2024步步高考二轮数学新教材讲义专题二　第1讲　三角函数的图象与性质

2024步步高考二轮数学新教材讲义第1讲三角函数的图象与性质[考情分析]1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下．考点一三角函数的运算核心提炼1．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2．诱导公式：在eq\f(kπ,2)＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1(1)(2023·南宁模拟)在平面直角坐标系中，角α与β的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，它们的终边关于原点对称，且sinα＝eq\f(1,3)，则sin(α＋β)＝________.(2)(2023·巴中模拟)勾股定理，在我国又称为“商高定理”，最早的证明是由东汉末期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，他利用了勾股圆方图，此图被称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成的大正方形图案(如图所示)，若小正方形与大正方形的面积之比为eq\f(9,17)，则“赵爽弦图”里的直角三角形中最小角的正弦值为()A.eq\f(2,17) B.eq\f(\r(34),34)C.eq\f(4,17) D.eq\f(\r(17),17)二级结论(1)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sinα<α<tanα.(2)由(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα知，sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三者知一可求二．跟踪演练1(1)(2023·鹰潭模拟)设sin23°＝m，则tan67°等于()A．－eq\f(m,\r(1－m2)) B.eq\f(m,\r(1－m2))C.eq\r(\f(1,m2)－m) D.eq\r(\f(1,m2)－1)(2)已知2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))＝cos(α－π)，则sin2α＋cos2α＝________.考点二三角函数的图象核心提炼由函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的步骤例2(1)(2023·海东模拟)为了得到函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的图象，只需将函数g(x)＝cos2x的图象()A．向左平移eq\f(3π,8)个单位长度B．向右平移eq\f(3π,8)个单位长度C．向左平移eq\f(π,8)个单位长度D．向右平移eq\f(π,8)个单位长度(2)(多选)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)等于()A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))) B．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))C．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) D．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2x))规律方法由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝eq\f(M＋m,2)，A＝eq\f(M－m,2).(2)T定ω：由周期的求解公式T＝eq\f(2π,ω)，可得ω＝eq\f(2π,T).(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势．跟踪演练2(1)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移eq\f(π,3)个单位长度，得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的图象，则f(x)等于()A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(7π,12))) B．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,12)))C．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(7π,12))) D．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,12)))(2)(2023·鞍山模拟)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数g(x)的图象，则geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D．1考点三三角函数的性质核心提炼函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质(1)单调性：由－eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间，由eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间．(2)对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)可得对称轴．(3)奇偶性：当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；当φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．例3(1)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))单调递增，直线x＝eq\f(π,6)和x＝eq\f(2π,3)为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)))等于()A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)(2)(多选)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝3sin(2x＋φ)的初相为eq\f(π,6)，则下列结论正确的是()A．函数f(x)的图象关于直线x＝－eq\f(π,3)对称B．函数f(x)的一个单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)，－\f(π,3)))C．若把函数f(x)的图象向右平移eq\f(π,12)个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)为偶函数D．函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))规律方法研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正弦函数y＝sinx的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y＝sinx的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sint的性质判断各选项．跟踪演练3(1)(2023·广州模拟)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，0<φ<π，若f(x)≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))))恒成立，则f(x)的单调递增区间为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(2π,3)，kπ－\f(π,6)))(k∈Z)(2)已知函数f(x)＝a－eq\r(3)tan2x在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，b))上的最大值为7，最小值为3，则ab的值为()A.eq\f(5π,12)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,12)第2讲三角恒等变换与解三角形[考情分析]1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度．考点一三角恒等变换核心提炼1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).例1(1)(2023·南宁模拟)已知α∈(0，π)，且3cos2α－4cosα＋1＝0，则sin2α等于()A．－eq\f(4\r(5),9)B．－eq\f(4\r(2),9)C．－eq\f(2\r(5),9)D．－eq\f(2\r(2),9)(2)(2023·新高考全国Ⅰ)已知sin(α－β)＝eq\f(1,3)，cosαsinβ＝eq\f(1,6)，则cos(2α＋2β)等于()A.eq\f(7,9)B.eq\f(1,9)C．－eq\f(1,9)D．－eq\f(7,9)规律方法三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．(4)弦、切互化：一般是切化弦．跟踪演练1(1)(2023·济宁模拟)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))等于()A．－eq\f(2,3)B.eq\f(2,3)C．－eq\f(1,3)D.eq\f(1,3)(2)已知函数f(x)＝sinx－2cosx，若当x＝θ时，f(x)取得最大值，则cosθ＝________.考点二正弦定理、余弦定理及综合应用核心提炼1．正弦定理：在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).3．三角形的面积公式：S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.考向1正弦定理、余弦定理例2(1)(2023·红河模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为eq\f(1,2)b(bsinB－asinA－csinC)，则B等于()A.eq\f(π,6)B.eq\f(5π,6)C.eq\f(π,3)D.eq\f(2π,3)(2)(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝eq\r(6)，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________.考向2解三角形中的最值与范围问题例3(2023·大连模拟)从下列条件中选择一个条件补充到题目中：①S＝eq\f(\r(3),4)(b2＋c2－a2)，其中S为△ABC的面积；②eq\f(a＋b,sinC)＝eq\f(c－b,sinA－sinB)；③eq\r(3)sinC＋cosC＝eq\f(c＋b,a).在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，________.(1)求角A；(2)若D为边AB的中点，CD＝2eq\r(3)，求b＋c的最大值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________规律方法解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值范围．(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围．跟踪演练2(1)(2023·宝鸡模拟)在△ABC中，AB＝5，AC＝7，D为BC的中点，AD＝5，则BC等于()A．2eq\r(3)B．4eq\r(3)C．2eq\r(2)D．4eq\r(2)(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cosAsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))＝cosC.①求角A的大小；②若a＝2，求△ABC的周长的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点三解三角形的实际应用核心提炼解三角形应用题的常考类型(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．例4(1)(2023·洛阳模拟)某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度．步骤如下：①将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；②将镜子后移，重复①中的操作；③求建筑物高度．如图所示，前后两次人与镜子的距离分别为a1m，a2m(a2>a1)，两次观测时镜子间的距离为am，人的“眼高”为hm，则建筑物的高度为()A.eq\f(ah,a2－a1)m B.eq\f(aa2－a1,h)mC.eq\f(a2－a1h,a)m D.eq\f(ah2,a2－a1)m(2)(2023·济南模拟)山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新．如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°(A，B，C，D在同一铅垂面内)，则A，B两点之间的距离为________米．规律方法解三角形实际问题的步骤跟踪演练3(1)(2023·湖州、衢州、丽水质检)喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝45°，∠BDC＝105°，CD＝100米，在点C处测得酒店顶端A的仰角∠ACB＝28°，则酒店的高度约是()(参考数据：eq\r(2)≈1.4，eq\r(6)≈2.4，tan28°≈0.53)A．91米B．101米C．111米D．121米(2)(2023·广州模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝35m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为________m.规范答题2三角函数与解三角形(10分)(2023·新高考全国Ⅰ)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.(1)求sinA；[切入点：由A，B，C关系求角C及代换sinB](2)设AB＝5，求AB边上的高．[关键点：由A，B，C关系求sinB]解(1)eq\x(∵A＋B＝3C，∴π－C＝3C，即C＝\f(π,4)，)❶(1分)又2sin(A－C)＝eq\x(sinB＝sinA＋C，)❷(2分)eq\x(\a\vs4\al\co1(∴2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，,∴sinAcosC＝3cosAsinC，∴sinA＝3cosA，))❸

即tanA＝3，(4分)

∴0<A<eq\f(π,2)，❹(5分)

∴sinA＝eq\f(3,\r(10))＝eq\f(3\r(10),10).(2)由(1)知，cosA＝eq\f(1,\r(10))＝eq\f(\r(10),10)，由sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(10),10)＋\f(\r(10),10)))＝eq\f(2\r(5),5)，❺(7分)由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，可得AC＝eq\f(5×\f(2\r(5),5),\f(\r(2),2))＝2eq\r(10)，❻(8分)∴eq\f(1,2)AB·h＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA，❼∴h＝AC·sinA＝2eq\r(10)×eq\f(3\r(10),10)＝6.(10分)①处由A，B，C关系求角C②处由B与A，C关系代换sinB③处两角和差公式化简④处由正切求正弦⑤处由B与A，C关系求sinB⑥处正弦定理求AC⑦处等面积法求高第1讲函数的图象与性质例1(1)A(2)C跟踪演练1(1)C(2)AB例2(1)A(2)AB[函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－4x，x≤0，,|log2x|，x>0))的图象如图所示，设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，则0<t<4，则直线y＝t与函数y＝f(x)的图象的4个交点横坐标分别为x1，x2，x3，x4，对于A，函数y＝－x2－4x的图象关于直线x＝－2对称，则x1＋x2＝－4，故A正确；对于B，由图象可知|log2x3|＝|log2x4|，且0<x3<1<x4，所以－log2x3＝log2x4，即log2(x3x4)＝0，所以x3x4＝1，故B正确；当x≤0时，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4≤4，由图象可知log2x4∈(0,4)，则1<x4<16，故C错误；由图象可知－4<x1<－2，所以x1x2x3x4＝x1(－4－x1)＝－xeq\o\al(2,1)－4x1＝－(x1＋2)2＋4∈(0,4)，故D错误．]跟踪演练2(1)A(2)D例3D[因为f(x)为奇函数且在R上是减函数，所以f(－x)＝－f(x)，且当x>0时，f(x)<0.因为g(x)＝xf(x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，故g(x)为偶函数．当x>0时，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，因为f(x)<0，f′(x)<0，所以g′(x)<0.即g(x)在(0，＋∞)上单调递减．a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，因为3＝log28>log25.1>log24＝2>20.8，所以g(3)<g(log25.1)<g(20.8)，即b<a<c.]例4BC[对于A选项，因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)．由f(x)＋g(2－x)＝1，可得f(－x)＋g(2＋x)＝1，可得g(2＋x)＝g(2－x)，所以函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，A错误；对于B选项，因为g(x)－f(x－4)＝3，则g(2－x)－f(－2－x)＝3，又因为f(x)＋g(2－x)＝1，可得f(x)＋f(－2－x)＝－2，所以函数f(x)的图象关于点(－1，－1)对称，B正确；对于C选项，因为函数f(x)为偶函数，且f(x)＋f(－2－x)＝－2，则f(x)＋f(x＋2)＝－2，从而f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，则f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，C正确；对于D选项，因为g(x)－f(x－4)＝3，且f(x)＝f(x－4)，所以g(x)－f(x)＝3，又因为f(x)＋g(2－x)＝1，所以g(x)＋g(2－x)＝4，又因为g(2－x)＝g(2＋x)，则g(x)＋g(x＋2)＝4，所以g(x＋2)＋g(x＋4)＝4，故g(x＋4)＝g(x)，因此函数g(x)是周期为4的周期函数，D错误．]跟踪演练3(1)D(2)ABD[∵g(x)为偶函数，∴g(－x)＝g(x)，∴－g′(－x)＝g′(x)，即g′(x)为奇函数，故A正确；又f(x)＋g′(x)＝2，f(x)－g′(4－x)＝2，令x＝2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2＋g′2＝2，,f2－g′2＝2，))解得f(2)＝2，g′(2)＝0，故B正确，C错误；∵f(x)－g′(4－x)＝2，∴f(x＋4)－g′(－x)＝2，又g′(x)为奇函数，则f(x＋4)＋g′(x)＝2，又f(x)＋g′(x)＝2，∴f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2022)＝f(2)＝2，故D正确．]第2讲基本初等函数、函数与方程例1(1)B(2)D跟踪演练1(1)ABC(2)[1，＋∞)解析由10x－6x－3x≥1，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))x≤1.令f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))x，因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))x，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))x均在R上是减函数，则f(x)在R上是减函数，且f(1)＝1，所以f(x)≤f(1)，即x≥1.故不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞)．例2C[因为y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))向左平移