数学-专项7.9平行线的性质与判定大题提升训练（拔高篇重难点培优30题）-【】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题（带答案）【苏科版】

【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题7.9平行线的性质与判定大题提升训练（拔高篇，重难点培优）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、解答题1．（2022春·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．(1)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；(2)若BF⊥AC，∠2=132°，求∠AFG的度数．【答案】(1)BF∥DE，见解析(2)42°【分析】（1）根据同位角相等两直线平行可得GF∥BC，可证∠1=∠3，结合∠1+∠2=180°，可得∠3+∠2=180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可得解；（2）由∠2=132°得∠1=48°，继而得到∠AFG的度数．【详解】（1）解：BF∥DE；理由如下：∵∠AGF=∠ABC，∴GF∥BC，∴∠1=∠3，

又∵∠1+∠2=180°，∴∠3+∠2=180°，∴BF∥DE；（2）解：∵∠1+∠2=180°，∠2=132°，∴∠1=48°，又∵BF⊥AC，∴∠BFA=90°，∴∠AFG=∠BFA−∠1=90°−48°=42°；故∠AFG的度数为42°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解决本题的关键是平行线的判定和性质的灵活运用，解题时注意与方程思想相结合．2．（2022春·江苏南通·七年级校考期中）已知：如图，AE⊥BC,FG⊥BC，(1)求证：AB∥(2)求∠C的度数．【答案】(1)证明见解析(2)∠C=30°【分析】（1）先证明AE∥GF，可得∠EAB=∠FGB，再证明（2）由AB∥CD，可得∠D+∠CBD+∠ABC=180°，再把【详解】（1）证明：∵AE⊥BC，∴AE∥∴∠EAB=∠FGB，∵∠CEA=∠FGB，

∴∠CEA=∠EAB，∴AB∥（2）解：由（1）得，AB∥∴∠D+∠CBD+∠ABC=180°，∵∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70°，∴∠ABC+70°+∠ABC+50°=180°∴∠ABC=30°，∴∠C=∠ABC=30°．【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，方程思想的应用，掌握“平行线的判定与性质”是解本题的关键.3．（2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，已知AB∥CD，∠C＝∠B．(1)求证：CF∥BD；(2)如果AB是∠FAD的平分线，且∠ADB＝96°，求∠B的度数．【答案】(1)见解析(2)42°【分析】（1）利用平行线的性质定理和判定定理可得结论；（2）由∠ADB+∠FAD=180°，可得∠FAD，易得∠FAB=42°，由CF∥BD，再根据平行线的性质推出∠B=∠FAB=42°．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠C=∠FAB，∴∠C=∠B，∴∠B=∠FAB，

∴CF∥BD；（2）解：∵CF∥BD，∴∠FAD+∠ADB=180°，∵∠ADB=96°，∴∠FAD=180°-96°=84°，∵AB平分∠FAD，∴∠FAB=12∠FAD＝1∵CF∥BD，∴∠B=∠FAB=42°．【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．4．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，BD平分∠ABC，∠C=30°，∠ABD=75°，AE、BD交于点F．(1)说明：AB∥CD；(2)如果AE∥BC，那么可求．请从①∠AFD，②∠A中选择一项填在空格处（填写序号），并写出求解过程．【答案】(1)见解析(2)①②，求解过程见解析【分析】（1）由BD平分∠ABC可得∠ABC=2∠ABD=2∠DBC=150°，从而得到∠ABC+∠C=180°，即可说明AB∥CD；（2）利用平行线的性质，可求得∠AFD，∠A的度数．（1）解：∵BD平分∠ABC，∠ABD=75°，

∴∠ABC=2∠DBC=2∠ABD=150°，∵∠C=30°，∴∠C+∠ABC=180°，∴AB∥CD；（2）解：填①②．∵BD平分∠ABC，∠ABD=75°，∴∠DBC=∠ABD=75°，∵AE∥BC，∴∠DFE=∠DBC=75°，∴∠AFD=180°-75°=105°；∵AE∥BC，∴∠ABC+∠A=180°，∴∠A=180°-150°=30°．故答案为：①或②．【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．5．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）如图，点D、E、F、G在△ABC的边上，且BF∥(1)求证：GF∥(2)若BF平分∠ABC，∠2＝138°，求∠AGF的度数．【答案】(1)见解析(2)84°【分析】（1）根据BF∥

（2）根据∠2＝138°，可得∠3=42°，从而得到∠ABC=84°，再由GF∥（1）证明：∵BF∥∴∠2+∠3=180°，∵∠1＋∠2＝180°．∴∠1=∠3，∴GF∥（2）解：∵BF∥∴∠2+∠3=180°，∵∠2＝138°，∴∠3=42°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABC=84°，∵GF∥∴∠AGF=∠ABC=84°．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等是解题的关键．6．（2022春·江苏徐州·七年级统考期中）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，点E在AC上，EF⊥AB，垂足为点F，若∠1+∠2=180°，则DG与BC有怎样的位置关系？请说明理由．【答案】DG⊥BC；理由见解析【分析】根据EF⊥AB，CD⊥AB，得出CD∥EF，根据平行线的性质得出∠2+∠DCE=180°，根据∠1+∠2=180°，得出∠1=∠DCE，即可得出DG∥AC，根据∠ACB=90°，即可得出结果．【详解】解：DG⊥BC；理由如下：

∵EF⊥AB，CD⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2+∠DCE=180°，∵∠1+∠2=180°，∴∠1=∠DCE，∴DG∥AC，∵∠ACB=90°，∴∠DGB=∠ACB=90°，∴DG⊥BC．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，熟练掌握内错角相等，两直线平行，两直线平行同旁内角互补，是解题的关键．7．（2022春·江苏苏州·七年级校联考期中）如图，在ΔABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F(1)求证：CD//EF；(2)如果∠1=∠2，且∠3=100°，求∠ACB的度数．【答案】(1)见解析(2)∠ACB＝100°【分析】（1）先根据垂直的定义得到∠BFE＝∠BDC＝90°，然后根据同位角相等，两直线平行即可证明CD//EF；（2）由于CD//EF，则∠2＝∠BCD，利用∠1＝∠2得到∠BCD＝∠1，根据内错角相等，两直线平行得到DG//BC，然后根据平行线的性质求解．（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，

∴∠BFE＝∠BDC＝90°，∴CD∥EF；（2）解：∵CD//EF，∴∠2＝∠BCD，∵∠1＝∠2，∴∠BCD＝∠1，∴DG//BC，∴∠ACB＝∠3＝100°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．8．（2023春·七年级单元测试）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已知∠1+∠2=90°，且∠2:∠3=2:5．(1)求∠BOF的度数；(2)试说明AB∥CD的理由．【答案】(1)∠BOF的度数为140°(2)见解析【分析】（1）根据角平分线的定义推出∠2+∠AOC=90°，再根据对顶角性质求解即可；（2）结合等量代换得出∠1=∠AOC，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解．【详解】（1）解：∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，∴∠AOE=∠AOC=12∠COE∵∠COE+∠DOE=180°，

∴∠2+∠AOC=90°，∵∠COE=∠3，∴∠AOC=1∴∠2+1∵∠2:∠3=2:5，∴∠3=5∴∠2+1∴∠2=40°，∴∠3=100°，∴∠BOF=∠2+∠3=140°；（2）解：∵∠1+∠2=90°，∠2+∠AOC=90°，∴∠1=∠AOC，∴AB∥CD．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，余角的性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．9．（2023春·七年级单元测试）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．(1)求证：∠AOE=∠ODG；(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)CD∥OE，理由见解析【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG

=90°，再利用等角的余角相等即可证明∠AOE=∠ODG；（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CD∥OE．【详解】（1）证明：∵OD⊥OE，∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，∵∠ODG+∠DOG=90°，∴∠AOE=∠ODG；（2）解：CD∥OE．理由如下：由（1）得∠AOE=∠ODG，∵射线OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠EOC，∵∠ODG=∠C，∴∠EOC=∠C，∴CD∥OE．【点睛】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键．10．（2022·江苏·七年级假期作业）如图，点E在直线DC上，射线EF、EB分别平分∠AED、∠AEC．(1)试判断EF、EB的位置关系，并说明理由；(2)若∠A=∠5，且∠4+∠5=90°，求证：AB∥【答案】(1)EB⊥EF，理由见解析(2)见解析【分析】（1）根据角平分线定义以及平角的定义即可求证；（2）由等角的余角相等可证得∠2=∠5，进而可得∠2=∠A，再由内错角相等两直线平行即可证得．(1)解：EB⊥EF，

理由如下：∵EB平分∠AEC，EF平分∠AED，∴∠3=∠4=12∠AEC∵∠AED+∠AEC=180°，∴∠BEF=∠2+∠3=1∴EB⊥EF；(2)证明：∵∠2+∠3=90°（已证），∠4+∠5=90°（已知），又∵∠3=∠4，∴∠2=∠5，∵∠A=∠5，∴∠2=∠A，∴AB∥【点睛】本题考查了角平分线定义，平角定义，平行线的判定，等角的余角相等，综合掌握以上知识并熟练应用是解题的关键．11．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．（1）AD与BC平行吗？请说明理由；（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？【答案】（1）AD∥BC，理由详见解析；（2）AB∥EF，理由详见解析【分析】（1）先根据补角的性质证明∠ADF=∠BCF，然后根据同位角相等两直线平行即可证明AD∥BC；（2）根据BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E可证∠E=∠ABE，结论：AB∥EF，然后根据内错角相等两直线平行即可证明AB∥EF．【详解】（1）AD∥BC，理由是：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°，

∴∠ADF＝∠BCF，∴AD∥BC；．（2）AB∥EF，理由是：∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE，∵∠ABC＝2∠E，∴∠ABE＝∠E，∴AB∥EF．【点睛】本题考查了补角的性质、平行线的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（2022春·江苏宿迁·七年级校考期中）如图，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF，分别与BD、CE交于点G、H．已知∠1=52°，∠2=128°．（1）求证：BD∥CE；（2）若∠A=∠F，试判断∠C与∠D的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）∠C=∠D，理由见解析.【分析】（1）根据对顶角相等得出∠DGH的度数，再由平行线的判定定理即可得出结论；（2）先根据BD∥CE得出∠D=∠CEF，再由∠A=∠F得出AC∥DF，据此可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠1=∠DGH=52°，∠2=128°，∴∠DGH+∠2=180°，∴BD∥CE；（2）解：∠C=∠D．理由：∵BD∥CE，∴∠D=∠CEF．∵∠A=∠F，∴AC∥DF，

∴∠C=∠CEF，∴∠C=∠D．【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．13．（2019·江苏苏州·七年级统考期中）如图，直线AB∥CD，E、F是AB、CD上的两点，直线l与AB、CD分别交于点G、H，点P是直线l上的一个动点（不与点G、H重合），连接PE、PF．（1）当点P与点E、F在一直线上时，∠GEP＝∠EGP，∠FHP＝60°，则∠PFD＝．（2）若点P与点E、F不在一直线上，试探索∠AEP、∠EPF、∠CFP之间的关系，并证明你的结论．【答案】（1）120°；（2）①当E、F在直线l的两侧时，∠EPF＝∠AEP+∠CFP；②当E、F在直线l的同侧时，∠EPF+∠AEP+∠CFP＝360°.【分析】（1）根据平行线的性质和邻补角定义计算可得结论；（2）分两种情况①当E、F在直线l的两侧时，∠EPF＝∠AEP+∠CFP，②当E、F在直线l的同侧时，∠EPF+∠AEP+∠CFP＝360°，分别根据平行线的性质证明可得结论．【详解】（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠GEP＝∠PFH，∠EGP＝∠PHF＝60°，∵∠GEP＝∠EGP，∴∠PFH＝60°，∴∠PFD＝180°﹣60°＝120°，故答案为120°；（2）分两种情况：

①当E、F在直线l的两侧时，∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由是：如图2，过P作PQ∥AB，∵AB∥C，∴PQ∥AB∥CD，∴∠AEP＝∠EPQ，∠CFP＝∠FPQ，∴∠EPQ+∠FPQ＝∠AEP+∠CFP，即∠EPF＝∠AEP+∠CFP；②当E、F在直线l的同侧时，∠EPF+∠AEP+∠CFP＝360°，理由是：如图3，过P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD，∴∠AEP+∠EPQ＝180°，∠CFP+∠FPQ＝180°，∴∠EPQ+∠FPQ+∠AEP+∠CFP＝360°，即∠EPF+∠AEP+∠CFP＝360°．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系，熟练掌握平行线的性质是关键．14．（2022春·江苏淮安·七年级校考期末）如图，FN交HE、MD于点A、点C，过C作射线CG交HE于点B．若∠EAF＝∠NCM＝∠MCB＝45°．

(1)求证：AB∥CD；(2)求∠ABG的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)135°【分析】（1）由对顶角相等得到∠NCM＝∠FCD，即可得到∠EAF＝∠FCD，即可判定AB∥CD；（2）由平角的定义得到∠BCD＝180°−∠MCB＝135°，再根据平行线的性质即可得解．（1）证明：∵∠EAF＝∠NCM，∠NCM＝∠FCD，∴∠EAF＝∠FCD，∴AB∥CD；（2）解：∵∠MCB＋∠BCD＝180°，∠MCB＝45°，∴∠BCD＝180°−∠MCB＝135°，由（1）知，AB∥CD，∴∠ABG＝∠BCD，∠ABG＝135°，故∠ABG的度数是135°．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．15．（2022春·江苏南京·七年级校考期末）如图，在△ABC中，∠B=35°，点D在BC上，∠BAC=∠ADC，点E在AB上，

(1)若DE∥AC，求(2)当∠BED的度数是______时，△BDE是直角三角形．【答案】(1)35°(2)90°或55°【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BED=∠BAC，再根据三角形外角等于和它不相邻的两个内角和即可得（2）根据直角三角形两个锐角互余可得（1）∵DE∥AC，∴∠BED=∠BAC，∵∠BAC=∠ADC，∴∠BED=∠ADC，∵∠BED=∠EAD+∠ADE，∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠ADE=∠B=35°；（2）当∠BED的度数是90°或55°时，△BDE是直角三角形．理由如下：当∠BED的度数是90°时，△BDE是直角三角形．当∠BDE=90°，∴∠BED=90°−35°=55°时，△BDE是直角三角形．故答案为：90°或55°．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质定理，平行线的性质，解决本题的关键是掌握三角形的外角的性质定理．

16．（2022春·江苏南通·七年级校考阶段练习）已知：如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于C．(1)若∠O=40°，则∠ECF=；(2)求证：CG平分∠OCD；(3)当∠O=时，CD将∠OCF分为1︰2两部分．【答案】(1)110°；(2)见解析；(3)36°或90°．【分析】（1）根据平行线的性质，得到∠ACE=40°，根据平角的定义以及角平分线的定义，即可得到∠ACF=70°，进而得出∠ECF的度数；（2）根据∠DCG+∠DCF=90°，∠GCO+∠FCA=90°，以及∠ACF=∠DCF，运用等角的余角相等，即可得到∠GCO=∠GCD，即CG平分∠OCD；（3）当∠O=36°时，根据平行线的性质，得出∠DCO=∠O=36°，再根据角平分线的定义，即可得到∠DCF=72°，据此可得2∠DCO=∠DCF．同理：当当∠O=90°时，可得∠DCO=2∠DCF．（1）解：∵DE∥OB，∴∠O=∠ACE（两直线平行，同位角相等），∵∠O=40°，∴∠ACE=40°，∵∠ACD+∠ACE=180°（平角定义），∴∠ACD=140°，又∵CF平分∠ACD，∴∠ACF=70°（角平分线定义），∴∠ECF=70°+40°=110°；

故答案为：110°；（2）证明：∵CG⊥CF，∴∠FCG=90°，∴∠DCG+∠DCF=90°，又∵∠AOC=180°（平角定义），∴∠GCO+∠FCA=90°，∵∠ACF=∠DCF，∴∠GCO=∠GCD（等角的余角相等），即CG平分∠OCD．（3）解：当∠O=36°时，CD将∠OCF分为1：2两部分．当∠O=36°时，∵DE∥OB，∴∠DCO=∠O=36°．∴∠ACD=144°．又∵CF平分∠ACD，∴∠DCF=72°，∴2∠DCO=∠DCF．当∠O=90°时，CD将∠OCF分为1：2两部分．当∠O=90°时，∵DE∥OB，∴∠DCO=∠O=90°．∴∠ACD=90°．又∵CF平分∠ACD，∴∠DCF=45°，∴∠DCO=2∠DCF，故答案为：36°或90°．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解题时注意：两直线平行，同位角相等，内错角相等．17．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD．(1)求证：AB∥CD；(2)若∠EHF=80°，∠D=30°，求∠AEC的度数．【答案】(1)见解析(2)70°【分析】（1）先证明CE∥FG，证明∠FGD=∠EFG，得证AB∥CD．（2）先根据三角形内角和定理计算∠FGD=70°，再根据AB∥CD，得∠FGD=∠AFG=70°，根据CE∥FG，得∠AEC=∠AFG=70°．（1）因为∠CED=∠GHD，所以CE∥FG，所以∠C=∠FGD，因为∠C=∠EFG，所以∠FGD=∠EFG，所以AB∥CD．（2）因为∠EHF=80°=∠GHD，根据三角形内角和定理，得∠FGD=180°-∠EHF-∠D=180°-30°-80°=70°，因为AB∥CD，所以∠FGD=∠AFG=70°，因为CE∥FG，

所以∠AEC=∠AFG=70°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．18．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，∠1=50°，∠2=130°，∠A=∠F．探索∠C与∠E的数量关系，并说明理由．【答案】∠C=∠E；理由见解析【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．【详解】解:∠C=∠E，理由如下，如图：∵∠1=∠3=50°，∠2=130°∴∠3+∠2=180°∴BF∥AD∴∠A=∠CBF∵∠A=∠F∴∠CBF=∠F∴AC∥EF∴∠C=∠E．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质,熟记“同旁内角互补，两直线平行”、“同位角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．19．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在AB上，EF⊥BC，垂足为F．

(1)AD与EF平行吗？为什么？(2)如果∠1=∠2，且∠3=110°，求∠BAC的度数．【答案】(1)AD与EF平行，理由见解析(2)110°【分析】（1）根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行可判断AD∥EF；（2）根据平行线的性质由AD∥EF得∠2=∠BAD，而∠1=∠2，所以∠1=∠BAD，则可根据平行线的判定方法得到AB∥DG，然后利用平行线的性质得∠BAC=∠3=110°．（1）解：AD与EF平行．理由如下：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴AD∥EF；（2）∵AD∥EF，∴∠2=∠BAD，∵∠1=∠2，∴∠1=∠BAD，∴AB∥DG，∴∠BAC=∠3，∵∠3=110°，∴∠BAC=110°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质，并能熟练运用是解题的关键．20．（2022春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，探索这两个角的关系，并说明理由．

(1)如图（一），AB∥EF，BC∥DE，(2)如图（二），AB∥EF，BC∥DE，(3)经过上述证明，我们可以得到一个结论：________．(4)若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角分别是多少度？【答案】(1)相等(2)互补(3)结论见解析(4)30°，30°或70°，110°【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等，可得出结论；（2）根据两直线平行，同位角相等，得到∠1=∠3，再根据对顶角相等，得到∠3=（3）通过（1）、（2）小题，即可得出结论；（4）分情况讨论，当两个角相等时，即x=2x−30，即可得出角的度数，当两个角互补时，即x+2x−30=180，即可得出角的度数．（1）解：∵AB∥∴∠1=又∵BC∥∴∠2=∴∠1=∴∠1与∠2相等，（2）解：∵AB∥∴∠1=又∵∠3=∴∠1=又∵BC∥∴∠2+∴∠2+

∴∠1与∠2互补，（3）经过上述证明，我们可以得到一个结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．（4）设其中一个角为x°，当两个角相等时，即x=2x−30，解得x=30，2x−30=30，当两个角互补时，即x+2x−30=180，解得x=70，

2x−30=110，答：这两个角分别是30°，30°或70°，110°．【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角相等、等量代换等知识点，解本题的关键在熟练掌握平行线的性质．21．（2022春·江苏镇江·七年级统考期中）如图，∠1=∠2，∠DEH+∠EHG=180°，∠C=∠A(1)试说明：∠AEH=∠F；(2)若∠B=40°，∠F=25°，则∠DEF=________．【答案】(1)见解析(2)85°【分析】（1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；（2）由平行线的性质及平角的定义可求解∠2的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．（1）解：∵∠DEH+∠EHG=180°

∴DE∥AC∴∠1=∠C，∠2=∠DGC∵∠C=∠A，∠1=∠2∴∠A=∠DGC∴AB∥DF∴∠AEH=∠F（2）解：∵AB∥DF，∴∠CDF=∠B=40°，∵∠1+∠2+∠CDF=180°，∠1=∠2，∴∠1=∠2=70°，∵∠F=25°，∠F+∠2+∠DEF=180°，∴∠DEF=180°-25°-70°=85°．故答案为：85°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．22．（2022春·江苏盐城·七年级校联考期中）如图，BD是△ABC的角平分线，ED∥BC，交AB于点(1)若∠A=44°，∠BDC=60°，求∠BED的度数；(2)若∠A-∠ABD=31°，∠EDC=76°，求∠ADB的度数．【答案】(1)148°(2)119°【分析】（1）如图，根据邻补角的定义、△ABD内角和定理以及平行线的性质进行计算；（2）根据平行线的性质求得∠C

=104°；然后利用三角形内角和定理和已知条件易求∠1=∠2=15°，所以根据三角形外角的性质易求∠ADB的度数．（1）解：如图，∵∠BDC=60°，∴∠ADB=120°．又∵∠A=44°，∴∠2=180°-44°-120°=16°．∵BD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2=16°．又ED//BC，∴∠BED+2∠1=180°，∴∠BED=180°-32°=148°；（2）∵ED//BC，∴∠EDC+∠C=180°．又∵∠EDC=76°，∴∠C=104°．∵BD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2．∵∠A-∠2=31°，∠A+2∠2+∠C=180°∴∠1=∠2=15°，∴∠ADB=∠1+∠C=119°．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．此题综合性比较强，需要学生对知识有一系统的掌握．23．（2022春·江苏盐城·七年级统考期中）已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．

(1)∠2与∠DCB相等吗？为什么？(2)试说明CD是△ABC的高．【答案】(1)∠2=∠DCB，理由见解析(2)见解析【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行得到DE//BC，再根据两直线平行，同位角相等证明结论；（2）根据平行线的性质得到CD⊥AB，根据三角形的概念证明即可．【详解】（1）∠2=∠DCB，理由如下：∵∠1=∠ACB，∴DE∥∴∠2=∠DCB；（2）∵∠2=∠3，∠2=∠DCB，∴∠3=∠DCB，∴HF∥∵FH⊥AB，∴CD⊥AB，即CD是ΔABC【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质、三角形的高的概念，掌握平行线的判定定理是解题的关键．24．（2022春·江苏镇江·七年级统考期末）如图，点E、A、F在同一条直线上，AB平分∠EAC，AD平分∠FAC．(1)求∠BAD的度数；

(2)若直线EF∥直线MN，∠1=39°，则∠ADC=【答案】(1)90°(2)51【分析】（1）根据角平分线的定义及平角的概念进行求解；（2）根据角平分线的定义及平行线的性质进行求解．(1)∵AB平分∠EAC，AD平分∠FAC∴∠2=12∠EAC，∠3=12∵∠EAC+∠FAC=180°∴∠2+∠3=12(∠EAC+∠FAC即∠BAD=90°(2)解：∵AB平分∠EAC，AD平分∠FAC∴∠2=∠1=39°，∠3=∠FAD，∴∠3=∠FAD=1∵EF//MN∴∠FAD=∠ADC=51°，故答案为：51；【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理，利用等量代换的思想求解．25．（浙江省杭州市采荷中学教育集团2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）将一副三角板中的两块直角三角尺顶点C按照如图①方式叠放在一起（其中∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=60°，∠A=30°，∠E=∠ECD=45°）设∠ACE=α．

(1)若α=30°，说明AB∥CE；(2)将三角形CDE绕点C顺时针转动，若DE∥BC，求α的度数．【答案】(1)见解析(2)15°或165°【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行证明即可；（2）分两种情形：如图②中，当DE∥CE时，如图③中，当DE∥BC时，分别求解即可．【详解】（1）解：如图①中，∵∠ACE=α=30°，∠A=30°，∴∠ACE=∠A，∴AB∥CE；（2）解：如图②中，当DE∥CE时，则∠BCE=∠E=45°，∴α=∠ACE=∠ACB−∠BCE=60°−45°=15°；

如图③中，当DE∥BC时，则∠BCD=∠D=90°，∴α=∠ACE=360°−∠ACB−∠ECD−∠BCD=360°−60°−45°−90°=165°．综上所述，α的值为15°或165°．【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．26．（广东省江门市第二中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）已知，AB∥CD．(1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E；(2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∠F=105°，求∠A的度数．【答案】(1)证明见解析(2)150°【分析】（1）过点E作EF∥AB于点F，先根据平行线的性质可得∠A=180°−∠AEF，再根据平行公理推论可得EF∥CD，然后根据平行线的性质可得∠C=180°−∠CEF，最后计算∠A−∠C即可得证；（2）过点F作FG∥CE于点G，先根据平行线的性质可得∠EFG=180°−∠CEF，∠CFG=∠ECF，从而可得∠CEF+∠ECF=75°，再根据角平分线的定义可得∠AEC+∠ECD=150°，然后根据（1）的结论即可得．（1）

证明：如图，过点E作EF∥AB于点F，∴∠A=180°−∠AEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠C=180°−∠CEF，∴∠A−∠C=180°−∠AEF−180°−∠CEF（2）解：如图，过点F作FG∥CE于点G，∴∠EFG=180°−∠CEF，∠CFG=∠ECF，∵∠EFC=105°，∴∠EFG−∠CFG=180°−∠CEF−∠ECF=105°，解得∠CEF+∠ECF=75°，∵EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∴∠AEC=2∠CEF,∠ECD=2∠ECF，∴∠AEC+∠ECD=2∠CEF+∠ECF由（1）已得：∠A−∠ECD=∠AEC，∴∠A=∠AEC+∠ECD=150°．【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．27．（浙江省杭州市上城区建兰中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，已知C

为两条相互平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F．(1)当∠FDC+∠ABC=180°时：①判断直线AD与BC的关系，并说明理由．②若∠ABC=130°求∠DFB的度数．(2)当∠C=α时，直接写出∠DFB的度数（用含α的代数式表示）．【答案】(1)①AD∥BC；理由见解析；②∠DFB＝115°(2)∠DFB＝180°−12【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠EDF＝∠DAB，根据角平分线的定义得到∠EDF＝∠ADC，根据平行线的判定定理即可得到结论；②根据角平分线的定义可求∠CBF，再根据平行线的性质可求∠DFB；（2）作CG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCD＝360°−2∠DFB，即可得到结论．（1）解：①AD∥BC，理由如下：∵ED∥AB，∴∠EDF＝∠DAB，∵DA是∠CDE的角平分线，∴∠EDF＝∠ADC，∴∠DAB＝∠ADC，∵∠FDC＋∠ABC＝180°，∴∠DAB＋∠ABC＝180°，∴AD∥BC；②∵BE是∠ABC的角平分线，∠ABC＝130°，∴∠FBC＝65°，

∵AD∥BC，∴∠DFB＝180°−∠FBC＝115°．（2）作CG∥AB，如图所示：∵AB∥DE，∴CG∥AB∥DE，∴∠1＝180°−∠EDC，∠2＝180°−∠ABC，∴∠BCD＝∠1＋∠2＝180°−∠EDC＋180°−∠ABC＝180°−2∠EDA＋180°−2∠ABF＝180°−2∠DAB＋180°−2∠ABF＝360°−2（∠DAB＋∠ABF）＝360°−2∠DFB＝α∴∠DFB＝180°−12α【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的应用，作出辅助线，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键．28．（广东省东莞市光明中学2021—2022学年七年级下学期期中数学试题）阅读下面内容，并解答问题．已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．

(1)求证：EG⊥FG；(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择题．①在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为．②如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为．【答案】(1)见解析(2)①45°；②结论：∠EOF=2∠EPF【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可；（2）①利用基本结论∠EMF=∠BEM+∠MFD求解即可；②利用基本结论∠EOF=∠BEO+∠DFO，∠EPF=∠BEP+∠DFP，求解即可．【详解】（1）证明：如图，过G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GH∥CD，∴∠∴∠BEF+∠DFE=180°，∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，∴∠GEB=12∠BEF∴∠GEB+∠GFD=1

在ΔEFG中，∠GEF+∠GFE+∠G=180°∴∠EGF=∠GEB+∠GFD=90°，∴EG⊥FG；（2）解：①如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG=90°，∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，∴∠BEM+∠MFD=1∴∠EMF=∠BEM+∠MFD=45°，故答案为：45