北京市房山区2024届高三上学期期末数学试题（解析版）

PAGEPAGE1北京市房山区2024届高三上学期期末数学试题第一部分（选择题）一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，故.故选：C.2.在复平面内，若复数对应的点为，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在复平面内，若复数对应的点为，由复数的几何意义可得，因此，.故选：A.3.已知向量，，且与的夹角为，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，所以，所以，解得或（舍去），故选：B.4.的展开式中的常数项是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗的展开式通项为，令，可得，因此，展开式中的常数项为.故选：B.5.已知，为非零实数，且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对A：若，则，故错误；对B：若，则，故错误；对C：若，则，，左右同除，有，故错误；对D：由且，为非零实数，则，即，故正确.故选：D.6.已知直线与圆相切，则实数（）A.或 B.或 C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗圆的圆心为，半径为，因为直线与圆相切，则，即，解得或.故选：D.7.已知函数满足，且在上单调递减，对于实数a，b，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗由函数满足，得函数是R上的偶函数，而在上单调递减，因此，所以“”是“”的充要条件.故选：C8.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放,已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：）（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，所以，即所以．再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为．故选：A.9.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，为双曲线C左支上一动点，为双曲线C的渐近线上一动点，且最小时，与双曲线C的另一条渐近线平行，则双曲线C的方程可能是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗双曲线C：的渐近线为，由对称性不妨令点在第二象限，由双曲线定义得，当且仅当为线段与双曲线的交点时取等号，因此的最小值为的最小值与的和，显然当与渐近线垂直时，取得最小值，而平行于渐近线，于是双曲线的两条渐近线互相垂直，即，则双曲线的渐近线方程为，显然选项ABD不满足，C满足，所以双曲线C的方程可能是.故选：C10.数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于，取3为弱率，4为强率，计算得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知，则（）A.8 B.7 C.6 D.5〖答案〗B〖解析〗因为为强率，由可得，，即为强率；由可得，，即为强率；由可得，，即为强率；由可得，，即强率；由可得，，即为弱率，所以，故选：B.第二部分（非选择题）二、填空题11.函数的定义域是______.〖答案〗〖解析〗由题意可得、，故且，故该函数定义域为.故〖答案〗为：.12.记为等差数列的前项和，已知，，则______.〖答案〗〖解析〗设，则，即，故.故〖答案〗为：.13.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则______.〖答案〗〖解析〗在中，由及正弦定理，得，则，整理得，而，因此，又，所以.故〖答案〗为：14.已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是______.〖答案〗或〖解析〗设点，依题意，，即，整理得，所以轨迹方程是或.故〖答案〗为：或15.如图，在棱长为的正方体中，点是线段上的动点.给出下列结论：①；②平面；③直线与直线所成角的范围是；④点到平面的距离是.其中所有正确结论的序号是______.〖答案〗①②④〖解析〗以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有、、、、、、、，则、、、、、、，设，，则，，故，故①正确；设平面的法向量为，则有，即，取，则，有，故，又平面，则平面，故②正确；当时，有，此时，即，即此时直线与直线所成角为，故③错误；由，，则，故④正确.故〖答案〗为：①②④.三、解答题16.如图，在四棱锥中，为等腰三角形，，，底面是正方形，，分别为棱，的中点.（1）求证：平面；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求与平面所成角的正弦值.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.（1）证明：连接点与中点、连接，又，分别为棱，的中点，故、，又底面是正方形，故、，故且，故四边形为平行四边形，故，又平面，平面，故平面；（2）解：选条件①：，由且为等腰三角形，故，又，故，有，由，，、平面，，故平面，又平面，故，故、、两两垂直，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有、、、、、，则、、，令平面的法向量为，则有，即，令，则，则，故与平面所成角的正弦值为.条件②：，由且为等腰三角形，故，又，故，有，由，则，故，又，故，又，、平面，，故平面，又平面，故，故、、两两垂直，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有、、、、、，则、、，令平面的法向量为，则有，即，令，则，则，故与平面所成角的正弦值为.17.已知函数的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称.（1）求的值；（2）设，若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.（1）解：将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数，由题意可知，函数为奇函数，则，可得，又因为，则.（2）解：由（1）可知，，则，因为，则，由，可得，因为在区间上有且只有一个零点，则，解得.因此，实数的取值范围是.18.某移动通讯公司为答谢用户，在其APP上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：MB）数据，如图所示.（1）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量概率；（2）从2023年12月1日至7日中任选两天，设是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求的分布列及数学期望；（3）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为，，，试比较，，的大小（只需写出结论）.解：（1）由图可知，七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，所以该天乙获得流量大于丙获得流量概率为；（2）由（1）可知七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，因此，，，，所以的分布列如下图所示：012；（3）根据图中数据信息，甲、乙七天的数据相同，都是1个50,2个30,1个10,3个5；而且丙的的数据最分散，所以，.19.设椭圆：的左、右顶点分别为，，右焦点为，已知，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点是椭圆上的一个动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若的面积是面积的4倍，求直线的方程.解：（1）由，，解得，，故，即椭圆的标准方程为；（2）由椭圆的标准方程为，则、、，由题意可得直线斜率存在且不为，设，令，则，故，联立，消去得，即，故或，由，故，则，又，即，即，若，则，即，即，即，则，若，则，即，不符，故舍去，即，故，即直线的方程为.20.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调递增区间；（3）若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围.（1）解：当时，，则，所以，，，故当时，曲线在点处的切线方程为，即.（2）解：当时，，该函数的定义域为，，由，即，解得或，因此，当时，函数的单调递增区间为、.（3）解：因为，则，令，因为函数在上有且只有一个极值点，则函数在上有一个异号零点，当时，对任意的，，不合乎题意；当时，函数在上单调递增，因为，只需，合乎题意；当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线，因为，只需，不合乎题意，舍去.综上所述，实数取值范围是.21.若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”.（1）若具有性质“”，且，，，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为2的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并