福建省部分学校2024届高三上学期12月月考数学数学试题（解析版）

PAGEPAGE1福建省部分学校2024届高三上学期12月月考数学试题一、选择题1.已知集合，则=（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由不等式，解得，所以，又由，所以．故选：C.2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗由复数，所以复数在复平面内对应的点为，该点位于第一象限．故选：A.3.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为为R上的单调减函数，为上的单调增函数，故，所以,故选:D4.若某等差数列的前3项和为27，且第3项为5，则该等差数列的公差为（）A. B. C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗设该等差数列为，则，则，所以公差.故选：B.5.在△中，角的对边分别是，则=（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以．因为，所以，所以．因为，所以，则．故选：B6.已知是奇函数，且在上单调递减，则下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意得在上单调递减，则在上单调递增，对于A，因为与均在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误；对于B，，则为偶函数，故B错误；对于C，，因为，所以，即，故C错误；对于D，，则为奇函数，与均在上单调递增，则在上单调递增，故D正确.故选：D.7.已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，则，因为，所以为的中点，所以，故直线的斜率.故选：D8.已知函数在上单调递增，则的最大值是（）A.0 B. C. D.3〖答案〗A〖解析〗由题意可得，因为在上单调递增，所以恒成立，即恒成立，设，则，当0时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故，即.故选：A.二、选择题9.若函数则（）A.的最小正周期为10 B.的图象关于点对称C.在上有最小值 D.的图象关于直线对称〖答案〗AD〖解析〗，A正确.因为，所以的图象不关于点对称，B错误.因为，所以的图象关于直线对称，D正确.若，则，由的图象可知，在上有最大值，没有最小值，C错误.故选：AD.10.设，若，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗∵，∴，即，当且仅当时，等号成立，故A错误；∵，当且仅当时，等号成立，∴，故B正确；∵，∴，当且仅当时，等号成立，故C正确；∵，∴，，∴，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：BCD.11.已知直线l：与圆C：，点P在圆C上，则（）A.直线l过定点B.圆C的半径是6C.直线l与圆C一定相交D.点P到直线l的距离的最大值是〖答案〗BC〖解析〗直线l：，即由，解得，则直线l过定点，故A错误；圆C：，即，则圆C的圆心坐标为，半径为6，故B正确；因为点与的距离为，则点在圆C的内部，所以直线l与圆C一定相交，故C正确；点P到直线l的距离的最大值是，故D错误．故选：BC．12.已知函数，，若关于的方程有3个实数解，，，且，则（）A.的最小值为4 B.的取值范围是C.的取值范围是 D.的最小值是13〖答案〗BCD〖解析〗作出的大致图象，如图所示.，其中，所以，则，，.所以，当且仅当，即时，等号成立，但，A错误.当时，是偶函数，则，所以，，B，C均正确因为，所以.设函数，则，当时，，当时，，所以，D正确.故选：BCD.三、填空题13.若向量、为单位向量，且，则向量与的夹角为______.〖答案〗〖解析〗因为向量、为单位向量，且，则，可得，所以，，因为，故，即向量与的夹角为.故〖答案〗为：.14.的展开式中，含项的系数是______.（用数字作答）〖答案〗〖解析〗展开式的通项．令，得，则．故〖答案〗为：15.已知，则____________．〖答案〗〖解析〗∵，，∴，∴，∴.故〖答案〗为：.16.过双曲线的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的左顶点为，则的离心率为__________.〖答案〗2〖解析〗设为坐标原点，的焦距为.过点作垂直于轴，垂足为.双曲线渐近线方程为：，易得，所以，由可得，即，所以，得，所以，故.故〖答案〗为：2.四、解答题17.在锐角中，内角的对边分别为，已知.（1）求A;（2）求的取值范围.解：（1）因为，由正弦定理可得，因为为锐角三角形，可知，则，所以，且，所以.（2）因为，可知，即，且为锐角三角形，则，解得，又因为，由，可知，则，所以.18.镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.（1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数；（2）现采用分层抽样的方法从质量在[40，50）和[70，80]内的板栗中抽取10颗，再从这10颗板栗中随机抽取4颗，记抽取到的特等板栗（质量≥70克）的个数为X，求X的分布列与数学期望.解：（1）因为，所以该板栗园的板栗质量的中位数在内．设该板栗园的板栗质量的中位数为，则，解得，所以该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5．（2）由题意可知采用分层抽样的方法从质量在内的板栗中抽取颗，从质量在内的板栗中抽取颗．的所有可能取值为．，，．从而的分布列为01234故．19.如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且为棱的中点．（1）证明：平面．（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：由三棱柱的性质可，∵平面ABC，∴平面，∵平面，∴，∵为的中点，且是等边三角形，∴，∵平面,,∴平面.（2）解：取的中点，连接，由题意可得两两垂直，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，故，设平面的法向量为，则，令，得，设平面的法向量，则，令，得，设平面与平面夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为.20.已知点，动点满足，动点的轨迹记为.（1）求的方程；（2）过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值.解：（1）因为，所以是以为焦点，且长轴长为4的椭圆.设的方程为，则，可得.又椭圆焦距为，所以，所以的方程为；（2）由题意可知直线的斜率不为0，设直线，联立，整理得，则，.由弦长公式可得.点到直线的距离，则的面积，设，则，因为，在上单调递增，此时，即时取等号，所以，所以，当且仅当时，，即面积的最大值为.21.设数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）由以及可得，所以，，故为