两角和与差的三角函数及二倍角公式

两角和与差的三角函数及二倍角公式、三角恒等式证明基础过关基础过关1．两角和的余弦公式的推导方法：2．基本公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)＝;tan(α±β)＝.3．公式的变式tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)1－tanαtanβ＝4．常见的角的变换：2＝(α＋β)＋(α－β)；α＝＋α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝(α－)－(－β)；＝5.二倍角公式sin2α＝；cos2α＝＝＝；tan2α＝.6．公式的变用：1＋cos2α＝；1－cos2α＝．7．三角函数式的化简的一般要求：①函数名称尽可能少；②项数尽可能少；③尽可能不含根式；④次数尽可能低、尽可能求出值．8．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次．9．求值问题的基本类型及方法①“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．②“给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③“给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．10．三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）．11．证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一．12．证明三角恒等式的基本方法有：⑴化繁为简；⑵左右归一；⑶变更问题．13．三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立．14．三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有：⑴代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明．⑵综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法．⑶消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法．⑷分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之．典型例题典型例题例1．求［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·的值.变式训练1：(1)已知∈(,)，sin=,则tan()等于（）A.B.7C.－D.－7(2)sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A.－B.C.－D.例2.已知α(，)，β(0，),(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．变式训练2：设cos（－）=－，sin（－β）=，且＜＜π，0＜β＜，求cos（+β）.例3.若sinA=,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值.例4．化简sin2·sin2+cos2cos2-cos2·cos2.变式训练4：化简：（1）sin+cos;(2）.小结归纳小结归纳1．三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异，找出特征，从中找到解题的突破口。对于角与角之间的关系，要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较复杂的计算，如：2α＋β=α+(α＋β)等．2．在应用过程中要能灵活运用公式，并注意总结公式的应用经验。对一些公式不仅会正用，还要会逆用、变形用，如正切的和角公式的变形用，正、余弦的和、差角公式的逆用。另外还要能对形如sinx±cosx、sinx±cosx的三角函数式要创造条件使用公式．例5.求值：变式训练5：(cos＋sin)＝（）A．－B．－C．D．例6．已知α为锐角，且，求的值.变式训练6：化简：例7．已知；(1)求的值；(2)设，求sinα的值．变式训练7：已知sin()＝，求cos()的值．小结归纳小结归纳1．二倍角公式是和角公式的特殊情况，在学习时要注意它们之间的联系；2．要理解二倍角的相对性，能根据公式的特点进行灵活应用(正用、逆用、变形用)．3．对三角函数式的变形有以下常用的方法：①降次（常用降次公式）②消元（化同名或同角的三角函数）③消去常数“1”或用“1”替换④角的范围的确定例8.（1）化简：（2）化简：变式训练8：已知，若，则可化简为．例9.已知，α∈[，]，求（2α＋）的值．变式训练9：在△ABC中，，，，求A和△ABC的面积．例10.已知tan(α－β)＝，β＝-，且α、β∈（0，），求2α－β的值.例11．已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．变式训练11：已知（<α<），试用k表示sin－cos的值．小结归纳小结归纳1．三角函数的化简与求值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在;2．要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，熟悉几种常见的入手方式：①变换角度②变换函数名③变换解析式结构3．求值常用的方法：切割化弦法、升幂降幂法、辅助元素法、“1”的代换法等．例12．求证：＝变式训练12：求证：tan(α＋)＋tan(α－)＝2tan2α例13．求证：变式训练13：已知2tanA＝3tanB，求证：tan(A－B)＝．例14.在△ABC中，若sinA·cos2＋sinC·cos2＝sinB，求证：sinA＋sinC＝2sinB．变式训练14：已知sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθ·cosθ＝sin2β，求证：2cos2α＝cos2β．小结归纳小结归纳1．证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征通过三角恒等变换，应用化