福建省福州市九师教学联盟2023-2024学年高一上学期1月联考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1福建省福州市九师教学联盟2023-2024学年高一上学期1月联考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的.）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗根据集合的并集运算，得.故选：C.2.下列命题中的真命题是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗B〖解析〗选项A：若，则不成立，即A错误；选项B：由不等式性质可知：若，则有，即B正确；选项C：当时，由，可得，即C错误；选项D：当时，有成立，但此时，，由可知，不成立，即D错误.故选：B.3.函数的大致图象为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，则函数的定义域为，排除选项C；又，所以为偶函数，则图象关于y轴对称，排除选项D；当时，，排除选项B；因为为偶函数，且当时，函数单调递减，选项A中图象符合.故选：A.4.“且”是“的终边在第二象限”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件〖答案〗C〖解析〗在角终边上任取点（异于原点）其坐标为，，若且，所以，且，可得，所以的终边在第二象限，所以“且”是“的终边在第二象限”的充分条件，若的终边在第二象限，则，所以，且，所以“且”是“的终边在第二象限”的必要条件，综上“且”是“的终边在第二象限”的充要条件.故选：C5.已知，则等于（）A. B.2 C.0 D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以.故选：D.6.生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型（为常数）来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出．据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的倍所需要的时间为（）天．（结果保留一位小数．参考数据：）A.19.5 B.20.5 C.18.5 D.19〖答案〗A〖解析〗因为，，，所以，解得，设初始时间为，初始累计繁殖数量为，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的倍的时间为，则（天．故选：A.7.已知命题：为假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意知命题：为假命题，则命题：为真命题，故当时，，即为，符合题意；当时，需满足，解得，综合可得实数的取值范围是.故选：D.8.已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（）A.B.C.D.〖答案〗A〖解析〗由为奇函数，得，故①，函数的图象关于点对称；由为偶函数，得②，则函数的图象关于直线对称；由①②得，则，故的周期为，所以，由，令得，即③，已知，由函数的图象关于直线对称，得，又函数的图象关于点对称，得，所以，即，所以④，联立③④解得，故时，，由关于对称，可得.故选：A.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的.）9.已知实数，，满足，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗A选项，因为单调递增，又，所以，A正确；B选项，因为在单调递增，因为，所以，，故，，即，B错误；C选项，在上单调递减，而，所以，C正确；D选项，因为在单调递减，而，故，因为单调递减，而，故，所以，D正确.故选：ACD.10.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为 B.的图象关于直线对称C.的图象关于点对称 D.在区间上有两个零点〖答案〗ABD〖解析〗对于A：，A正确；对于B：，B正确；对于C：，C错误；对于D：当时，，函数在上有两个零点，故在区间上有两个零点，D正确.故选：ABD.11.下列说法错误的是（）A.若终边上一点的坐标为，则B.若角为锐角，则为钝角C.若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为D.若，且，则〖答案〗AB〖解析〗对于A，到原点的距离为，若时，；若时，，故A错误；对于B，若，则B错误；对于C，设扇形的半径为，则，解得：，所以扇形面积，故C正确；对于D，因为，则，所以，所以，解得或，因为，，且，所以，所以，故D正确.故选：AB.12.若，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期是B.的对称轴方程为，C.存在实数，使得对任意的，都存在且，满足，D.若函数，，（是实常数），有奇数个零点，则〖答案〗AD〖解析〗由题设，所以，故，由的最小正周期为，则的最小正周期为，同理的最小正周期为，则的最小正周期为，A正确；对于，令，则对称轴方程为且，B错误；对任意有，，且满足且，而的图象如下：所以，则，所以，或，无解，即不存在这样的a，C错误；由可转化为与交点横坐标，而上图象如下：函数有奇数个零点，由图知：，此时共有9个零点，、、、、、、，，所以，D正确.故选：AD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13.已知函数是定义在上的偶函数，则等于__________.〖答案〗〖解析〗因为是定义在上的偶函数，所以.故〖答案〗为：.14.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则函数的值域是__________.〖答案〗〖解析〗因为，定义域为，因为在定义域上单调递增，则在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递减，当时，；当时，，即；当时，；所以，当时，则，于是；当时，则，于是；当时，，综上所述，的值域为.故〖答案〗为：.15.设是第二象限角，为其终边上一点，且，则_________.〖答案〗〖解析〗由题设，则且，可得，所以.故〖答案〗为：.16.若是一个三角形的内角，且函数在区间上是单调函数，则的取值范围是__________．〖答案〗〖解析〗函数，令，解得：，令，解得：，则的单调递增区间为，单调递减区间为，若函数在区间上单调递增函数，则，是一个三角形内角，，，，要使，只能令，得，且，此时，则，则，解得，是一个三角形的内角，，若函数在区间上是单调递减函数，则，，，要使，只能令，得，且，此时，则，则，解得，与矛盾，函数在区间上是不能是单调递减函数，综上所述，.故〖答案〗为：.四、解答题（本大题共6小题，满分70分.除第17小题10分以外，每小题12分.）17.已知：实数满足，.（1）若，求实数的取值范围；（2）已知：实数满足.若存在实数，使得是的必要不充分条件，则求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）时，由不等式可得：，即实数的取值范围为.（2）由不等式可得：，因，故，则有：，因是的必要不充分条件，故，则，故得：即实数的取值范围为.18.已知.（1）化简；（2）已知，求的值.解：（1）.（2）因为，所以，∴.19.已知函数（且，为常数）的图象经过点，.（1）求的值；（2）设函数，求在上的值域.解：（1）因为的图象经过点，，所以，两式相减得，又且，解得或（舍去），则.（2）由（1）得，因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，所以在上单调递增，则，，故在上的值域为.20.近几年，随着网络的不断发展和进步，直播平台作为一种新型的学习方式，正逐渐受到越来越多人们关注和喜爱．某平台从2020年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2020到2023年，该平台会员每年年末的人数如下表所示（注：第4年数据为截止2023年10月底的数据）建立平台第年1234会员人数（千人）28405882（1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台年后平台会员人数（千人），求出你所选择模型的〖解析〗式，并预测2023年年末会员人数：①，②（且），③（且）；（2）为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过千人，请根据（1）中你选择的函数模型求的最小值．解：（1）由表格中的数据可知，函数是一个增函数，且函数增长得越来越快，故选择模型③较为合适，由表格中的数据可得，解得，所以，函数模型的〖解析〗式为，预测年年末的会员人数为千人.（2）由题意可得，令，则，则，令，，则函数在上单调递增，所以，，故，故的最小值为.21.已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（1），，当时，，在上是单调增函数；当时，，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，综上，当时，在上是单调增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）可得，当时，，由不等式恒成立，得恒成立，即在时恒成立，令，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以的最大值为.得，所以实数的取值范围是.22.若函数在定义域上满足，且时，定义域为的为偶函数.（1）求证：函数在定义域上单调递增；（2）若在区间上，；在上的图象关于点对称.（i）求函数和函数在区间上的〖解析〗式；（ii）若关于x的不等式，对任意定义域内的恒成立，