、125、126)、(143、144、145)、

……3、“1、16、64、81，256、512、729、1024……”可以有多种分解方式

平方数

底数12345678910平方149162536496491100底数11121314151617181920平方121144169196225256289324361400底数21222324252627282930平方441484529576625676729784841900

立方数底数12345678910立方1827641252163435127291000

多次方数指数底数12345678910224816326412821651210243392781243729

4416642561024

5525125625

66362161296

阶乘12345678910126241207205040403203628803628800

200以内质数表2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、4143、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97101、103、107、109、113、127、131、137、139、149151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、199

10以内阶乘数表数字敏感性感知规律套用规律变形规律组合特殊方法解题思路：1、等差关系：数列中各个数字成等差数列

1、2，7，13，20，25，31，()A、

35B、36C、37D、382、5，12，21，34，53，80，()A、121B、115C、119D、1173、343，453，563，()A、673B、683C、773D、7834、1/4,3/10,7/20,2/5,()

A、3/5B、4/5C、1D、9/205、123，456，789，()A、1122B、101112C、11112D、1001126、3，29，55，81，（）

A、100

B、105

C、107

D、109等差数列的变形一：

【例题】7，11，16，22，()

A．28B．29C．32D．33等差数列的变形二：【例题】7，11，13，14，()

A．15B．14.5C．16D．17等差数列的变形三：【例题】7，11，6，12，()

A．5B．4C．16D．15

等差数列的变形四：【例题】7，11，16，10，3，11，()

A．20B．8C．18D．15

2、等比关系：数列中相邻两个数的比值相等

1、12，4，4/3，4/9，（）

A、4/12

B、4/27

C、4/36

D、4/812、，2，（），4，

A、B、C、3

D、3、，

，()，12，36A、2B、3C、4、5等比数列的变形一：

【例题】4，8，24，96，()

A．480B．168C．48D．120

等比数列的变形二：

【例题】4，8，32，256，()

A．4096B．1024C．480D．512等比数列的变形三：【例题】2，6，54，1458，()

A．118098B．77112C．2856D．4284等比数列的变形四：【例题】2，-4，-12，48，()

A．240B．-192C．96D．-240

3、加(减)法规律：前后两项相加而得到第三项的数列，或前后两项相减而得到第三项的数列

1、4，5，（），14，23，37

A、6

B、7

C、8

D、92、1.01，1.02，2.03，3.05，5.08，（

），13.21

A、8.11

B、8.12

C、8.13

D、8.143、2,

9,

7,

-2,（）,

-7,

2

A、-5

B、5

C、-9

D、-74、1，4，8，13，16，20，()

A．20B．25C．27D．28

5、22，35，56，90，（

）

A．162

B.156

C.148

D.1456、115，110，106，103，（

）

A.102

B.101

C.100

D.997、1，2，2，3，4，（

）

A.4

B.5

C.6

D.78、256，269，286，302，（

）

A.254B.307C.294D.316

加(减)法数列的变式一

特征：相邻两项加减后，再经过加减乘除某个常数或其它变化产生例:

4、5、11、14、（

）、39

A、24

B、26

C、27

D、36加(减)法数列的变式二

特征：相邻三项加减后，再经过加减乘除某个常数或其它变化产生例:

0、1、1、2、4、7、13、（）

A、21

B、23

C、24

D、25

例:

1、1、1、2、3、5、9、（）

A、10

B、12

C、13

D、16

加(减)法数列的变式三例:

3,11,13,29,31,（）

A.52B.53C.54D.554、积（商）规律：前两项相乘得到第三项的数列，或前两项相除而得到第三项的数列

1、2,

3,

6,

18,（

）,

1944

A、48

B、72

C、108

D、542、24,

6,

4,

3/2,

(),

9/16

A、16/3B、8/3C、3/4D、13、3，4，6，12，36，()A．8B．72C．108D．216

积（商）数列的变式

特征：前项与中项之积（或商）经变化后得到后项，这种变化可能是加减乘除某个数或与项数之间有某种关系等。

例

2、5、11、56、（

）

A、126

B、617

C、112

D、92

例

1、3、2、4、5、16、（

）

A、25

B、32

C、48

D、75

例

2、6、24、120、（

）

A、360

B、480

C、600

D、720

5、乘(开)方规律:数列之间跳跃幅度很大

1、1，8，27，64，()

A．125B．128C．68D．101

2、1，4，9，16，25，（）

A.36B.28C.32D.40

3、-3，0，23，252，()

A．256B．484C．3125D．3121

4、1，8，9，4，（），1/6

A．3

B.2

C.1

D.1/3“乘方数”数列的变形一：

【例题】7，26，63，()

A．124B．128C．125D．101

【例题】0，3，8，15，24，（）

A.35B.28C.32D.40

“乘方数”数列的变形二：

【例题】9，29，67，()

A．129B．128C．125D．126

“乘方数”数列的变形三：

【例题】5，6，19，17，（），-55

A.15B.344C.343D.116、间隔(循环)规律：所列举的项目较多，通常在6、7项以上1、345，268，349，264，353，260，357，（

）

A、370

B、360

C、255

D、256

2、53，48，50，45，47

（

）

A.38

B.42

C.46

D.51

3、7，14，10，12，14，9，19，5，（）

A、25

B、20

C、16

D、0“间隔(循环)规律”可以在任何题型中出现

变形1、隔项组合数列特征：奇数项与偶数项分别构成等差或等比数列

例

3、15、7、12、11、9、15（

）

A、6

B、8

C、18

D、19

例

2、1、4、3、（

）、5

A、1

B、2

C、3

D、6

例

34、36、35、35、（

）、34、37、（

）

A、36，33

B、33，36

C、37，34

D、34，37变形2、双项组合数列特征：每两项为一组，各组呈现某种规律。

例

-4、-4、0、0、4、（

）、8、8

A、3

B、4

C、6

D、7

例

4、6、5、7、7、9、11、13、19、21、(

)

A、27、29

B、32、33

C、35、37

D、40、43

变形3、实数的组合数列

特征：对于小数、分数或根式的各部分，如整数与小数、分子与分母、有理数与无理数，分别呈现某种规律。

例

1.01、2.02、3.04、5.08、（

）

A、7.12B、7.16C、8.12D、8.16

7、图形数阵849？723721823-1222A、106B、166C、176D、186152310?1722414(1)数列间隔组合例题：1，3，3，5，7，9，13，15，()，()

1，3，3，6，7，12，15，()(2)数列分段组合例题：6，12，19，27，33，()，48

2，2，4，12，12，()，728、其他规律例：1，13，45，169，(B)A、443B、889C、365D、701例：124，3612，51020，(B)A、7084B、71428C、81632D、91836数学计算的题型分析

1.四则运算、平方、开方基本计算题型

２.大小判断

３.典型问题：（１）比例问题（２）盈亏问题（３）工程问题（４）行程问题（５）栽树问题（６）方阵问题（７）“动物同笼”思维模型（８）年龄问题（９）利润问题（10）面积问题（11）爬绳计算又称跳井问题（12）台阶问题（13）溶液问题（14）和差倍问题（15）排列组合问题（16）其他二、数学运算(一)、四则运算、平方、开方基本计算题型数字计算的规律方法概括

１.基本计算方法

（１）尾数估算法（２）分解代换法

（３）凑整法

是简便运算中最常用的方法，即根据交换律、结合律把可以凑成10、20、30、50、100。。。的数放在一起运算，从而提高运算速度。基本的凑整算式：25*8=200等。

（４）补数法

a、直接利用补数法巧算

b、间接利用补数法巧算又称凑整去补法

（５）基准数法

当遇到两个以上的数相加且这些数相互接近时，取一个数做基准数，然后再加上每个加数与基准数的差，从而求和。

（6）数学公式求解法

如：完全平方差、完全平方和公式的运用考查。

A、要尽量用心算而避免演算。B、把握时间，学会放弃。C、尽量事先掌握一些数学运算的技巧、方法和规律；D、使用排除法来提高命中率。2、尾数观察法【例1】425＋683＋544＋828的值是()。

A.2488B.2486C.2484D.2480

【解析】答案为D。在四则运算中，如果几个数的数值较大，又似乎没有什么规律可循，可以先利用个位进行运算得到尾数，再与选项中的尾数进行对比，如果有唯一的对应项，就可立即找到答案。如果对应项不惟一，再进行按部就班的笔算也不迟。该题中各项的个位数相加=5＋3＋4+8＝20，尾数为0，4个选项中只有一个尾数也为0，故正确选项为D。3、凑整法【例题2】99×48的值是()

A.4752B.4652

C.4762D.4862

【解答】此题可将99+1=100,再乘以48,得4800,然后再减48,所以答案为A。(二)、大小判断1、直接判断法利用实数大小的比较方法直接判断两个实数的大小关系。2、外因内移法将根号外的因数统一转移到根号内，通过比较被开方数的大小来确定原数的大小关系。

3、平方比较法将欲比较大小的两实数分别进行平方运算，通过比较平方结果的大小来确定原数的大小关系。

5、作差比较法将欲比较大小的两实数进行求差运算，并将结果与0相比较，借此确定原数的大小关系。

6、求商比较法将欲比较大小的两实数相除，并将结果与1相比较，借此确定原数的大小关系。

7、放缩比较法将欲比较大小的两实数分别进行适当的缩放操作，然后通过中间值来确定原数的大小关系。

1.工程问题的数量关系：工作量＝工作效率x工作时间工作效率＝工作量

/工作时间

总工作量＝各分工作量之和

此类题一般设总的工作量为1；(三)、应用计算重点：(1)、找到题眼

(2)、牢记规律

(3)、必要时借助简图例1.

一件工作，甲单独做12小时完成，乙单独做9小时可以完成。如果按照甲先乙后的顺序，每人每次1小时轮流进行，完成这件工作需要几小时？

【解析】设这件工作为“1”，则甲、乙的工作效率分别是1/12和1/9。按照甲先乙后的顺序，每人每次1小时轮流进行，甲、乙各工作1小时，完成这件工作的1/12＋1/9＝7/36，甲、乙这样轮流进行了5次，即10小时后，完成了工作的7/36×5＝35/36，还剩下这件工作的1－35/36＝1/36，剩下的工作甲1小时之内就能完成，还需要1/36÷1/12＝1/3小时，因此完成这件工作需要10又1/3小时。例2.一份稿件,甲、乙、丙三人单独打各需20、24、30小时。现在三人合打，但甲因中途另有任务提前撤出，结果用12小时全部完成。那么，甲只打了几小时？【解析】设打这份稿件的总工作量是“1”，则甲、乙、丙三人的工作效率分别是1/20、1/24和1/30。在甲中途撤出前后，其实乙、丙二人始终在打这份稿件，乙、丙12小时打了这份稿件的（1/24＋1/30）×12＝9/10，还剩下稿件的1－9/10=1/10，这就是甲打的。所以，甲只打了1/10÷1/20＝2小时。甲队、乙队、丙队三队合挖一条水渠，甲队和乙队合挖5天只挖了水渠的75/168；乙队和丙队合挖2天挖了余下的28/93，余下的又由甲队和丙队合挖了5天才挖完。问甲队、乙队、丙队单独挖各需几天？【解析】设这条水渠为“1”，从已知条件“甲队和乙队合挖5天只挖了水渠的75/168”，可得甲、乙两队的工作效率和是75/168÷5＝15/168；同理可求得乙、丙两队的工作效率和是（1－75/168）×28/93÷2＝14/168，甲、丙两队的工作效率和是（1－75/168）×（1－28/93）÷5＝13/168。由此可求出甲、乙、丙三队的工作效率和是21/168，那么可以得到：

甲队的工作效率是21/168－1/12＝1/24，故甲队单独挖需要24(天)；

乙队的工作效率是21/168－13/168＝1/21，故乙队单独挖需要21(天)；

丙队的工作效率是21/168－15/168＝1/28，故丙队单独挖需要28(天)。

[例题1]某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成。如果甲、乙两人合作，需48天完成。现在甲先做42天，然后再由乙单独完成，那么还需要多少天？[解]:根据“甲、乙两人合作，需要48天完成”，可以知道甲、乙两人每天共完成这项工程的1/48。我们可以把已知条件“某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成”，转化成先由甲、乙合作28天，再由甲独做63－28=35（天）可以完成这项工程。这样就可以先求出甲每天完成这项工程的几分之几，再求出乙每天完成这项工程的几分之几，最后求出甲单独做42天后，由乙独做完成需多少天。（1）甲每天完成这项工程的几分之几？（1－1/48×28）÷（63－28）=（1－7/12）÷35=5/12÷35=1/84（2）乙每天完成这项工程的几分之几？1/48－1/84=1/112（3）乙还需要独做多少天？（1－1/84×42）÷1/112=（1－1/2）÷1/112=1/2÷1/112=56（天）2.行程问题

（1）相遇问题

甲从a地到b地，乙从b地到a地，然后两人在途中相遇，实质上是甲乙一起走了ab之间这段路程，如果两人同时出发，那么：

ab之间的路程=甲走的路程+乙走的路程

=甲的速度*相遇时间+乙的速度*相遇时间

=速度和*相遇时间

相遇问题的核心是速度和时间的问题

（2）追及问题

追及路程=甲走的路程—乙走的路程=速度差*追及时间

追及问题的核心是速度差问题

（3）流水问题

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速—水速

因此：船速=（顺水速度+逆水速度）/2水速=（顺水速度—逆水速度）/2例1

甲、乙两人练习跑步，若让乙先跑12米，则甲经6秒追上乙，若乙比甲先跑2秒，则甲要5秒追上乙，如果乙先跑9秒，甲再追乙，那么10秒后，两人相距多少米？

A.15B.20C.25D.30

【答案】C。解析：甲乙的速度差为12÷6=2米/秒，则乙的速度为2×5÷2=5米/秒，如果乙先跑9秒，甲再追乙，那么10秒后，两人相距5×9－2×10=25米例2

兄弟两人早晨6时20分从家里出发去学校，哥哥每分钟行100米，弟弟每分钟行60米，哥哥到达学校后休息5分钟，突然发现学具忘带了，立即返回，中途碰到弟弟，这时是7时15分。从家到学校的距离是多少米？

A.3500B.3750C.4150D.4250【答案】C。解析：哥哥走50分钟，弟弟走55分钟，一共走了一个来回，故一个单程为（100×50+60×55）÷2=4150米。

例3

一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆流向上到达中游的乙港，共用了12小时。已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小时2千米，从甲港到乙港相距18千米。则甲、丙两港间的距离为（）

A.44千米B.48千米C.30千米

D.36千米

【答案】A。解析：顺流速度－逆流速度=2×水流速度，又顺流速度=2×逆流速度，可知顺流速度=4×水流速度=8千米/时，逆流速度=2×水流速度=4千米/时。设甲、丙两港间距离为X千米，可列方程X÷8+（X－18）÷4=12解得X=44。3、排列、组合问题排列数公式：=

组合数公式：

或

“相邻问题”捆绑法例1.7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。“不邻问题”插空法——先排列，再插空例:7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种

例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。

（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？

（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。（3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。4.年龄问题:年龄问题的核心是年龄差不变方法1：大小年龄差/当年倍数差=小年龄

几年后的年龄=大小年龄差/倍数差-小年龄

几年前的年龄=小年龄-大小年龄差/倍数差

方法2：一元一次方程解法

方法3：结果代入法，此乃最优方法

今年，祖父的年龄是小明的年龄的6倍。几年后，祖父的年龄将是小明年龄的5倍。求：又过几年以后，祖父的年龄将是小明年龄的4倍。祖父今年是多少岁？解答：观察年龄差：今年的年龄差是小明年龄的5倍；几年后的年龄差是小明当时年龄的4倍；又过几年以后的年龄差是小明年龄的3倍，所以年龄差是5，4，3的倍数，很快就能得到年龄差应该是60（当然不可能是120，180等等），今年小明的年龄是：60÷（6-1）=12岁，那么祖父就是12+60=72.

爸爸、哥哥、妹妹现在的年龄和是64岁。当爸爸的年龄是哥哥的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹的2倍时，爸爸34岁。现在爸爸的年龄是多少岁？

A．34B．39C．40D．42

【答案】C。解法一：用代入法逐项代入验证。解法二，利用“年龄差”是不变的，列方程求解。设爸爸、哥哥和妹妹的现在年龄分别为：x、y和z。那么可得下列三元一次方程：x+y+z=64；

x-(z-9)=3[y-(z-9)]；

y-(x-34)=2[z-(x-34)]。可求得x=40。

甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。乙对甲说：当我的岁数到你现在岁数时，你将有67岁。甲乙现在各有（

）。

A．45岁，26岁

B．46岁，25岁C．47岁，24岁

D．48岁，23岁

解析：甲、乙二人的年龄差为（67－4）÷3=21岁，故今年甲为67－21=46岁，乙的年龄为45－21=25岁。

妈妈今年

43岁，女儿今年11岁，几年后妈妈的年龄是女儿的3倍？几年前妈妈的年龄是女儿的5倍？

【分析】无论在哪一年，妈妈和女儿的年龄总是相差:43-11=32（岁）

当妈妈的年龄是女儿的3倍时，女儿的年龄为

（43-11）÷（3-1）=16（岁）

16-11=5（岁）

说明那时是在5年后。

同样道理，由

11-（43-11）÷（5-1）=3（年）

可知，妈妈年龄是女儿的5倍是在3年前。【答案】C。解析：抓住年龄问题的关键即年龄差，1998年甲的年龄是乙的年龄的4倍，则甲乙的年龄差为3倍乙的年龄，2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍，此时甲乙的年龄差为2倍乙的年龄，根据年龄差不变可得

3×1998年乙的年龄=2×2002年乙的年龄

3×1998年乙的年龄=2×（1998年乙的年龄+4）

1998年乙的年龄=4岁

则2000年乙的年龄为10岁。1998年，甲的年龄是乙的年龄的4倍。2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍。问甲、乙二人2000年的年龄分别是多少岁?

A．34岁，12岁B．32岁，8岁C．36岁，12岁D．34岁，10岁

5、和、差、倍问题

和差问题的基本解题方法是：

１、（和＋差）／２＝较大数

较大数－差＝较小数（和－差）／２＝较小数较小数＋差＝较大数例1、南京长江大桥共分两层，上层是公路桥，下层是铁路桥。铁路桥和公路桥共长11270米，铁路桥比公路桥长2270米，问南京长江大桥的公路和铁路桥各长多少米？

分析：和差基本问题，和11270米，差2270米，大数=（和+差）/2，小数=（和-差）/2。

解：铁路桥长=（11270+2270）/2=6770米，公路桥长=（11270-2270）/2=4500米。例2、三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组少2人，求第一小组的人数分析：先将一、二两个小组作为一个整体，这样就可以利用基本和差问题公式得出第一、二两个小组的人数和，然后对第一、二两个组再作一次和差基本问题计算，就可以得出第一小组的人数。6、利润问题

利润＝销售价（卖出价）－成本

利润率＝利润／成本＝（销售价－成本）／成本＝销售价／成本－１

销售价＝成本＊（１＋利润率）

成本＝销售价／（１＋利润率）

利润总额

=营业利润+投资收益(减投资损失）

+补贴收入+营业外收入-营业外支出

营业利润=主营业务利润+其他业务利润利润=收入-成本(费用)其他业利润=其他业务收入-其他业务支出

例1

某商品按20%的利润定价，又按八折出售，结果亏损4元钱。这件商品的成本是多少元？

A.80B.100C.120D.150

【答案】B。解析：现在的价格为（1+20%）×80%=96%，故成本为4÷（1－96%）=100元。

某商品按定价出售，每个可以获得45元的利润。现在按定价的八五折出售8个，按定价每个减价35元出售12个，两种方式所能获得的利润一样。这种商品每个定价多少元？（）

A.100B.120C.180D.200【答案】D。解析：每个减价35元出售可获得利润（45－35）×12=120元，则如按八五折出售的话，每件商品可获得利润120÷8=15元，少获得45－15=30元，故每个定价为30÷（1－85%）=200元。

例3

一种商品，甲店进货价比乙店便宜12%，两店同样按20%的利润定价，这样1件商品乙店比甲店多收入24元，甲店的定价是多少元？（）

A.1000B.1024C.1056D.1200【答案】C。解析：设乙店进货价为x元，可列方程20%x－20%×（1－12%）x=24，解得x=1000，故甲店定价为1000×（1－12%）×（1+20%）=1056元7、(溶液问题)浓度问题：在解答诸如溶液的稀释和蒸发，溶液的配制等问题时，应始终抓住什么是不变的量，再利用浓度、溶质重量与溶液重量所满足的基本关系式，问题便迎刃而解了。有含盐10%的盐水30千克，要使盐水含盐25%，需要加盐多少千克？

分析

将浓度为10%的盐水加盐使浓度为25%，在加盐的过程中，加盐前后，盐水中的水的重量不变，加盐前有水30×（1-10%）=27（千克），加盐后盐水中的水仍是27千克，其中水占盐水的分率为（1-25%）=75%，所以27÷75%=36（千克）即为加盐后的溶液的重量，比原来增加了36-30=6（千克），即是加盐的重量。

解答：30×（1-10%）=27（千克）…加盐前溶液中水的重量（1-25%）=75%27÷75%=36（千克）………加盐后溶液的重量36-30=6（千克）……………加盐的重量甲容器有8%的盐水300克，乙容器有12.5%的盐水120克，往甲乙两个容器中分别倒入等量的水，使两个容器中的盐水的浓度一样，问倒入了多少克的水？

分析要使两个容器中的盐水的浓度一样，那么两个容器中的盐水的重量之比，要与所含的盐的重量之比一样。原来