高考数学二轮复习 专项小测24“20题、21题”理-人教版高三全册数学试题

专项小测(二十四)“20题、21题”时间：45分钟满分：24分20.(12分)已知函数f(x)＝eq\f(acosx,x)＋b，曲线y＝f(x)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))))处的切线方程为6x＋πy－2π＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)判断方程f(x)＝eq\f(3,2π)－1在(0,2π]内的解的个数，并加以证明．解：(1)直线6x＋πy－2π＝0的斜率为－eq\f(6,π)，过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，－1))，f′(x)＝eq\f(－axsinx＋cosx,x2)，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\f(－2a,π)＝－eq\f(6,π)，即a＝3， (2分)又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝b＝－1，所以f(x)＝eq\f(3cosx,x)－1. (4分)(2)方程f(x)＝eq\f(3,2π)－1在(0,2π]上有3个解． (5分)证明：令g(x)＝f(x)－eq\f(3,2π)＋1＝eq\f(3cosx,x)－eq\f(3,2π)，则g′(x)＝eq\f(－3xsinx＋cosx,x2).又geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq\f(9\r(3),π)－eq\f(3,2π)＞0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(3,2π)＜0，所以g(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上至少有一个零点．又g(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递减，故在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上只有一个零点．(7分)当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))时，cosx＜0，故g(x)＜0，所以函数g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上无零点； (8分)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))时，令h(x)＝xsinx＋cosx，h′(x)＝xcosx＞0，所以h(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))上单调递增，h(2π)＞0，heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)))＜0，所以∃x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，使得g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，x0))上单调递增，在(x0,2π]上单调递减．又g(2π)＝0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)))＜0，所以函数g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))上有2个零点．(10分)综上，方程f(x)＝eq\f(3,2π)－1在(0,2π]上有3个解． (12分)21．(12分)某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有N人，若逐个检验就需要检验N次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人的检验次数为k＋1次．假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p.(1)为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若p＝0.1，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；(2)设ξ为k个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数．①当k＝5，p＝0.1时，求ξ的分布列；②运用统计概率的相关知识，求当k和p满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数．解：(1)对3人进行检验，且检验结果是独立的．设事件A∶3人中恰有1人检测结果为阳性，则其概率P(A)＝Ceq\o\al(1,3)·0.1·0.92＝0.243. (4分)(2)①当k＝5，p＝0.1时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为0.95，每人所检验的次数为eq\f(1,5)次，若混合检验结果为阳性，则其概率为1－0.95，则每人所检验的次数为eq\f(6,5)次，故ξ的分布列为ξeq\f(1,5)eq\f(6,5)P0.951－0.95 (8分)②分组时，每人检验次数的期望如下：Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(1,k)))＝(1－p)k，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(1,k)＋1))＝1－(1－p)k，所以E(ξ)＝eq\f(1,k)·(1－p)k＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)＋1))[1－(1－p)k]＝1－(1－p)k＋eq\f(