北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题1.28 《特殊平行四边形》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）

专题1.28《特殊平行四边形》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．在一组对边平行的四边形中，增加一个条件，使得这个四边形是菱形，那么增加的条件可以是（

）A．另一组对边相等，对角线相等 B．另一组对边相等，对角线互相垂直C．另一组对边平行，对角线相等 D．另一组对边平行，对角线相互垂直2．若菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的周长为（

）A．14 B．16 C．20 D．243．如图，菱形中，，，于点，则（

）A．24 B．10 C． D．4．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是BC的中点，连接AE，DE，DE与AC交于点G、以DE为边作等边三角形DEF，连接AF交DE于点N，交DC于点M．下列结论：①；②∠EAN＝45°；③；④点M为AF的中点．其中结论正确的序号有（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BC＝2AB＝8，点P是BC上一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，若m＝PE＋PF，则m的值为（

）．A． B． C． D．6．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法：①.四边形EFGH一定是平行四边形；②.若AC＝BD，则四边形EFGH是菱形；③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．其中正确的是（

）A．① B．①② C．①③ D．①②③7．如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F．若，，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．8．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（）A．8 B．9 C．10 D．129．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB与点F，EG⊥BC与点G，连接DE，FG，下列结论：①DE=FG，②DE⊥FG，③∠BFG=∠ADE，④FG的最小值为3，其中正确的结论的个数有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，正方形的顶点，的坐标分别是，，则顶点的坐标是（

）A． B． C． D．11．如图，四边形，都是正方形，点E，G分别在边，上，连接，过点E作交于点H．若，，则的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．12．我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为（

）A． B． C． D．二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边作菱形ABCD，轴，则菱形ABCD的周长是______．14．如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的大小为_____度．15．如图，菱形ABCD中，对角线，，M，N分别是BC，CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则的最小值是______．16．如图，AD是△ABC的高，在AB上取一点E，在AC上取一点F，将△ABC沿过E、F的直线折叠，使点A与点D重合，给出以下判断：①EF是△ABC的中位线；②△DEF的周长等于△ABC周长的一半；③若AB=AC，则四边形AEDF是菱形；④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形；其中正确的是_________．17．如图a，ABCD是长方形纸带，，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的的度数是__________．18．如图，在矩形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠DAC内交于点G，作射线AG，交DC于点H．若AD＝6，AB＝8，则△AHC的面积为_____．19．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加一个条件_____，能使四边形EFGH是矩形．20．如图，矩形中，，点是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点，则的长为________.21．如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接，则下列结论：①；②③；④AG//CF；其中正确的有_________（填序号）．22．如图，直线经过正方形的顶点，分别过点、作于点，于点，若，，则的长为________．23．如图，在四边形中，，点，，，分别是，，，的中点，若，，则四边形的面积是______．24．如图，点E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE，将△ABE绕着点A逆时针旋转到△AFG的位置（点F在正方形ABCD内部），连接DG．若AB＝10，BE＝6，，则CH＝___．三、解答题25．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，直线交轴于点，边交轴于点，连接.(1)填空：菱形的边长_________；(2)求直线的解析式；(3)动点从点出发，沿折线方向以3个单位/秒的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒，①当时，求与之间的函数关系式；②在点运动过程中，当，请直接写出的值.26．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，同时，点从点出发向点运动，当点运动到点时，两点都停止．连接、、，设点、运动的时间为秒．(1)若、的速度都为每秒1个单位．当________时，四边形为菱形；(2)若的速度为每秒3个单位，的速度为每秒1个单位．①当________时，四边形是矩形；②当为何值时，线段长为12，请说明理由．27．综合与实践如图1，正方形的对角线与交于点，，两边分别与，交于点，．(1)与的数量关系为______；（直接写出答案）(2)如图2，点是正方形对角线上一点，，经过点，交于点，连接．猜想线段与的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在图2的基础上，连接，点是的中点，分别连接，．判断的形状，并说明理由．28．阅读下列材料并完成相应的任务等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题．在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．如图，矩形的边上有一动点，以为边作，且边过矩形的顶点，在点从点移动到点的过程中，的面积如何变化？小亮的观点：过点作于点，连接．与的乘积始终等于，所以的面积不变．小明的观点：在点的运动过程中，的长度在变化，而与两条平行线间的距离不变，所以的面积变化．任务：你认为小亮和小明谁的观点正确？正确的写出完整的证明过程．参考答案1．D【分析】根据菱形的判定、矩形的判定、等腰梯形的判定逐项判断即可得．解：A．一组对边平行，另一组对边相等，对角线相等的四边形可以是等腰梯形，则此项不符题意；B．一组对边平行，另一组对边相等，对角线互相垂直的四边形可以是等腰梯形，则此项不符题意；C．一组对边平行，另一组对边平行，对角线相等的四边形可以是矩形，不一定是菱形，则此项不符题意；D．一组对边平行，另一组对边平行，对角线相互垂直的四边形是菱形，则此项符合题意；故选：D．【点拨】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、等腰梯形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题关键．2．C【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．解：如下图所示，根据题意得AO＝×8＝4，BO＝×6＝3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴，∴菱形的周长为：5×4＝20，故选：C．【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求出菱形的边长，同时也要熟练掌握菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．3．D【分析】利用菱形的性质先求解菱形的边长，再利用等面积法求解再利用勾股定理可得答案．解：如图，AC，BD交于点O，菱形，，，由可得：故选D【点拨】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，熟练的运用菱形的对角线互相垂直平分是解本题的关键．4．D【分析】根据菱形的性质、等边三角形的性质即可判定①；证明△DAE≌△DCF，故可判断②；连接CF，过点A作AH⊥DC于点H，证明△AMH≌△FMC，故可判断③④．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=BC，又∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∵E点是BC中点，∴AE⊥BC，AB=2BE，∴AE2=AB2-BE2=AB2-（AB）2=AB2，∵DE=，故①错误；∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，AB=BC，∴△ABC、△ACD是等边三角形，ADBC，∠BAE=∠CAE=30°，设BE=CE=a，则AB=BC=AC=2a，∴AE=，∵△DEF、△ACD是等边三角形，∴AD=CD，ED=FE，∠ADC=∠EDF=60°，∴∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC，∴∠ADE-∠CDF，又AD=CD，ED=FD，∴△DAE≌△DCF（SAS），∴AE=CF，∠DAE=∠DCF=∠DAC+∠CAE=60°+30°=90°，∴∠DCF=90°，∴∠ACF=∠ACD+∠DCF=150°，∵AC≠AE，AE=CF，∴AC≠CF，∴∠CAF≠∠CFA=15°，∴∠EAN=∠EAC+∠CAF≠45°，故②错误；连接CF，过点A作AH⊥DC于点H，∵AH⊥CD，AC=AD，∴∠AHM=∠FCM=90°，CH=DH=a，AH=AE，∵CF=AE，AH=AE，∴AH=FC，又∠AMH=∠FMC，∴△AMH≌△FMC（AAS），∴AM=FM，CM=HM，∴点M为AF的中点，故④正确；∵AE=，CM==，∴，故③正确；故选：D．【点拨】此题主要考查菱形、等边三角形及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质、全等三角形的判定定理．5．D【分析】连接PO，由矩形的性质和勾股定理得求得OB=OC=，再由求得PE+PF的值即可．解：如图，连接PO，∵BC=2AB=8，∴AB=4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，=AB·BC=4×8=32，OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴AC=BD===，，OB=0C=AC=，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴，∴PB+PF==，即m=，故选：D．【点拨】本题考查矩形的性质，熟记矩形的性质及三角形的面积公式是解题的关键．6．D【分析】根据三角形中位线定理得到，EH=BD，EF=AC，根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理判断即可．解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，∴，EH=BD，EF=AC，∴四边形EHGF是平行四边形，故①符合题意；若AC=BD，则EF=EH，∴平行四边形EHGF是菱形，故②符合题意；若AC⊥BD，则EF⊥EH，∴平行四边形EHGF是矩形，故③符合题意；故选：D．【点拨】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．7．D【分析】连接OP，证明四边形OEPF是矩形，得到：，当时，OP的值最小，利用，求出OP的最小值即可，解：连接OP，∵是菱形，∴，即，∵，，∴四边形OEPF是矩形，∴，当时，OP的值最小，∵，，∴，，，∵，∴，即EF的最小值为：，故选：D．【点拨】本题考查菱形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，等面积法，解题的关键是证明，当时，OP的值最小，利用等面积法求出OP的长．8．C【分析】先证明四边形OCED为平行四边形，再利用菱形的性质证明求解再证明平行四边形OCED为矩形，再利用矩形的性质可得答案．解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∴平行四边形OCED为矩形，∴OE＝CD＝10，故选：C．【点拨】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．9．C【分析】连接BE交FG于H，延长DE交AB于I，交FG于J．根据正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质确定BE=DE，根据正方形的性质，矩形的判定定理和性质，等量代换思想即可判断①符合题意；根据矩形的性质，等边对等角，全等三角形的性质和等价代换思想即可判断③符合题意；根据直角三角形两个锐角互余，等量代换思想和三角形内角和定理即可判断②符合题意；根据垂线段最短确定当DE⊥AC时，FG取得最小值为DE，根据正方形的性质和三角形面积公式即可判断④不符合题意．解：如下图所示，连接BE交FG于H，延长DE交AB于I，交FG于J．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，∠FBG=90°．∵AE是△ABE和△ADE的公共边，∴．∴BE=DE．∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴四边形FBGE是矩形．∴BE=FG．∴DE=FG．故①符合题意．∵矩形FBGE的对角线相交于点H，∴HF=HB．∴∠ABE=∠BFG．∵，∴∠ABE=∠ADE．∴∠BFG=∠ADE．故③符合题意．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAI=90°．∴∠AID+∠ADE=90°．∴∠AID+∠BFG=90°．∴∠FJI=180°-（∠AID+∠BFG）=90°．∴DE⊥FG．故②符合题意．∵DE=FG，∴当DE取得最小值时，FG取得最小值．∵点E是对角线AC上与A，C不重合的一个动点，∴当DE⊥AC时，DE取得最小值，即FG取得最小值为DE．∵正方形ABCD中，AB=4，∴AD=CD=AB=4，∠ADC=90°．∴，．∴．∴FG的最小值为．故④不符合题意．故①②③，共3个符合题意．故选：C．【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质，矩形的判定定理和性质，等边对等角，直角三角形两个锐角互余，三角形内角和定理，垂线段最短，综合应用这些知识点是解题关键．10．C【分析】过点作轴的垂线交于，证明，得，根据，得出，即可求解．解：过点作轴的垂线交于，正方形，，，，，，，，，，，故选：C．【点拨】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质、图形于坐标，解题的关键是掌握正方形的性质．11．D【分析】求出BE的长，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形求出四边形EFCH平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得EF=CH，再根据正方形的性质可得AB=BC，AE=EF，然后求出BH=BE即可得解．解：∵AB=4，AE=1，∴BE=AB-AE=4-1=3，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴AD∥EF∥BC，又∵EH∥FC，∴四边形EFCH平行四边形，∴FC=EH，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴AB=BC，AE=EF，∴AB-AE=BC-CH，∴BE=BH=3．由勾股定理得：,∴故选：D．【点拨】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记性质并求出四边形EFCH平行四边形是解题的关键，也是本题的难点．12．C【分析】由已知条件得到AD′=AD=6，AO=AB=3，根据勾股定理得到，于是得到结论．解：∵AD′=AD=6，且的中点是坐标原点，∴AO=AB=3，∴，∵C′D′=6，C′D′∥AB，∴C′，故选：C．【点拨】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．13．20【分析】先求出一次函数与坐标轴的交点A、B的坐标，再利用勾股定理或两点间的距离公式计算出线段AB的长，最后利用菱形的性质计算周长即可．解：令，得，解得，∴，OA=3．令，得，∴，OB=4．在中，．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA．∴．故答案为：20．【点拨】本题是一道函数与几何的综合题．重点考查了一次函数与坐标轴交点坐标的求法，两点间的距离公式（或勾股定理），菱形的性质．如果是使用两点间距离公式，注意公式的正确使用：设点，，则A、B两点间的距离为．14．【分析】根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数．解：∵四边形为菱形，∴，，，∴，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：．【点拨】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．灵活运用菱形的性质是解题的关键．15．##4.8【分析】作点M关于直线BD的对称点，连接，P，连接，，根据垂线段最短原理，当时，的值最小，根据菱形的性质表示菱形的面积，然后计算求解即可．解：如图，作点M关于直线BD的对称点，连接，P，连接，则=，根据垂线段最短原理，当时，的值最小，∵菱形ABCD中，对角线，，对角线的交点为O，∴OA=3，OB=4，AO⊥OB，∴由勾股定理得，∴，即，解得，故答案为：．【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称，垂线段最短原理，熟练掌握菱形的性质，轴对称的性质，垂线段最短原理是解题的关键．16．①②③【分析】由折叠的性质及垂直的条件可得点E、F分别是AB、AC的中点，从而可判定①正确；

由中位线定理即可判定②正确；由AB=AC及E、F分别为中点可得AE=AF，由折叠的性质即可判定③正确；当AB与AC不相等时，点D不是BC的中点，则DE与AC不平行，从而四边形AEDF不是平行四边形，故不是矩形，从而可判定④错误．解：由折叠性质得：AE=DE，AF=DF，且EF⊥AD∴∠EAD=∠EDA∵AD⊥BC∴∠EDA+∠EDB=90゜，∠EAD+∠B=90゜∴∠EDB=∠B∴DE=BE∴DE=AE即点E是AB的中点同理：点F是AC的中点∴EF是△ABC的中位线故①正确∵EF是△ABC的中位线∴∵，∴△AEF的周长为而△ABC的周长为AB+BC+AC∴△AEF的周长等于△ABC周长的一半故②正确v∵AB=AC，E、F分别是AB、AC的中点∴AE=AF∵AE=DE，AF=DF∴AE=DE=DF=AF即四边形AEDF是菱形故③正确当AB与AC不相等时，点D不是BC的中点，则DE与AC不平行，从而四边形AEDF不是平行四边形，故不是矩形故④错误故答案为：①②③【点拨】本题考查了三角形中位线定理，菱形的判定，折叠的性质等知识，由题意得到E、F分别是中点是解题的关键．17．120°##120度【分析】由平行线的性质知∠DEF＝∠EFB＝20°，进而得到图b中∠GFC＝140°，依据图c中的∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG进行计算．解：∵，∴∠DEF＝∠EFB＝20°，在图b中∠GFC＝180°﹣2∠EFG＝140°，在图c中∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG＝120°．故答案为：120°．【点拨】此题考查平行线的性质，图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．18．15【分析】由作图过程可得AH平分∠DAC，过点H作HQ⊥AC于点Q，根据角平分线的性质可得DH＝QH，然后证明Rt△ADH≌Rt△AQH（HL），可得AD＝AQ＝6，所以CQ＝AC﹣AQ＝10﹣6＝4，再根据勾股定理可得HQ，进而可以解决问题．解：由作图过程可知：AH平分∠DAC，如图，过点H作HQ⊥AC于点Q，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∴DH＝QH，∵AD＝6，DC＝AB＝8，∴AC10，∴HC＝DC﹣DH＝8﹣HQ，在Rt△ADH和Rt△AQH中，，∴Rt△ADH≌Rt△AQH（HL），∴AD＝AQ＝6，∴CQ＝AC﹣AQ＝10﹣6＝4，在Rt△CHQ中，根据勾股定理得：CH2＝CQ2+HQ2，∴（8﹣HQ）2＝42+HQ2，解得HQ＝3，∴△AHC的面积AC•HQ10×3＝15，故答案为：15．【点拨】本题考查了作图一基本作图、角平分线的性质,矩形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，掌握基本作图方法是解决本题的关键．19．AC⊥BD【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，根据平行线的性质可得：∠EHG=∠1，∠1=∠2，再证明四边形EFGH是平行四边形，当∠EFG=90°，四边形EFGH是矩形，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．解：如图，∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，∴∠2=∠EHG，同理：∴四边形EFGH是平行四边形，当∠EHG=90°，四边形EFGH是矩形，∴∠2=90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．【点拨】本题主要考查三角形的中位线定理和矩形的四个角都是直角的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．20．##【分析】连接EF，根据已知条件，利用“HL”证明，得出DF=GF，设，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可．解：连接EF，如图所示：∵四边形ABCD为矩形，∴，，，是的中点，,沿折叠后得到，，，，，，∵在和中，，，设，则，，在中，，解得．故答案为：．【点拨】本题主要考查了了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质，作出辅助线，构造全等三角形，证明DF=GF，是解题的关键．21．①②③④【分析】根据折叠，得到AD=AF，∠D=∠AFE=90°，推出AB=AF，∠AFG=∠B=90°，可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，即可判断①正确；根据，进而可得，根据三角形内角和定理即可得∠AEF+∠ADF＝135°，得到∠AGB+∠AED＝135°，进而判断②正确；设BG＝GF＝x，则CG＝6﹣x，EG＝x+2，CE＝4，在Rt△EGC中，根据勾股定理建立方程（x+2）2＝（6﹣x）2+42，解方程可得，即可判断③正确；根据BG=FG=3，得到CG=BC-BG=6-3=3，得到CG=FG，推出∠GCF=∠GFC，根据∠AGB=∠AGF，得到∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，得到∠AGF=∠GFC，推出AG∥CF，即可判断④正确解：∵四边形是正方形，∴，AB＝BC＝CD=AD＝6，∵，∴DE＝2，∴CE＝4，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴∠AFE＝∠ADE＝90°，AF＝AD，EF＝DE＝2，∴∠AFG＝∠ABG＝90°，AF＝AB，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴①正确；∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴，∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴，∵，∴，∴∠AEF+∠ADF＝135°，∴∠AGB+∠AED＝135°，∴②正确；设BG＝GF＝x，则CG＝6﹣x，EG＝x+2，∵CE＝4，∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42，解得x＝3，∴BG＝GF＝3，∴③正确；∵BG=FG=3,∴CG=BC-BG=6-3=3，∴CG=FG，∴∠GCF=∠GFC，∵∠AGB=∠AGF，∴∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，∴∠AGF=∠GFC，∴AG∥CF∴④正确；故答案为：①②③④．【点拨】本题考查了正方形性质，折叠图形全等的性质，三角形全等的判断和性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．22．9【分析】利用同角的余角相等，证得，根据垂直定义，得，结合已知，证得，进而证得，，据此可求出，问题得解．解：∵四边形是正方形，∴，，∴∵∴∴∵，∴在和中∵∴∴，∴故答案为：9【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，正确寻找全等三角形，学会利用同角的余角相等是解本题的关键．23．12【分析】根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形为矩形，根据矩形的面积公式计算，得到答案．解：∵点，，，分别是，，，的中点，∴，，，，，，∴，，∴四边形为平行四边形，，∴，∴平行四边形为矩形，∴，故答案为：．【点拨】此题考查了中点四边形，解题的关键是掌握三角形中位线定理、矩形的判定定理．24．【分析】由“HL”可证，可得，由“AAS”可证，可得，可得，再由勾股定理可求AP、FN、DH，即可求解．解：如图，连接AH，过点F作FN⊥CD于点N，FP⊥AD于点P，将△ABE绕着点A逆时针旋转到△AFG的位置，，，四边形ABCD是正方形，，，又，，，，，，，，，，FN⊥CD，FP⊥AD，，四边形PDNF是矩形，，，，，，，，故答案为：．【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质、矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．25．(1)5(2)(3)①；②或【分析】（1）在Rt△AOH中利用勾股定理即可求得菱形的边长；（2）根据（1）即可求的OC的长，则C的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得直线AC的解析式；（3）①根据S△ABC=S△AMB+SBMC求得M到直线BC的距离为h，然后分成P在AB上和在BC上两种情况讨论，利用三角形的面积公式求解．②将S=2代入①中的函数解析式求得相应的t的值．(1)解：点的坐标为，在Rt△AOH中，故答案为：5；(2)∵四边形ABCO是菱形，∴OC=OA=AB=5，即C（5，0）．设直线AC的解析式y=kx+b，函数图象过点A、C，得，解得，直线AC的解析