（普通班）高三数学一轮复习 第八篇 立体几何与空间向量 第6节 空间向量及其运算基础对点练 理-人教版高三全册数学试题

第6节空间向量及其运算【选题明细表】知识点、方法题号空间直角坐标系3,5,14空间向量的线性运算4,6,8,10空间向量的坐标运算及数量积1,2,7,9,11,15综合问题12,13,16基础对点练(时间:30分钟)1.已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是(C)(A)a∥c,b∥c (B)a∥b,a⊥c(C)a∥c,a⊥b (D)以上都不对解析:因为c=2a,所以a∥c,又a·b=(-2,-3,1)·(2,0,4)=-4+0+4=0,所以a⊥b.故选C.2.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若c与a及b都垂直,则m,n的值分别为(A)(A)-1,2 (B)1,-2 (C)1,2 (D)-1,-2解析:由已知得c=(m+4,m+2n-4,m-n+1),a·c=3m+n+1=0,b·c=m+5n-9=0.解得m3.(2014高考北京卷)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,2).若S1,S2,S3分别是三棱锥DABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则(D)(A)S1=S2=S3 (B)S2=S1且S2≠S3(C)S3=S1且S3≠S2 (D)S3=S2且S3≠S1解析:根据题目条件,在空间直角坐标系Oxyz中作出该三棱锥DABC,显然S1=QUOTE12×2×2=2,S2=S3=QUOTE12×2×2=2.故选D.4.(2014高考广东卷)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是(B)(A)(-1,1,0) (B)(1,-1,0)(C)(0,-1,1) (D)(-1,0,1)解析:设b=(1,-1,0),则cos<a,b>=a·b|a||b|=12即b与a的夹角为60°.故选B.5.(2016福州质检)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且AM→=12MC(A)216a (B)66a (C)156解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,QUOTEa2).设M(x,y,z).因为点M在AC1上且AM→=1所以(x-a,y,z)=QUOTE12(-x,a-y,a-z),所以x=QUOTE23a,y=QUOTEa3,z=QUOTEa3.所以M(2a3,QUOTEa3,QUOTEa3),所以|MN→|==216故选A.6.(2016晋江模拟)设OABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若OG→=xOA→+yOB→+zOC→,则x+y+z等于((A)1 (B)QUOTE43 (C)QUOTE34 (D)2解析:如图所示,取BC的中点E,连接AE.OG→=3所以34OG1→=xOA所以OG1→=QUOTE43xOA→+QUOTE43yOB→+QUOTE43zOC→,又G1,A,B,C四点共面,所以QUOTE43x+QUOTE43y+QUOTE43z=1,所以x+y+z=QUOTE34.7.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)·2b=-2,则x=.

解析:因为c-a=(0,0,1-x),所以(c-a)·2b=(0,0,1-x)·2(1,2,1)=2(1-x)=-2,解得x=2.答案:28.已知空间四边形OABC,点M,N分别是OA,BC的中点,且OA→=a,OB→=b,OC→=c,用a,b,c表示向量MN→解析:如图所示,MN→=QUOTE12(MB→+MC→=QUOTE12[(OB→-OM→)+(OC→-OM=QUOTE12(OB→+OC→-2OM→=QUOTE12(OB→+OC→-OA→=QUOTE12(b+c-a).答案:QUOTE12(b+c-a)9.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若AP→=2PB→,则|PD→|的值是解析:设P(x,y,z),则AP→PB→由AP→=2PB→得点P坐标为(-QUOTE13,QUOTE83,3),又D(1,1,1),所以|PD→|=77答案:7710.已知各个面都是平行四边形的四棱柱ABCDA′B′C′D′.设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC′B′的对角线BC′上的点,且BN∶NC′=3∶1,设MN→=αAB→+βAD→+γAA'→,试求α解:MN→=MB→=12DB=QUOTE12(DA→+AB→)+QUOTE34(BC→+CC'→=QUOTE12(-AD→+AB→)+QUOTE34(AD→+AA'→=12AB→+1所以α=QUOTE12,β=QUOTE14,γ=QUOTE34.11.已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB→,b=AC(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值;(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.解:(1)因为a=(1,1,0),b=(-1,0,2),所以a·b=(1,1,0)·(-1,0,2)=-1,又|a|=12+1|b|=(-1)2所以cos<a,b>=a·b|a||即向量a与向量b的夹角的余弦值为-1010(2)法一因为ka+b=(k-1,k,2).ka-2b=(k+2,k,-4),且ka+b与ka-2b互相垂直,所以(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,所以k=2或k=-QUOTE52,所以当ka+b与ka-2b互相垂直时,实数k的值为2或-QUOTE52.法二由(1)知|a|=2,|b|=5,a·b=-1,所以(ka+b)·(ka-2b)=k2a2-ka·b-2b=2k2+k-10=0,得k=2或k=-QUOTE52.能力提升练(时间:15分钟)12.A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足AB→·AC→=0,AC→AB→·AD→=0,M为BC的中点,则(A)钝角三角形 (B)锐角三角形(C)直角三角形 (D)不确定解析:因为M为BC中点,所以AM→=QUOTE12(AB→+AC→所以AM→·AD→=QUOTE12(AB→+AC→)=12AB→·AD→=0.所以AM⊥AD,△AMD为直角三角形.13.(2015宁波检测)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=2a(A)斜交 (B)平行 (C)垂直 (D)不确定解析:建立如图所示的坐标系,由于A1M=AN=2则M(a,2a3,QUOTEa3),N(2a3,2aMN→=(-QUOTEa3,0,2a3)又C1D1⊥平面BB1C所以C1D1因为MN→·C所以MN→⊥C所以MN∥平面BB1C14.在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为.

解析:由题意知AB→·AC|AB→|=|AC又AB→=(6,-2,-3),AC所以6解得x=2.答案:215.如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=QUOTEπ3,则cos<OA→,BC→>的值为.

解析:设OA→=a,OB→=b,由已知条件<a,b>=<a,c>=QUOTEπ3,且|b|=|c|,OA→·BC→=a·(c-b)=a·c-a=QUOTE12|a||c|-QUOTE12|a||b|=0,所以cos<OA→,BC答案:016.(2015汕头模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=1.(1)求证:E,B,F,D1四点共面;(2)若点G在BC上,BG=QUOTE23,点M在BB1上,GM⊥BF,垂足为H,求证:EM⊥平面BCC1B1.证明:(1)以B为原点,以BA,BC,BB1为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则B(0,0,0),E(3,0,1),F(0,3,2),D1(3,3,3),则BE→BF→BD所以BD1→=BE由向量共面的充要条件知E,B,F,D1四点共面.(2)设M(0,0,z0),又G(0,QUOTE23,0),则GM→=(0,-QUOTE23,z0),而BF→=(0,3,2),由题设得GM→·BF→=-QUOTE23×3+z0×2=0,得z0=1.故M(0,0,1),有ME→又BB1→所以ME→·BB1→=0,从而ME⊥BB1,ME⊥BC.又BB1∩BC=B,故ME⊥平面BCC1B1.精彩5分钟1.已知矩形ABCD,AB=1,BC=2,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中(B)(A)存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直(B)存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直(C)存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直(D)对任意位置,三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直解题关键:将线线垂直转化为向量的数量积求解.解析:如图所示,在图(1)中,易知AE=CF=63BE=EF=FD=33在图(2)中,设AE→=a,EF→=b,则<a,b>=<b,c>=90°,设<a,c>=θ,又AC→=a+b+c,BD故AC→·BD→=3b2=1故AC与BD不垂直,A不正确;AB→=AE→+EB→=a-b,CD→=所以AB→·CD→=-a·c-b2=-QUOTE23cosθ-QUOTE13.当cosθ=-QUOTE12,即θ=2π3时,AB→AD→=AE→+ED→=a+2b,BC→=所以AD→·BC→=a·c+4b2=QUOTE23cosθ+QUOTE43=QUOTE23(cosθ+2),故无论θ为何值,AD→·BC→2.(2015徐州模拟)已知O点为空间直角坐标系的原点,向量OA→(1,2,3),OB→=(2,1,2),OP→=(1,1,2),且点Q在直线OP上运动,当QA→·QB→取得最小值时,OQ解题关键:利用转化思想把数量积的最小值问题转化成二次函数最值问题,求得点的坐标.解析:因为点Q在直线OP上,所以设点Q(λ,λ,2λ)