高考数学二轮复习 专题过关检测（二十）直线与圆 文-人教版高三全册数学试题

专题过关检测（二十）直线与圆A级——“12＋4”提速练1．与直线l：x－2y＋1＝0垂直且过点(－1,0)的直线m在y轴上的截距为()A．2 B．－2C．1 D．－1解析：选B直线l：x－2y＋1＝0的斜率是eq\f(1,2)，由题意可知所求直线的斜率k＝－2，故所求直线方程是y＝－2(x＋1)，即2x＋y＋2＝0，令x＝0，解得y＝－2.故选B.2．“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C因为两直线平行，所以斜率相等，即－eq\f(2,a)＝－eq\f(b,2)，可得ab＝4，又当a＝1，b＝4时，满足ab＝4，但是两直线重合，故选C.3．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是()A．相离B．相交C．外切 D．内切解析：选B圆O1：x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，圆心是O1(1,0)，半径是r1＝1，圆O2：x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心是O2(0,2)，半径是r2＝2，因为|O1O2|＝eq\r(5)，故|r1－r2|<|O1O2|<|r1＋r2|所以两圆的位置关系是相交．4．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2eq\r(3)，则直线的倾斜角为()A.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) B．－eq\f(π,3)或eq\f(π,3)C．－eq\f(π,6)或eq\f(π,6) D.eq\f(π,6)解析：选A圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的圆心为(2,3)，半径r＝2，圆心(2,3)到直线y＝kx＋3的距离d＝eq\f(|2k|,\r(k2＋1))，因为直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2eq\r(3)，所以由勾股定理得r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2，即4＝eq\f(4k2,k2＋1)＋3，解得k＝±eq\f(\r(3),3)，故直线的倾斜角为eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).5．圆x2＋y2＋4x－2y－1＝0上存在两点关于直线ax－2by＋1＝0(a>0，b>0)对称，则eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值为()A．3＋2eq\r(2) B．9C．16 D．18解析：选D由圆的对称性可得，直线ax－2by＋1＝0必过圆心(－2,1)，所以a＋b＝eq\f(1,2).所以eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))(a＋b)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(b,a)＋\f(4a,b)))≥2(5＋4)＝18，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)，即2a＝b时取等号．6．(2019·重庆七校联合考试)两圆x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－8＝0相交于两点M，N，则线段MN的长为()A.eq\f(3\r(5),5) B．4C.eq\f(6\r(5),5) D.eq\f(12\r(5),5)解析：选D两圆方程相减，得直线MN的方程为x－2y＋4＝0，圆x2＋y2＋2x－8＝0的标准形式为(x＋1)2＋y2＝9，所以圆x2＋y2＋2x－8＝0的圆心为(－1,0)，半径为3，圆心(－1,0)到直线MN的距离d＝eq\f(3,\r(5))，所以线段MN的长为2eq\r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(5))))2)＝eq\f(12\r(5),5).故选D.7．(2019·广东七校联考)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(8,0)，以OA为直径的圆与直线y＝2x在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为()A．x＋2y－8＝0 B．x－2y－8＝0C．2x＋y－16＝0 D．2x－y－16＝0解析：选A如图，由题意知OB⊥AB，因为直线OB的方程为y＝2x，所以直线AB的斜率为－eq\f(1,2)，因为A(8,0)，所以直线AB的方程为y－0＝－eq\f(1,2)(x－8)，即x＋2y－8＝0，故选A.8．已知圆O：x2＋y2＝r2，点P(a，b)(ab≠0)是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为ax＋by－r2＝0，那么()A．l1∥l2，且l2与圆O相离B．l1⊥l2，且l2与圆O相切C．l1∥l2，且l2与圆O相交D．l1⊥l2，且l2与圆O相离解析：选A由题意可得a2＋b2<r2，OP⊥l1.因为kOP＝eq\f(b,a)，所以l1的斜率k1＝－eq\f(a,b).故直线l1的方程为y－b＝－eq\f(a,b)(x－a)，即ax＋by－(a2＋b2)＝0.又直线l2的方程为ax＋by－r2＝0，故l1∥l2，圆心到直线l2的距离为eq\f(|0＋0－r2|,\r(a2＋b2))>eq\f(r2,r)＝r，故圆和直线l2相离．9．(2019·石家庄模拟)已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点(－1,0)和(2,3)，则圆C的半径为()A．8 B．2eq\r(2)C．5 D.eq\r(5)解析：选D设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，∵圆C经过点(－1,0)和(2,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋12＋b2＝r2，,a－22＋b－32＝r2，))∴a＋b－2＝0①，又圆C截两坐标轴所得弦长相等，∴|a|＝|b|②，由①②得a＝b＝1，∴圆C的半径为eq\r(5)，故选D.10．设直线x－y＋m＝0(m∈R)与圆(x－2)2＋y2＝4交于A，B两点，过A，B分别作x轴的垂线与x轴交于C，D两点．若线段CD的长度为eq\r(7)，则m＝()A．1或3 B．1或－3C．－1或3 D．－1或－3解析：选D联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋m＝0，,x－22＋y2＝4，))得2x2＋2(m－2)x＋m2＝0，得Δ＝－4(m2＋4m－4)．设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝2－m，x1x2＝eq\f(m2,2)，所以|CD|＝|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(－m2－4m＋4)＝eq\r(7)，解得m＝－3或m＝－1，此时Δ>0成立．11．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则实数a的取值范围为()A．(－3eq\r(2)，3eq\r(2))B．(－∞，－3eq\r(2))∪(3eq\r(2)，＋∞)C．(－2eq\r(2)，2eq\r(2))D．[－3eq\r(2)，3eq\r(2)]解析：选A由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆O上到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d<r＋1＝2＋1，即d＝eq\f(|－a|,\r(12＋12))＝eq\f(|a|,\r(2))<3，解得a∈(－3eq\r(2)，3eq\r(2))．12．已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B分别是切点，若四边形PACB的面积的最小值是2，则k的值为()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：选D由题意知，圆C的圆心为C(0,1)，半径r＝1，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，若四边形PACB的面积的最小值是2，则S△PBC的最小值为1.而S△PBC＝eq\f(1,2)r|PB|＝eq\f(1,2)|PB|，则|PB|的最小值为2，此时|PC|取得最小值，而|PC|的最小值为圆心到直线的距离，所以eq\f(|5|,\r(k2＋1))＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，即k2＝4，由k>0，解得k＝2.13．已知直线l：x＋my－3＝0与圆C：x2＋y2＝4相切，则m＝________.解析：因为圆C：x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，直线l：x＋my－3＝0与圆C：x2＋y2＝4相切，所以2＝eq\f(3,\r(1＋m2))，解得m＝±eq\f(\r(5),2).答案：±eq\f(\r(5),2)14．(2019·浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.解析：由题意得，圆心C(0，m)到直线2x－y＋3＝0的距离d＝eq\f(|－m＋3|,\r(5))＝r，又r＝|AC|＝eq\r(4＋m＋12)，所以eq\f(|－m＋3|,\r(5))＝eq\r(4＋m＋12)，解得m＝－2，所以r＝eq\r(5).答案：－2eq\r(5)15．已知直线l：mx－y＝1，若直线l与直线x＋m(m－1)y＝2垂直，则m的值为________；动直线l：mx－y＝1被圆C：x2－2x＋y2－8＝0截得的最短弦长为________．解析：因为直线mx－y＝1与直线x＋m(m－1)y＝2垂直，所以m×1＋(－1)×m(m－1)＝0，解得m＝0或m＝2.动直线l：mx－y＝1过定点(0，－1)，圆C：x2－2x＋y2－8＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝9，圆心(1,0)到直线mx－y－1＝0的距离的最大值为eq\r(0－12＋－1－02)＝eq\r(2)，所以动直线l被圆C截得的最短弦长为2eq\r(9－\r(2)2)＝2eq\r(7).答案：0或22eq\r(7)16．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝0，则点A的横坐标为________．解析：因为AB为直径，所以AD⊥BD，所以BD即B到直线l的距离，BD＝eq\f(|0－2×5|,\r(12＋22))＝2eq\r(5).因为CD＝AC＝BC＝r，又CD⊥AB，所以AB＝2BC＝2eq\r(10)，设A(a,2a)，AB＝eq\r(a－52＋4a2)＝2eq\r(10)⇒a＝－1或3(a＝－1舍去)．答案：3B级——拔高小题提能练1．在平面直角坐标系xOy中，以(－2,0)为圆心且与直线(3m＋1)x＋(1－2m)y－5＝0(m∈R)相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程是()A．(x＋2)2＋y2＝16 B．(x＋2)2＋y2＝20C．(x＋2)2＋y2＝25 D．(x＋2)2＋y2＝36解析：选C根据题意，设圆心为P，则点P的坐标为(－2，0)．对于直线(3m＋1)x＋(1－2m)y－5＝0，变形可得m(3x－2y)＋(x＋y－5)＝0，即直线过定点M(2,3)，在以点(－2,0)为圆心且与直线(3m＋1)x＋(1－2m)y－5＝0相切的圆中，面积最大的圆的半径r长为MP，则r2＝MP2＝25，则其标准方程为(x＋2)2＋y2＝25.2．(2020届高三·广东七校联考)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B，C分别在x轴和y轴的非负半轴上，点A在第一象限，且∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，则()A．OA的最大值是4eq\r(2)，最小值是4B．OA的最大值是8，最小值是4C．OA的最大值是4eq\r(2)，最小值是2D．OA的最大值是8，最小值是2解析：选A因为∠BAC＝90°，∠BOC＝90°，所以O，B，A，C四点共圆，且在以BC为直径的圆上．又AB＝AC＝4，所以BC＝4eq\r(2).因此当OA为圆的直径时，OA取得最大值，为4eq\r(2)，如图①所示；当点B(或点C)与原点O重合时，OA取得最小值，为4，如图②所示．故选A.3．已知圆O：x2＋y2＝5，A，B为圆O上的两个动点，且|AB|＝2，M为弦AB的中点，C(2eq\r(2)，a)，D(2eq\r(2)，a＋2)．当A，B在圆O上运动时，始终有∠CMD为锐角，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－2)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－2，＋∞)D．(－∞，0)∪(2，＋∞)解析：选B连接OM，由题意得|OM|＝eq\r(5－1)＝2，∴点M在以O为圆心，半径为2的圆上．设CD的中点为N，则N(2eq\r(2)，a＋1)，且|CD|＝2.∵当A，B在圆O上运动时，始终有∠CMD为锐角，∴以O为圆心，半径为2的圆与以N(2eq\r(2)，a＋1)为圆心，半径为1的圆外离，∴eq\r(2\r(2)2＋a＋12)>3，整理得(a＋1)2>1，解得a<－2或a>0.∴实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．4．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋eq\f(4,x)(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．解析：法一：由题意可设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，x0＋\f(4,x0)))(x0>0)，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x0＋x0＋\f(4,x0))),\r(2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(4,x0))),\r(2))≥eq\f(2\r(2x0·\f(4,x0)),\r(2))＝4，当且仅当2x0＝eq\f(4,x0)，即x0＝eq\r(2)时取等号．故所求最小值是4.法二：设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\