数学-5.3平行线的性质九大题型（解析版）

5.3平行线的性质平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.注意：

（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．题型1：两直线平行同位角相等1.如图，已知a∥b，∠2＝115°，则∠1的度数为（）A．65° B．125° C．115° D．25°【分析】如图，根据平角的定义，得∠2+∠3＝180°，故∠3＝65°．根据平行线的性质，由a∥b，得∠1＝∠3＝65°．【解答】解：如图，∵∠2+∠3＝180°，∠2＝115°，∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣115°＝65°．

又∵a∥b，∴∠1＝∠3＝65°．故选：A．【变式1-1】如图，∠1＝∠2，∠3＝112°，则∠4等于（）A．62° B．68° C．78° D．112°【分析】首先证明a∥b，可得∠3＝∠5＝112°，再根据邻补角的性质即可解决问题．【解答】解：如图，∵∠1＝∠2，∠2＝∠ABC，∴∠1＝∠ABC，∴a∥b，∴∠3＝∠DEF＝112°，∴∠4＝180°﹣112°＝68°，故选：B．【变式1-2】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1+∠2＝103°，则∠3﹣∠4

的度数为．【分析】光在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，依据平行线的性质进行判断，即可得出图中∠3﹣∠4的度数．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠5＝180°﹣∠2，∵AC∥BD，∴∠3＝∠5，∵AE∥BF，∴∠1＝∠6，∵EF∥AB，∴∠4＝∠6，∴∠3﹣∠4＝180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣（∠1+∠2）＝77°．故答案为：77°．【新题速递】（2022七下·东港期末）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B，AD⊥b于点D，若∠1=57°，则∠2的度数为（）

A．30° B．32° C．33° D．40°【答案】C【解析】【解答】解：∵a∥b，∠1=57°，∴∠ABD=∠1=57°，∵AD⊥b，∴∠ADB=90°，∴∠2=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-57°=33°．故答案为：C．【分析】利用平行线的性质可得∠ABD=∠1=57°，再结合∠ADB=90°，利用角的运算求出∠2=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-57°=33°即可。题型2：两直线平行内错角相等2.如图，∠1＝∠2，∠4＝120°，则∠3等于（）A．30° B．60° C．90° D．120°【分析】根据邻补角的性质求出∠6，证明l1∥l2，根据平行线的性质解答即可．【解答】解：∵∠4＝120°，∴∠6＝180°﹣120°＝60°，∵∠1＝∠2，∠1＝∠5，∴∠5＝∠2，

∴l1∥l2，∴∠3＝∠6＝60°，故选：B．【变式2-1】（2022九上·博白月考）如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线上，两直角边均与直线相交，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：如图：，，，，直线，．故答案为：B．【分析】由平角定义可求得∠3的度数，然后根据平行线的性质可求解.【变式2-2】如图，B是AC边上一点，AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E．

【分析】由平行线的性质得出同位角相等∠A＝∠3，由∠1＝∠2，得出DE∥AC，得出内错角相等∠E＝∠3，即可得出结论．【解答】证明：∵AD∥BE，∴∠A＝∠3，∵∠1＝∠2，∴DE∥AC，∴∠E＝∠3，∴∠A＝∠E．【新题速递】（2022七下·抚远期末）如图，直线，直线，若，则的度数为（）A．50° B．45° C．40° D．30°【答案】C【解析】【解答】解：如图，标注直线a即直线AH，射线BA即射线BK，∵直线，，∴

∵直线，∴∴故答案为：C

【分析】根据平行线的性质可得由垂直的定义可得利用∠2=90°-∠CAH即可求解.题型3：两直线平行同旁内角互补3.（2022七下·崇川期末）如图，弯形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°，要保证管道，则∠BCD等于（）A．60° B．50° C．70° D．65°【答案】A【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°．又∠ABC=120°，∴∠BCD=60°．故答案为：A．【分析】根据二直线平行，同旁内角互补，得出∠ABC+∠BCD=180°，结合∠ABC=120°，即可求出∠BCD的大小.【变式3-1】（2021七下·抚远期末）已知：如图，AD∥BC，∠D＝100°，AC平分∠BCD，求∠DAC的度数．【答案】解：∵AD∥BC，∠D＝100°，∴∠BCD=180°-∠D=80°．

又CA平分∠BCD，∴∠ACB=∠BCD÷2=40°．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=40°．【解析】【分析】先求出∠BCD=80°，再求出∠ACB=40°，最后计算求解即可。【变式3-2】完成下面的证明．已知：如图，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°求证：BF∥DE证明：∠AGF＝∠ABCGF∥（）∠1＝∠3（）∠1+∠2＝180°，+∠3＝180°BF∥DE（）【分析】根据平行线的判定定理和性质定理解答．【解答】解：∵∠AGF＝∠ABC，∴GF∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），∵∠1+∠2＝180°，∴∠2+∠3＝180°，∴BF∥DE（同旁内角互补，两直线平行），故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠2；同旁内角互补，两直线平行．

【新题速递】（2022七下·北海期末）如图，//分别交于点E、F，，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】解：∵AB∥CD，，∴∠3＝180°－∠1＝180°－70°＝110°，∴∠2＝∠3＝110°.故答案为：D.【分析】根据二直线平行，同旁内角互补，得∠1+∠3=180°，结合∠1的度数可得∠3的度数，然后根据对顶角的性质可得∠2的度数.题型4：单拐点问题（猪蹄/铅笔模型）4.（2022·安顺）如图，，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则的大小是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：如图，过等腰直角三角板的一个顶点作直线c∥a，

∵，

∴，

∴∠2=∠3，∠4=∠1=15°，

∴∠3=∠3+∠4-∠4=45°-15°=30°，

∴∠2=∠3=30°，

故答案为：C.

【分析】过等腰直角三角板的一个顶点作直线c∥a，得出，根据平行线的性质得出∠2=∠3，∠4=∠1=15°，然后根据角的和差求出∠3的度数，即可得出结论.【变式4-1】（2022七下·黄山期末）如图所示，，，若，则的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】C【解析】【解答】解：如图，过E作，∵

∴∴∵，∵，∴故答案为：C【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。【变式4-2】如图，直线AB∥EF∥CD．（1）在图①中，试探究：∠BAE，∠AEC，∠ECD之间的关系；（2）当动点E如图②所示时，（1）中的结论还成立吗？如不成立，请你写出它们之间的关系．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；（2）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案．【解答】解：（1）∠AEC＝∠BAE+∠ECD，在图①中，∵AB∥EF∥CD，∴∠AEF＝∠BAE，∠CEF＝∠ECD，∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠ECD；（2））∠AEC+∠EAB+∠ECD＝360°，在图②中，∵AB∥PE∥CD，∴∠BAE+∠AEF＝180°，∠CEF+∠ECD＝180°，∴∠BAE+∠AEF+∠CEF+∠ECD＝360°，∴∠AEC+∠EAB+∠ECD＝360°．【提升应用】（2022八上·乐清开学考）小明完成暑假作业后在家复习，他看到七下课本12页例4：

“如图1﹣13，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2＝90°.判断AB，CD是否平行，并说明理由.”，试着“玩”起数学来：（1）【基础巩固】

条件和结论互换，改成了：“如图1﹣13，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD，则∠1+∠2＝90°.”小明认为这个结论正确.你赞同他的想法吗？请说明理由.（2）【尝试探究】

小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2＝90°”这个结论不成立.请帮小明完成探究：如图1，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2是CP与CD的夹角，①若∠2＝22°，求∠1的度数；②试说明：2∠1﹣∠2＝90°.（3）【拓展提高】

如图2，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD，请直接写出∠1与∠2的等量关系.【答案】（1）解：我赞同他的想法，理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∴∠1＝∠BAC，∠2＝∠ACD，∴∠1+∠2＝90°；（2）解：①∵CP⊥AC，∴∠ACP＝90°，∵∠2＝22°，∠2+∠ACD＝∠ACP，∴∠ACD＝68°，

∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠BAC＝112°，∵AP平分∠BAC，∴∠1＝∠BAC＝56°；②∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∵AP平分∠BAC，∴∠1＝∠BAC，∴2∠1+∠ACD＝180°，∵∠ACD＝90°﹣∠2，∴2∠1+90°﹣∠2＝180°，∴2∠1﹣∠2＝90°；（3）∠1+2∠2＝90°【解析】【解答】解：（3）∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠2，∵AP⊥AC，∴∠CAP＝90°，∴∠BAC＝90°+∠1，∴90°+∠1+2∠2＝180°，∴∠1+2∠2＝90°.故答案为：∠1+2∠2＝90°.

【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BAC+∠ACD＝180°，由角平分线的概念可得∠1＝∠BAC，∠2＝∠ACD，然后将两式相加即可；（2）①根据垂直的概念可得∠ACP＝90°，∠ACD＝∠ACP-∠2＝68°，根据平行线的性质可得

∠BAC+∠ACD＝180°，求出∠BAC的度数，由角平分线的概念可得∠1＝∠BAC，据此计算；

②由平行线的性质可得∠BAC+∠ACD＝180°，根据角平分线的概念可得∠1＝∠BAC，则2∠1+∠ACD＝180°，根据余角的性质可得∠ACD＝90°﹣∠2，代入求解即可；

（3）根据平行线的性质可得∠BAC+∠ACD＝180°，根据角平分线的概念可得∠ACD＝2∠2，易得∠BAC＝90°+∠1，代入求解即可.题型5：多拐点问题（探究性）5.如图，已知m∥n，试判断∠1，∠2，∠3，∠4会满足怎样的关系，并说明理由．【分析】过P，Q做m的平行线，由两直线平行内错角相等，可以找出∠1，∠2，∠3，∠4之间的关系．【解答】解：过P，Q分别做m的平行线，如图由都平行可得出（两直线平行内错角相等），则∠1+∠3＝∠2+∠4．【变式5-1】如图，已知直线AB∥CD，试确定∠A，∠F，∠C与∠E，∠G之间的数量关系并说明理由．【分析】作HE∥AB，FI∥AB，JG∥AB，首先证明∴AB∥HE∥FI∥JG∥CD

，然后利用平行线的性质进行证明即可．【解答】解：作HE∥AB，FI∥AB，JG∥AB，∵HE∥AB，FI∥AB，JG∥AB，AB∥CD，∴AB∥HE∥FI∥JG∥CD．∴∠A＝∠AEH，∠HEF＝∠EFI，∠IFG＝∠FGJ，∠JGC＝∠C．∴∠E+∠G＝∠A+∠F+∠C．【变式5-2】（1）如图（a），已知AB∥CD，∠B＝120°，∠C＝25°．①求α的度数；②若∠B＝m°，∠C＝n°，请直接写出α与m，n之间的关系式；（2）如图（b），已知AB∥EF，∠BCD＝90°，试探究α、β、θ之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）延长BE交CD于F，根据平行线的性质和数据线的外角的性质即可解答；（2）作CG∥AB，DH∥AB，根据两直线平行，内错角相等计算即可．【解答】解：如图a，（1）①延长BE交CD于F，∵AB∥CD，∠B＝120°，∴∠EFC＝180°﹣∠B＝60°，∵∠C＝25°，∴α＝∠EFC+∠C＝85°；②同理，∠EFC＝180°﹣∠B＝180°﹣m，α＝∠EFC+∠C＝180°﹣m+n；（2）α+β﹣θ＝90°，

证明：如图b，作CG∥AB，DH∥AB，∵AB∥EF，∴DH∥EF，CG∥DH，∴∠BCG＝∠ABC，∠HDE＝∠DEF，∠GCD＝∠CDH，∴∠BCD＝∠ABC+∠CDH，即90°＝α+β﹣θ．两条平行线的距离定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．注意：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2)两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．题型6：平行线间的距离及应用6.如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则()A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不确定【答案】B【解析】因为l1∥l2，所以C、D两点到l2的距离相等．同时△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它们的面积相等．【变式6-1】如图已知直线，三个图形的顶点均在直线，

上，三个图形面积最大的结论正确的是（

）A．①最大 B．②最大 C．③最大 D．不确定【分析】设m、n之间的距离为h，然后分别表示出三个图形的面积即可得到答案．【详解】解：设m、n之间的距离为h，∴图①的面积为，图②的面积为，图③的面积为，∴图③的面积最大，故选C．【点睛】本题主要考查了平行线间距的应用，熟知正确表示出三个图形的面积是解题的关键．【变式6-2】如图，P是直线m上一动点，A、B是直线n上的两个定点，且直线m∥n；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②△PAB的周长；③△PAB的面积；④∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）①②B.①③C.②④D.③④【解答】解：∵直线m∥n,

∴点P到直线n的距离；故①错误；

∵PA、PB的长度随点P的移动而变化，

∴△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；

∵点P到直线n的距离不变，AB的大小不变，

∴△PAB的面积不变，故③错误；

直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，∠APB的大小随点P的移动而变化，

故④正确；

综上所述，会随点P的移动而变化的是②④．

故选：C．【点评】本题考查了等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关键．7.平行线的性质与折叠问题7.（2021七下·海曙期末）将长方形ABCD纸片沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED'=80°，则∠EAB的大小是()A．60° B．50° C．75° D．55°【答案】B【解析】【解答】解：∵∠CED''=80°，

∴∠DED'=100°，

∵AE为折痕，

∴∠DEA=∠EAD'=50°，

又∵CD∥AB，

∴∠DEA=∠EAB=50°，

故答案为：B.

【分析】先根据补角的性质得到∠DED'=100°，再由折叠的性质得到∠DEA=∠EAD'=50°，最后根据平行的性质即可求解.【变式7-1】如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1=35°，则∠2的度数为（）

A．20° B．30° C．35° D．55°【答案】A【解析】【解答】解：∵∠1=35°，CD∥AB，∴∠ABD=35°，∠DBC=55°，由折叠可得∠DBC'=∠DBC=55°，∴∠2=∠DBC'﹣∠DBA=55°﹣35°=20°，故选：A．【分析】根据矩形的性质，可得∠ABD=35°，∠DBC=55°，根据折叠可得∠DBC'=∠DBC=55°，最后根据∠2=∠DBC'﹣∠DBA进行计算即可．【变式7-2】如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，C点落在C′处，D点落在D′处，ED′交BC于点G．已知∠EFG=50°，试求∠DEG与∠BGD′的度数．【答案】解：∵四边形ED′C′F由四边形EDCF折叠而成，∴∠DEG=2∠DEF=2∠D′EF．∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠EFG=50°，∴∠GEF=∠DEF=50°，∴∠DEG=∠GEF+∠DEF=100°．在△GEF中，∵∠GEF=50°，∠GFE=50°∴∠EGF=180°﹣∠GEF﹣∠GFE=80°∴∠BGD′=∠EGF=80°．【解析】【分析】先根据图形折叠的性质得出∠DEG=2∠DEF=2∠D′EF，再由平行线的性质求出∠DEG的度数；根据三角形内角和定理求出∠EGF的度数，进而可得出结论．

题型8：平行线的判定与性质的综合应用8.（2023八上·渠县期末）已知，如图，在△ABC中，AH平分∠BAC交BC于点H，D、E分别在CA、BA的延长线上，DB∥AH，∠D＝∠E.（1）求证：DB∥EC；（2）若∠ABD＝2∠ABC，∠DAB比∠AHC大5°.求∠D的度数.【答案】（1）证明：∵DBAH，∴∠D＝∠CAH，∵AH平分∠BAC，∴∠BAH＝∠CAH，∵∠D＝∠E，∴∠BAH＝∠E，∴AHEC，∴DBEC；（2）解：设∠ABC＝x，则∠ABD＝2x，∠BAH＝2x，∠DAB＝180°−4x，∠DAB比∠AHC大5°∠AHC＝175°−4x，DBAH，即：175°−4x＝3x，解得x＝25°，则∠D＝∠CAH＝∠BAH＝∠ABD＝2x＝50°.

【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等可得∠D＝∠CAH，根据角平分线的定义可得∠BAH＝∠CAH，再根据已知条件和等量关系可得∠BAH＝∠E，从而根据同位角相等，两直线平行，即可求解；

（2）设∠ABC＝x，则∠ABD＝2x，则∠BAH＝2x，可得∠DAB＝180°−4x，可得∠AHC＝175°−4x，根据二直线平行，同位角相等得∠AHC=∠DBC，据此建立方程，解方程求得x，进一步求得∠D的度数．【变式8-1】（2023八上·榆林期末）如图，在中，点，分别在，上，点，在上，连接，，.，.（1）求证：；（2）若，，求的度数.【答案】（1）证明：∵，，∴.∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，，∵∴.∵，

∴【解析】【分析】（1）利用对顶角相等，可证得∠1+∠4=180°，利用平行线的判定定理可证得AB∥EF，利用平行线的性质可推出∠B=∠EFC，由此可推出∠3=∠EFC，利用内错角相等，两直线平行，可证得结论.

（2）利用两直线平行，同旁内角互补，内错角相等，可求出∠AED的度数，从而可求出∠3、∠DEC的度数；然后根据∠CEF=∠DEC-∠3，代入计算求出∠CEF的度数.【变式8-2】如图，已知∠α和∠β的度数满足方程组，且CD∥EF，AC⊥AE．（1）分别求∠α和∠β的度数；（2）求∠C的度数．【分析】（1）用方程①减去方程②，求出∠α的度数，再把∠α的度数代入其中一个方程，即可求出∠β的度数．（2）证AB∥CD，利用平行线的性质即可解决问题．【解答】解：（1）解方程组，①﹣②得：3∠α＝150°，解得∠α＝50°，把∠α＝50°代入②得：∠β﹣50°＝80°，解得∠β＝130°；（2）∵∠α+∠β＝50°+130°＝180°，∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行），又∵CD∥EF，∴AB∥CD，∴∠C+∠CAB＝180°，∵AC⊥AE，∴∠CAE＝90°，

∴∠C＝180°﹣90°﹣50°＝40°．【变式8-3】（2022八上·黄冈开学考）如图，AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，E，F在CD上，且满足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．（1）直线AD与BC有何位置关系？请说明理由；（2）求∠DBE的度数；（3）若平行移动AD，在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使∠BEC＝∠ADB？若存在，求∠ADB的度数；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：AD∥BC，理由如下：∵AB∥CD，∴∠A+∠ABC=180°，∵∠A＝∠C＝100°，∴∠C+∠ABC=180°，∴AD∥BC；（2）解：∵∠A＝∠C＝100°，∠C+∠ABC=180°，∴∠ABC=180°-∠C=80°，∵∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF，∴∠DBF=∠ABF，∠EBF=∠CBF，∴∠DBE=∠DBF+∠EBF=(∠ABF+∠CBF)=∠ABC=40°；（3）解：存在，当∠BEC=∠ADB时，由∠BEC=∠ABE，∠ADB=∠CBD得∠ABE=∠CBD，即∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，∴∠ABD=∠CBE，又∵∠ABD+∠CBE=∠ABF+∠CBF=∠ABC=40°，∴∠ABD=∠CBE=20°，

∴∠BEC=180°-∠C-∠CBE=180°-100°-20°=60°，∴∠ADB=60°．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A+∠ABC=180°，从而得出∠C+∠ABC=180°，再根据平行线的判定定理即可得出AD∥BC；

（2）先求出∠ABC=80°，根据角平分线的定义得出∠DBF=∠ABF，∠EBF=∠CBF，从而得出∠DBE=∠DBF+∠EBF=∠ABC=40°，即可得出答案；

（3）先求出∠ABD=∠CBE=20°，从而求出∠BEC=180°-∠C-∠CBE=60°，即可得出∠ADB=60°．

题型9：命题与定理9.下命题中：①若两条直线相交所形成的四个角中有三个角相等，则这两条直线互相垂直；②若AC＝BC，则C是线段AB的中点；③在同一平面内，不相交的两条线段必平行；④两点确定一条直线．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①根据对顶角及互补角的概念判断即可；②根据中点的定义判断即可；③根据平行线的判定方法判断即可；④根据两点确定一条直线公理判断即可．【解答】解：①两条直线相交成四个角，则这四个角中有2对对顶角．如果三个角相等，则这四个角相等，都是直角，所以这两条直线垂直．故正确；②若AC＝BC且三点在同一条直线上，则C是线段AB的中点，故原说法不正确；③在同一平面内，不相交的两条线段所在的直线必平行，故原说法不正确；④两点确定一条直线，正确．说法正确的有2个，故选：B．【变式9-1】（2022八上·成武期中）命题：①对顶角相等；②

经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中假命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】【解答】解：由对顶角的性质可直接判断①是正确的，是真命题；经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故②符合题意，是真命题；由反例“角平分线分成的两个角相等”，但它们不是对顶角，故③不符合题意，是假命题；由“两直线平行，同位角相等”，前提是两直线平行，故④不符合题意，是假命题．故答案为：B．

【分析】根据假命题的定义逐项判断即可。【变式9-2】（2022七上·无棣期中）下列说法正确的是（）①0是绝对值最小的有理数；②相反数大于本身的数是负数；③一个有理数不是正数就是负数；④两个数比较，绝对值大的反而小A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④【答案】A【解析】【解答】解：绝对值最小的数是0，故①符合题意．负数的相反数为正数，都大于其本身，故②符合题意．有理数包括0，故③不符合题意．例如2与-1，2的绝对值大，并且数值也大，故④不符合题意．故答案为：A

【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。【变式9-3】（2022七上·海东期中）下列说法正确的是（）①零是整数；②零是有理数；③零是自然数；④零是正数；⑤零是负数；⑥零是非负数．A．①②④⑤ B．②③⑤⑥ C．①②③⑥ D．②③④⑤【答案】C【解析】【解答】解：①零是整数，符合题意；②零是有理数，符合题意；③零是自然数，符合题意；

④零不是正数，故原说法不符合题意；⑤零不是负数，故原说法不符合题意；⑥零是非负数，符合题意；所以正确的有①②③⑥．故答案为：C【分析】根据有理数的定义及分类求解即可。一、单选题1．（2022·龙江模拟）将一副三角板如图所示的位置放在直尺上，则∠1的度数是（）A．115° B．105° C．110° D．95°【答案】B【解析】【解答】解：如图，由题意得：∠BAC＝45°，∠CAD＝30°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝75°，∴∠DAF＝180°－∠BAD＝105°，∵EG//BF，∴∠1＝∠DAF＝105°．故答案为：B．

【分析】先求出∠BAD的度数，再利用邻补角的性质求出∠DAF的度数，最后利用平行线的性质可得

∠1＝∠DAF＝105°。2．（2021七下·肥城期中）下列说法不正确的是（）A．平面内两条不相交的直线叫做平行线B．一条直线的平行线有且只有一条C．过直线外一点能画一条直线与已知直线平行D．同一平面内，过直线外一点能画一条直线与已知直线垂直【答案】B【解析】【解答】解：A、平面内两条不相交的直线叫做平行线，此选项不符合题意；B、一条直线的平行线无数条，此选项符合题意；C、过直线外一点能画一条直线与已知直线平行，此选项不符合题意；D、过直线外一点能画一条直线与已知直线垂直，此选项不符合题意；故答案为：B．

【分析】根据平行线的定义、平面内两直线的位置关系逐项判断即可。3．（2021八下·崇明期末）下列四个命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线相等的菱形是正方形【答案】D【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、对角线相等的菱形是正方形，正确，是真命题，符合题意；故答案为：D．

【分析】根据矩形、菱形和正方形的判定方法逐项判定即可。4．（2022·河池模拟）如图，，是截线，，则的度数是（）

A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠1=70°，∴∠1=∠CEB=70°.∴∠2=180°－∠CEB=180°－70°=110°.故答案为：C.【分析】由二直线平行，同位角相等，可得∠1=∠CEB=70°，根据邻补角的定义可得∠2=180°－∠CEB，继而得解.5．（2021·芜湖模拟）在数学课上，小明同学在练习本上相互平行的横格线上先画了直线，度量出，接着他准备在点处画直线，若要使，则的度数为（）A．65° B．75° C．85° D．105°【答案】B【解析】【解答】解：如图，由题意得：，，要使，则，，，，

故答案为：B．【分析】先求出，再求出∠3=75°，最后求解即可。6．（2021八上·岳阳期末）下列命题是真命题的是（）A．互补的角是邻补角 B．同位角相等C．对顶角相等 D．同旁内角互补【答案】C【解析】【解答】解：、互补的角不一定是邻补角，原命题是假命题，不符合题意；、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意；、对顶角相等，是真命题，符合题意；、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意；故答案为：C.【分析】互补的角可能为邻补角，还可能为平行线所截的同旁内角，据此判断A；根据平行线的性质可判断B、D；根据对顶角的性质可判断C.7．（2021七下·武昌期中）如图，AB∥CD，∠1＝105°，则∠2的度数是（）A．105° B．85° C．75° D．65°【答案】C【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°，∵∠1＝105°，∴∠2＝180°﹣105°＝75°.故答案为：C.【分析】利用平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可求出∠2的度数.二、填空题8．（2022七下·淮安月考）如图，已知直线，∠1=100°，则∠2的度数为.

【答案】80°【解析】【解答】解：如图：∵∠1=100°，∴∠1的邻补角：∠3=180°﹣100°=80°（邻补角互补），∵，∴∠2=∠3=80°（两直线平行，同位角相等）.∴∠2的度数为80°.故答案为：.【分析】根据邻补角的定义可求出∠3=180°﹣∠1，再根据二直线平行，同位角相等可得∠2=∠3，据此即可得出答案.9．（2021八上·玉田期中）命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是命题．(填“真”或“假”)【答案】假【解析】【解答】解：“全等三角形的对应角相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，因而逆命题是：对应角相等的三角形全等．是一个假命题．故答案为：假．【分析】先将命题的逆命题写出，再根据真命题的定义判断即可。10．（2022七下·吴江期末）如图，若ABCDEF，则∠x，∠y，∠z三者之间的数量关系是.

【答案】∠x+∠z＝∠y【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠x+∠z+∠CEF＝180°，∠y+∠CEF＝180°，∴∠CEF＝180°﹣（∠x+∠z），∠CEF＝180°﹣∠y，∴∠x+∠z＝∠y.故答案为：∠x+∠z＝∠y.【分析】由平行线的性质“两直线平行同旁内角互补”可求解.11．（2021七下·牡丹江期中）如图，AB//CD，∠CDE=119º，GF交∠DEB的平分线EF于F，∠AGF=130º，则∠F=．【答案】9.5º或9º30´.【解析】【解答】已知AB//CD，∠CDE=119º，根据平行线的性质可得∠CDE=∠DEB=119º，∠AED=180º—119º=61º；由EF平分∠DEB可得∠DEF=∠DEB=59.5º，所以∠GEF=∠DEF+∠AED=59.5º+61º=120.5º.再由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠F=∠AGF-∠GEF=130º-120.5º=9.5º（或9º30´）.

【分析】两直线平行，同位角相等。两直线平行，同旁内角互补。对顶角相等。三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

解题关键：熟练掌握利用平行线的性质和三角形的外角的性质进行简单的推理。三、解答题

12．（2021·武汉模拟）如图，B，E分别是AC，DF上的点，AE∥