三角函数诱导公式学案第二课时

1.2.2同角三角函数的关系编制人：杨云珍李勇黄先锋【使用说明及学法指导】1.先精读一遍教材P18—P20，用红色笔进行勾画，再针对导学案预习自学部分二次阅读教材并回答提出的问题，时间不超过50分钟；2.限时、认真、独立完成合作探究设置的问题，对于加★部分的题目为选做题，没加★的题目都要做。3.在预习，做练习过程中找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课堂上讨论质疑。【学习目标】1．通过本节内容的教学，使学生进一步理解和掌握正弦、余弦和正切的诱导公式，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；重点：诱导公式五、六及六个诱导公式的综合运用.难点:公式的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透一、预习自学（1）、预习目标熟记正弦、余弦和正切的诱导公式，理解公式的由来并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简（2）、复习与预习1．利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值；____________________2．诱导公式一及其用途：3、对于任何一个内的角，以下四种情况有且只有一种成立（其中为锐角）：4、诱导公式二：5、诱导公式三：6、诱导公式四：7、诱导公式五：8、诱导公式六：问题1：请同学们回顾一下前一节我们学习的与、、的角的终边的对称关系问题2：如果两个点关于直线y=x对称，它们的坐标之间有什么关系呢？若两个点关于y轴对称呢？识记：±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.进一步可以简记为:函数名改变,符号看象限.利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.二、合作探究探究一、利用同角三角函数基本关系求值例1

求值：（1）

（2）

（3）

（4）思考：我们学习了的诱导公式，还知道的诱导公式，那么对于，又有怎样的诱导公式呢？探究二：化简与证明例2证明(1)sin(-α)=-cosα;(2)cos(-α)=-sinα.点评:由公式五及六推得±α的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系,从而进一步可以推广到π(k∈Z)的情形.本例的结果可以直接作为诱导公式直接使用.例3化简变式训练：

已知方程sin(3)=2cos(4)，求的值三．课堂效果检测1．cos2（－α）+cos2（+α）的值为（）A．1B．－1C．D．－2．若n∈Z，在①sin（nπ+）；②sin（2nπ±）；③sin[nπ+（－1）n]；④cos[2nπ+（－1）n]中，与sin相等的是（）A．①和②B．③和④C．①和④D．②和③3．已知sin（π－α）=－2sin（+α），则sinαcosα=__________．4．已知cos（+φ）=，且|φ|<，则tanφ=________．5．化简：eq\f(sin2(2－)＋cos2(－)＋sin(－2)sin(－),cos2(eq\f(3,2)-)＋cos2(＋)－sin(eq\f(,2)＋)cos(－2))．6．已知sin（α－π）=－2cos（2π－α），求的值．★★自主拓展探究一诱导公式在求值问题中的应用例1．计算sin（π－α）+cos（π－α）（n∈Z）的值，其结果为__________．点评：本例中方法一通过对n∈Z的奇数与偶数两种不同的情况加以分开讨论，在各自不同分类情况下，再结合诱导公式加以直接求解，也可以达到目的．但在方法二中，直接分析两个角之间的关系，直接通过诱导公式加以求解，显然更为方便快捷，方法更加巧妙．变式练习1：设＝2，则sincos＝________．★★自主拓展探究二：诱导公式在化简（或证明）问题中的应用例2．若f（n）=sin（π+α），试化简f（n）f（n+4）+f（n+2）f（n+6）．点评：对于比较复杂的代数式可以先利用诱导公式化简，然后再寻找它们之间的联系，得以化简．通过诱导公式加以化简再运算，显得方便快捷，方法更加巧妙．变式练习2：化简：．★★自主拓展探究三：诱导公式在解决三角形问题中的应用例3．若方程（m+5）x2－（2m+5）x+4=0的两根是直角△ABC的两个锐角A、B的正弦值，试求实数m的值．点评：在三角形的相应求值问题中，要注意结合三角形中各内角对应的三角函数值的限制条件，显然直角△ABC的两个锐角A、B的正弦值均要在范围（0，1）内，由此对相应的值加以检验．变式练习3：已知A、B、C为△ABC的三个内角，试证明：sin=cos．四．【课堂小结】1.知识方面2.数学思想方面★★自主拓展探究一例1．计算sin（π－α）+cos（π－α）（n∈Z）的值，其结果为__________．思路导析：按照常规思维，由于n∈Z的任意性，对于不同的n的值，可能导致不同的结果，因而要加以分类讨论．但实际上，角π－α与角π－α存在着特殊的关系，如果能够观察出来，可以非常巧妙地利用诱导公式加以简单处理．解析：方法一：当n为奇数时，设n=2k+1（k∈Z），原式=sin[π－α]+cos[π－α]=sin（π－α）+cos（π－α）=sin（π－α）+cos（π－α）=sin（π－α）+cos[+（π－α）]=sin（π－α）－sin（π－α）=0；当n为偶数时，设n=2k（k∈Z），原式=sin（π－α）+cos（π－α）=sin（－π－α）+cos（π－α）=－sin（π+α）+cos[－（π+α）]=－sin（π+α）+sin（π+α）=0；综上分析可知，原式=0．方法二：由于π－α=+（π－α），那么sin（π－α）+cos（π－α）=sin（π－α）+cos[+（π－α）]=sin（π－α）－sin（π－α）=0，即其结果为0．点评：本例中方法一通过对n∈Z的奇数与偶数两种不同的情况加以分开讨论，在各自不同分类情况下，再结合诱导公式加以直接求解，也可以达到目的．但在方法二中，直接分析两个角之间的关系，直接通过诱导公式加以求解，显然更为方便快捷，方法更加巧妙．变式练习1：设＝2，则sincos＝________．自主拓展探究二：诱导公式在化简（或证明）问题中的应用例2．若f（n）=sin（π+α），试化简f（n）f（n+4）+f（n+2）f（n+6）．思路导析：先利用诱导公式逐个化简，然后代入通过乘积与加法运算加以求值与化简．解析：由于f（n）=sin（π+α），那么f（n+2）=sin（π+α）=sin（+π+α）=cos（π+α），f（n+4）=sin（π+α）=sin（π+π+α）=－sin（π+α），f（n+6）=sin（π+α）=sin（+π+α）=－cos（π+α），所以f（n）f（n+4）+f（n+2）f（n+6）=sin（π+α）[－sin（π+α）]+cos（π+α）[－cos（π+α）]=－sin2（π+α）－cos2（π+α）=－1．点评：对于比较复杂的代数式可以先利用诱导公式化简，然后再寻找它们之间的联系，得以化简．通过诱导公式加以化简再运算，显得方便快捷，方法更加巧妙．变式练习2：化简：．自主拓展探究三：诱导公式在解决三角形问题中的应用例3．若方程（m+5）x2－（2m+5）x+4=0的两根是直角△ABC的两个锐角A、B的正弦值，试求实数m的值．思路导析：根据方程中的根与系数的关系，还有直角三角形中相应角的关系及诱导公式，建立相关的关系式，并结合同角三角函数的基本关系式加以解决相应的参数问题．解析：根据题意可得，sinA+sinB=且sinAsinB=，又A+B=，则B=－A，那么有sinB=sin（－A）=cosA，∴sinA+cosA=且sinAcosA=，那么（sinA+cosA）2=sin2A+cos2A+2sinAcosA=1+=（）2，整理可得3m2+2m－40=0，解得m=－4或m=，而当m=－4时，sinAsinB==4，显然不满足题目条件，应舍去，故实数m的值为．点评：在三角形的相应求值问题中，要注意结合三角形中各内角对应的三角函数值的限制条件，显然直角△ABC的两个锐角A、B的正弦值均要在范围（0，1）内，由此对相应的值加以检验．变式练习3：已知A、B、C为△ABC的三个内角，试证明：sin=cos课堂效果检测1．A；解析：原式=cos2[－（+α）]+cos2（+α）=sin2（+α）+cos2（+α）=1；2．B；解析：sin（nπ+）=；sin（2nπ±）=sin；sin[nπ+（－1）n]=sin；cos[2nπ+（－1）n]=sin；3．－；解析：由sin（π－α）=－2sin（+α）得sinα=－2cosα，代入sin2α+cos2α=1得cos2α=，那么sinαcosα=－2cos2α=－；4．－；解析：由cos（+φ）=，得－sinφ=，即sinφ=－，又|φ|<，∴cosφ=，∴tanφ==－；5．解析：原式＝eq\f(sin2＋cos2－sin2,sin2＋cos2－cos2)＝eq\f(cos2,sin2)=．6．解析：由已知可得－sinα=－2cosα，即sinα=2cosα，那么===．补充资料例1(1)已知f(cosx)=cos17x,求证:f(sinx)=sin17x;(2)对于怎样的整数n,才能由f(sinx)=sinnx推出f(cosx)=cosnx?活动:对诱导公式的应用需要较多的思维空间,善于观察题目特点,要灵活变形.观察本例条件与结论在结构上类似,差别在于一个含余弦,一个含正弦,注意到正弦、余弦转化可借助sinx=cos(-x)或cosx=sin(-x).要善于观察条件和结论的结构特征,找出它们的共性与差异;要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移.证明:(1)f(sinx)=f[cos(-x)]=cos[17(-x)]=cos(8π+-17x)=cos(-17x)=sin17x,即f(sinx)=sin17x.(2)f(cosx)=f[sin(-x)]=sin[n(-x)]=sin(-nx)=故所求的整数n=4k+1(k∈Z).点评:正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.变式训练已知cos(-α)=m(m≤1),求sin(-α)的值.解:∵-α-(-α)=,∴-α=+(-α).∴sin(-α)=sin［+(-α)］=cos(-α)=m.点评:(1)当两个角的和或差是的整数倍时,它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来.(2)化简已知与所求,然后探求联系,这是解决问题的重要思想方法.例2已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根,且α为第三象限角,求的值.活动:教师引导学生先确定sinα的值再化简待求式,从而架起已知与未知的桥梁.解:∵5x2-7x-6=0的两根x=2或x=,∵-1≤x≤1,∴sinα=.又∵α为第三象限角,∴cosα==.∴tanα=.∴原式==tana=点评:综合运用相关知识解决综合问题.变式训练若函数f(n)=sin(n∈Z),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=____________________.解:∵=sin(+2π)=sin,∴f(n)=f(n+12).从而有f(1)+f(2)+f(3)+…+f(12)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+(6)=2［f(1)+f(2)+f(3)］=2+.例3已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β).其中a,b,α,β都是非零实数,又知f(2003)=-1,求f(2004)的值.