【数学】山东省威海市2024届高三上学期期末试题（解析版）

山东省威海市2024届高三上学期期末数学试题一、选择题1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意得：或，，所以.故选：D2.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】向量，，，.故选：B.3.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得.所以.故选：A.4.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选：C.5.若正实数，，满足，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，因为为正数，故可得；则，在定义域上是单调增函数，故，又，故.故选：D.6.已知函数的图象是连续不断的，且的两个相邻的零点是，，则“，”是“，”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意知，，对任意，而函数的图象是连续不断的，由，，可得，，充分性成立，反之，，显然可推出，，必要性成立，故“，”是“，”的充要条件，故选：C7.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与圆相切于点，且与双曲线的右支交于点，若，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】连接，则，如图所示：由，得，而点Q在双曲线的右支上，则，因为，所以，即，则双曲线的离心率为：，故选：D8.在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，二面角为，则该四棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】取中点为，连接，设其交点为，连接；因为，故点在底面的投影必在直线上，过作底面的垂线，垂足为；连接；显然，故二面角的平面角为，因为，故三角形为直角三角形；在三角形中，，则，故为中点；过作的平行线，显然其垂直于平面，则该棱锥外接球球心必在该垂线上，设其为，又，，，故点在面的下方；过作垂直于的延长线，垂足为，连接，如下图所示：设该四棱锥外接球半径为，；在三角形中，，故，解得.故四棱锥外接球表面积为.故选：B.二、选择题9.某学校从高一年级名学生中抽取部分学生某次考试的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则（）A.B.估计高一学生数学成绩的平均分落在C.估计高一学生数学成绩的第三四分位数为D.估计高一学生数学成绩在的学生人数为【答案】AC【解析】由频率分布直方图可知，故A正确；由A项结论可知平均数为，故B错误；设第三四分位数为，易知前三个区间占比，前四个区间占比为，即第三四分位数位于，有，故C正确；由图得区间占比，故可估计约有，故D错误.故选：AC.10.在正方体中，，分别为线段，上的动点，则（）A.存在，两点，使得B.C.与所成的最大角为D.与平面所成的最大角的正弦值为【答案】ABD【解析】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，由在线段上，得，则，，由在线段上，得，则，，对于A，当时，，即，而，则，A正确；对于B，，，，则，B正确；对于C，，，当时，，此时与所成的角为，C错误；对于D，，设平面的法向量，则，令，得，，设与平面所成的角为，则，当且仅当时取等号，D正确.故选：ABD11.质点和在以原点为圆心，半径为上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当与重合时，的坐标可以为（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】依题意，点的起始位置，点的起始位置，则，设当与重合时，用时间为，于是，即，则，所以，对于A，若，则或，解得，或，因为，故A错误；对于B，当时，，即，故B正确；对于C，若，则或，解得，或，因为，故C错误；对于D，当时，，即，故D正确；故选：BD.12.定义在上的函数满足，当时，.当时，；当时，.若关于的方程的解构成递增数列，则（）A.B.若数列为等差数列，则公差为C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】因为，所以周期是，，故A正确；当时，令，则，即，时，，得或；时，，得；又当时，.故关于对称，故时，的根为或，则函数在一个周期内有个根.即当，在的根为，此时数列公差为，，故B错误，C正确；当得，对称轴为，此时；当，对称轴为，此时；故当时，且则，故D正确.故选：ACD.三、填空题13.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为________.【答案】【解析】因为，所以，因为的斜率为，则，即，故．故答案为：.14.展开式中含项的系数为________.【答案】80【解析】结合题意可得：所以的系数为.故答案为:.15.已知函数在上是增函数，则的取值范围是_______.【答案】【解析】根据题意，，解得，又，则；当，，由题可得，解得；综上所述，的取值范围是.故答案为：.16.已知抛物线的焦点为，是上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为________.【答案】3【解析】如图所示，易知，直线过定点，且Q在以为直径的圆上，不妨设其圆心为E，显然半径，分别过E，P作准线的垂线，垂足为M，G，结合抛物线定义有，当且仅当均在线段上时取得等号.故答案为：3四、解答题17.在中，角所对的边分别为记的面积为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.解：（1）因为，所以，可得，因为，所以（2）由余弦定理可知，即，因为，所以，所以，可得，当且仅当时等号成立，所以的最大值为18.如图，在多面体中，四边形为直角梯形，为矩形，平面平面，，，，，是的中点，与相交于点.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面所成角的正弦值.（1）证明：在线段上取点使得，连接，，由，，可得，所以，所以且，又，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）解：因为四边形为矩形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，所以，，两两垂直.以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，在梯形中，，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，可得，令，则；设平面的一个法向量为，则，可得令，则.因为，所以平面与平面所成角的正弦值为.19.记数列的前项和为，且，.（1）若为等差数列，求；（2）若，证明：.（1）解：设等差数列的公差为，则当时，，当时，，由得，，所以，因为，所以，，因为为等差数列，所以，所以，化简得，所以，所以.（2）证明：当时，，因为，可得，因为，可得，由（1）可知，当时，，所以，，当时也符合上式，所以.因为，所以.20.甲、乙、丙人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余人之一，设表示经过次传递后球传到乙手中的概率.（1）求，；（2）证明：是等比数列，并求；（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第次到第次传球）中球传到乙手中的次数为，求．（1）解：因为表示经过次传递后球传到乙手中的概率，所以，第一次传到乙手中的概率为：，第二次传到乙手中的概率为：.（2）证明；记表示事件“经过次传递后球传到乙手中”，若发生，则一定不发生，所以，即，即，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即.（3）解：由题意，次传球后球在乙手中的次数，服从两点分布，且,所以由（2）可知，，则.21.已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点的坐标为，过点作直线交于，两点（异于，），当垂直于轴时，.（1）求的标准方程；（2）直线交直线于点，证明：，，三点共线.（1）解：如图所示，由，可得，所以，即，因为，所以，解得，，所以的标准方程为.（2）证明：由题意知，直线斜率不为，如图所示设，，而，由，整理得，显然，则,因为，所以，即.则，所以，又因为有公共点，所以，，三点共线.22.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）设函数，若是的极大值点，求的值.解：（1）当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，所以的单调递增区间为，；单调递减区间为，.（2）设，当时，由于，所以与的函数值正负相反，又，所以是的极大值点，当