《现代控制系统理论》第3版课后习题问题详解

wordwordword《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：令，如此所以，系统的状态空间表达式与输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。解：由图，令，输出量有电路原理可知：既得写成矢量矩阵形式为：1-4两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。解：系统的状态空间表达式如下所示：1-5系统的动态特性由如下微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解：令，如此有相应的模拟结构图如下：1-6〔2〕系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：1-7给定如下状态空间表达式‘画出其模拟结构图求系统的传递函数解：〔2〕1-8求如下矩阵的特征矢量〔3〕解：A的特征方程解之得：当时，解得：令得〔或令，得〕当时，解得：令得〔或令，得〕当时，解得：令得1-9将如下状态空间表达式化成约旦标准型〔并联分解〕〔2〕解：A的特征方程当时，解之得令得当时，解之得令得当时，解之得令得约旦标准型1-10两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：〔1〕串联联结〔2〕并联联结1-11〔第3版教材〕如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11〔第2版教材〕如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-12差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为〔1〕解法1：解法2：求T,使得得所以所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数。〔2〕A=解：第一种方法：令如此，即。求解得到，当时，特征矢量由，得即，可令当时，特征矢量由，得即，可令如此，第二种方法，即拉氏反变换法：第三种方法，即凯莱—哈密顿定理由第一种方法可知，2-5如下矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。〔3〕〔4〕解：〔3〕因为，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件〔4〕因为，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件2-6求如下状态空间表达式的解：初始状态，输入时单位阶跃函数。解：因为，2-9有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s和1s，而和为分段常数。图2.2系统结构图解：将此图化成模拟结构图列出状态方程如此离散时间状态空间表达式为由和得：当T=1时当T=0.1时第三章习题3-1判断如下系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，假如有关，其取值条件如何？〔1〕系统如图3.16所示：解：由图可得：状态空间表达式为：由于、、与无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于只与有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。〔3〕系统如下式：解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有。要使系统能观，如此C中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有。3-2时不变系统试用两种方法判别其能控性和能观性。解：方法一：方法二：将系统化为约旦标准形。，中有全为零的行，系统不可控。中没有全为0的列，系统可观。3-3确定使如下系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数解：构造能控阵：要使系统完全能控，如此，即构造能观阵：要使系统完全能观，如此，即3-4设系统的传递函数是 〔1〕当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？〔2〕当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。〔3〕当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。解：(1)方法1：系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。方法2：系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。〔2〕当a=1,a=3或a=6时，系统可化为能控标准I型〔3〕根据对偶原理，当a=1,a=2或a=4时，系统的能观标准II型为3-6系统的微分方程为：试写出其对偶系统的状态空间表达式与其传递函数。解：系统的状态空间表达式为传递函数为其对偶系统的状态空间表达式为：传递函数为3-9系统的传递函数为试求其能控标准型和能观标准型。解：系统的能控标准I型为能观标准II型为3-10给定如下状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。解：3-11试将如下系统按能控性进展分解〔1〕解：rankM=2<3，系统不是完全能控的。构造奇异变换阵：，其中是任意的，只要满足满秩。即得3-12试将如下系统按能观性进展结构分解〔1〕解：由得如此有rankN=2<3，该系统不能观构造非奇异变换矩阵，有如此3-13试将如下系统按能控性和能观性进展结构分解〔1〕解：由得rankM=3，如此系统能控rankN=3，如此系统能观所以此系统为能控并且能观系统取，如此如此，，3-14求如下传递函数阵的最小实现。〔1〕解：，，，，系统能控不能观取，如此所以，，所以最小实现为，，，验证：3-15设和是两个能控且能观的系统〔1〕试分析由和所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数；〔2〕试分析由和所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。解：〔1〕和串联当的输出是的输入时，，如此rankM=2<3，所以系统不完全能控。当得输出是的输入时，因为rankM=3如此系统能控因为rankN=2<3如此系统不能观〔2〕和并联，因为rankM=3，所以系统完全能控因为rankN=3，所以系统完全能观现代控制理论第四章习题答案4-1判断如下二次型函数的符号性质：〔1〕〔2〕解：〔1〕由得，，因此是负定的〔2〕由得，，因此不是正定的4-2二阶系统的状态方程：试确定系统在平衡状态处大围渐进稳定的条件。解：方法〔1〕：要使系统在平衡状态处大围渐进稳定，如此要求满足A的特征值均具有负实部。即：有解，且解具有负实部。即：方法〔2〕：系统的原点平衡状态为大围渐近稳定，等价于。取，令，如此带入，得到假如，如此此方程组有唯一解。即其中要求正定，如此要求因此，且4-3试用lyapunov第二法确定如下系统原点的稳定性。〔1〕〔2〕解：〔1〕系统唯一的平衡状态是。选取Lyapunov函数为，如此是负定的。，有。即系统在原点处大围渐近稳定。〔2〕系统唯一的平衡状态是。选取Lyapunov函数为，如此是负定的。，有。即系统在原点处大围渐近稳定。4-6设非线性系统状态方程为：试确定平衡状态的稳定性。解：假如采用克拉索夫斯基法，如此依题意有：取很明显，的符号无法确定，故改用雅普诺夫第二法。选取Lyapunov函数为，如此是负定的。，有。即系统在原点处大围渐近稳定。4-9设非线性方程：试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。解：〔1〕采用克拉索夫斯基法，依题意有：，有。取如此，根据希尔维斯特判据，有：，的符号无法判断。〔2〕雅普诺夫方法：选取Lyapunov函数为，如此是负定的。，有。即系统在原点处大围渐近稳定。4-12试用变量梯度法构造如下系统的雅普诺夫函数解：假设的梯度为：计算的导数为：选择参数，试选，于是得：，显然满足旋度方程，明确上述选择的参数是允许的。如此有：如果，如此是负定的，因此，是的约束条件。计算得到为：是正定的，因此在围，是渐进稳定的。现代控制理论第五章习题答案5-1系统状态方程为：试设计一状态反应阵使闭环系统极点配置为-1，-2，-3。解：依题意有：，系统能控。系统的特征多项式为：如此将系统写成能控标准I型，如此有。引入状态反应后，系统的状态方程为：，其中矩阵，设，如此系统的特征多项式为：根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：比拟各对应项系数，可解得：如此有：。5-3有系统：画出模拟结构图。假如动态性能不满足要求，可否任意配置极点？假如指定极点为-3，-3，求状态反应阵。解〔1〕系统模拟结构图如下：〔2〕系统采用状态反应任意配置极点的充要条件是系统完全能控。对于系统有：，系统能控，故假如系统动态性能不满足要求，可任意配置极点。〔3〕系统的特征多项式为：如此将系统写成能控标准I型，如此有。引入状态反应后，系统的状态方程为：，设，如此系统的特征多项式为：根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：比拟各对应项系数，可解得：。5-4设系统传递函数为试问能否利用状态反应将传递函数变成假如有可能，试求出状态反应，并画出系统结构图。解：由于传递函数无零极点对消，因此系统为能控且能观。能控标准I型为令为状态反应阵，如此闭环系统的特征多项式为由于状态反应不改变系统的零点，根据题意，配置极点应为-2，-2，-3，得期望特征多项式为比拟与的对应项系数，可得即系统结构图如下：5-5使判断如下系统通过状态反应能否镇定。〔1〕解：系统的能控阵为：，系统能控。由定理，采用状态反应对系统任意配置极点的充要条件是完全能控。又由于，系统能控，可以采用状态反应将系统的极点配置在根平面的左侧，使闭环系统镇定。5-7设计一个前馈补偿器，使系统解耦，且解耦后的极点为。解：5-10系统：试设计一个状态观测器，使观测器的极点为-r，-2r(r>0)。解：因为满秩，系统能观，可构造观测器。系统特征多项式为，所以有于是引入反应阵，使得观测器特征多项式：根据期望极点得期望特征式：比拟与各项系数得：即，反变换到x状态下观测器方程为：仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notformercialuse.NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZwe