数值分析考试试卷(解答)

广西大学课程考试试卷《数值分析》参考解答一．填空题（每小题2分，共20分）：1．计算的近似值时，要使其相对误差限，只需取3位有效数字；2．设近似数的误差限分别为和，则0.05；3．函数的误差限记为，则1；4．近似计算:≈-0.01(写成十进制小数形式)；5．设函数，则均差5；6．若是的最佳4次逼近多项式，则在上至少有6个偏差点；7.设是区间上的次勒让德多项式，则0；8．在求积公式中，辛甫生公式至少具有3次代数精度；9．将分解为下三角阵与上三角阵之积,即,则,；10．设对称矩阵的主特征值，列向量,则是的一个特征向量.二．单选题（每小题2分，共20分）：1.根据数值运算误差分析的方法与原则,无需避免的是(B);A.绝对值很大的数除以绝对值很小的数B.两个非常相近的数相乘C.绝对值很大的数加上绝对值很小的数D.两个非常相近的数相减2.设分别为节点上的次拉格朗日插值基函数，则（A）； A．B. C. D.3.当时，其伯恩斯坦多项式（B）； A. B. C. D.4．在区间上的最佳次逼近多项式为（B）； A． B． C. D．5.设是的平方逼近多项式,则其逼近标准是依据(A)；A.B.C.D.6.若牛顿-柯特斯公式只有一个求积节点,则柯特斯系数(A)；A.B.C.D.7．插值型求积公式的代数精度最高可达到(D)次；A.B.C.D.8.下列方法不是常微分方程数值解法的是(B)；A.尤拉方法B.牛顿方法C.梯形方法D.龙格-库塔方法9.用迭代法解方程,则该方程最好改写为(B)；A.B.C.D.10.迭代法解线性方程组收敛的充要条件是（C）；A． B. C. D.三．计算题（每小题7分，共42分）：1.设,试构造基函数求的2次插值多项式,满足:.解设的基函数为，则它们满足下列关系 （1分）01011100010001（2分）(1)令，则有,即.所以.或由，先得.再由，得，即.由，得，即.所以. （1分）(2)令，则有,即.所以.或由,先得.再由，得.所以. （1分）(3)令，则有，即.所以或由,先得.再由，得，即.所以 （1分）最后得. （1分）2.求在区间[-1,1]上的２次最佳一致逼近多项式;解设所求的2次最佳一致逼近多项式为.令. （2分）则的首项系数为1,并且当时,与的偏差最小,即与的偏差最小. （2分）因为上的3次切比雪夫Chebyshev多项式为. （1分）所以. （2分）3．利用龙贝格公式计算定积分(计算到即可)：解，, （1分）,,, （2分）TSCRn=11617.2590417.3264417.33283TSCRn=11617.2590417.3264417.33283n=216.9442817.3222317.33273n=417.2277417.33207n=817.30599,,.(2分)4．利用改进的尤拉方法求解常微分方程初值问题：（要求取步长计算）解令，则改进的尤拉公式为： （2分）. （2分)取得，. （1分)计算结果如下：111.21.461.42.06521.62.84754 （2分)5．用牛顿法求方程在附近的根（只要求迭代２步）。解牛顿迭代公式为： （2分). （2分)取迭代初值为，则迭代结果如下表所示：0312.3333322.05555 （3分）6．写出解如下线性方程组的高斯－塞德尔迭代公式，并讨论其收敛性。如果不收敛，则应怎样处理才能得到收敛的高斯－塞德尔迭代公式？解,,,,. （1分）则, （1分）得, （1分）, （1分）为高斯-塞德尔迭代公式. （1分）这时的2个特征值为,故，迭代法不收敛. （1分）若原方程改写成为,这时是严格对角优势矩阵，则由此得到的迭代法必收敛. （1分）四．证明题(每小题9分,共18分)：1.证明本试卷第三大题（即计算题）第１小题的插值余项：,并有误差估计证：方法一：因为，则是的零点且为二重的, (1分)于是可设，令 (2分)则有4个零点:,连续使用三次罗尔定理,则使, (2分)即,得. (2分)方法二:设,则有3个零点, (1分)有2+1个零点,。有一个零点，所以(2分) (2分)，即. (2分)最后. (2分)2．证明:求积公式恰有次代数精度.证：当时，，; (1分)当时，,; (1分)当时，,; (1分