江苏省扬州树人学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（含答案）

扬州树人学校2023-2024年第一学期期末试卷九年级数学2024.01（满分150分考试时间：150分钟）一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．）1．如果，那么锐角的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（）A． B．2 C． D．3．若两个相似三角形的周长比为1∶3，则它们的面积比为（）A．1∶9 B．1∶6 C．1∶3 D．6∶14．李宁专卖店试销一种新款运动鞋，一周内38码、39码、40码、41码、42码、43码的运动鞋分别销售了25、30、86、50、28、8双，若店长要了解哪种型号的运动鞋最畅销，则店长关注的是上述数据中的（）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差5．下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是（）A．瓮中捉鳖 B．守株待兔 C．旭日东升 D．夕阳西下6．如图，点A，B，P是上的三点．若，则的度数为（）A．80° B．140° C．20° D．50°7．如图，已知点P在格点的外接圆上，连接PB、PC，则的值为（）A． B． C． D．28．如图，在中，，点M、N分别在AB、BC上，且．点P从点M出发沿折线MB-BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持．整个运动过程点Q运动的路径长为（）A．7 B．8 C．9 D．10二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）9．若，则______．10．若圆O的半径是5，圆心的坐标是，点P的坐标是，则点P与的位置关系是______．11．若圆内接四边形ABCD的内角满足，则______．12．某超市九月份的营业额为50万元，十一月份的营业额为72万元．则每月营业额的平均增长率为______．13．已知O为的内心，且，则______．14．抛物线经过点，则______．15．圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的全面积为______．16．如图，在中，，，，则______．17．在等腰三角形ABC中，当顶角A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也确定了，我们把这个比值记作，即．例：，那么______．18．若二次函数（a，m，b均为常数，）的图象与x轴两个交点的坐标是和，则方程的解是______．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．）19．（本题8分）（1）解方程； （2）计算：20．（本题8分）已知关于x的方程．（1）求证：不论k取何实数，此方程都有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根为，求k的值．21．（本题8分）某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数（单位：个）进行统计，结果如下表：甲1061068乙79789经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2．（1）乙进球的平均数为______，方差为______．（2）如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？为什么？22．（本题8分）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2），1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是______（2）先从中任意摸出一个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表），求两次都摸到红球的概率．23．（本题10分）如图，在单位长度为2的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．（1）请找出该圆弧所在圆的圆心O的位置；（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①的半径为______（结果保留根号）；②若用所在扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为______．（3）连接CD，请探究CD与的位置关系，并说明理由．24．（本题10分）如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在处，与水平面的夹角．（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l的距离；（2）若小明爸爸的身高为1.83m，他从打开的车后盖C处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（所有结果精确到0.01m，参考数据：）25．（本题10分）如图，已知二次函数的图像经过点，（1）求的值；（2）用无刻度直尺画出抛物线的对称轴l；（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）（3）结合图像，直接写出当时，x的取值范围是______．26．（本题10分）某商场经营某种品牌童装，进货时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低0.5元，就可多售出10件．（1）当销售单价为58元时，每天销售量是______件．（2）求销售该品牌意装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）若商场规定该品牌童装的销售单价不低于57元且不高于60元，则销售该品牌童装获得的最大利润是多少？27．（本题12分）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一动点，过点E作，交CD点F，连接AF．（第27图）（1）求证：；（2）A、E、F、D四点在同一个圆上吗？如果在，说明理由；（3）求D到AF中点的距离最小值．28．（本题12分）如图，抛物线过，两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一点，且位于AB的上方，当的面积为6时，求点P的坐标；（3）过B作于C，连接OB，点G是抛物线上一点，当时，请求出此时点G的坐标．参考答案一、选择题1.C2.A3.A4.B5.B6.C7.A8.A二、填空题9.7：410.P在⊙O上11.90012.20％13.8014.-3215.24π16.217.318.X1=-5；X2=0三、解答题19（1）.X1=5；X2=-1(4分）（2）1-3（4分）20．（1）证明：b2-4ac=(k+1)2-4(k-2)=k2-2k+9=（k-1）2+8．∵（k-1）2≥0，∴（k-1）2+8＞0，即b2-4ac＞0， ∴不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根；（5分）（2）将x=-3代入原方程得9-3(k+1)+k-2=0，解得：k=2． （3分）21．（1）乙进球的平均数为：（7+9+7+8+9）÷5=8；（2分）乙进球的方差为：[（7﹣8）2+（9﹣8）2+（7﹣7）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2]=0.8（3分）（2）应选乙去参加定点投篮比赛．理由如下：∵二人的平均数相同，而S甲2=3.2，S乙2=0.8，∴S甲2＞S乙2，∴乙的波动较小，成绩更稳定，∴应选乙去参加定点投篮比赛．（3分）22．解：（1）4个小球中有2个红球，则任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是；（2分）（2）列表如下：红红白黑红﹣﹣﹣（红，红）（白，红）（黑，红）红（红，红）﹣﹣﹣（白，红）（黑，红）白（红，白）（红，白）﹣﹣﹣（黑，白）黑（红，黑）（红，黑）（白，黑）﹣﹣﹣所有等可能的情况有12种，其中两次都摸到红球有2种可能，（4分）则P（两次摸到红球）==．（2分）23．解：（1）如下图所示：（2分）①45；（2分）②5（2分）相切；相似或者勾股定理证明（4分）24.解：（1）如图2，过点于，在△中，，，，，点到地面的距离为：，答：车后盖最高点到地面的距离约为；（5分）（2）没有碰头的危险，理由如下：如图2，过点作于点，在△中，，则，，，，，点到地面的距离为：，，没有碰头的危险．（5分）25.解：（1）将A（1，0），B（－2，3）代入二次函数y＝ax2＋bx＋3，得eq\b\lc\{(\a\al(0＝a＋b＋3，,3＝4a－2b＋3．))解得eq\b\lc\{(\a\al(a＝－1，,b＝－2．))a+b=－3（4分）（2）如图，直线l为所求对称轴．（4分）llAByxO（3）x≤－2或x≥0．（2分）26.（1）240；（2分）（2）设该品牌童装获得的利润为y（元）根据题意得，y＝（x－40）（－20x＋1400）＝－20x2＋2200x－56000，（4分）∴销售该品牌童装获得的利润y元与销售单价x元之间的函数关系式为：y＝－20x2＋2200x－56000；（3）根据题意得57≤x≤60y＝－20（x－55）2＋4500∵a＝－20＜0∴抛物线开口向下，当57≤x≤60时，y随x的增大而减小，∴当x＝57时，y有最大值为4420元.（4分）27.证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE＋∠BEA＝90°．∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠BEA＋∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF．又∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECF．（4分）（2）（略）斜边上中线等于斜边上一半（4分）（2）由勾股定理得，在Rt△ADF中，∠D＝90°，AF＝EQ\R(,AD2＋DF2)＝EQ\R(,42＋DF2)．要求D到AF中点距离的最小值，即求AF长度的最小值，即求DF长度的最小值，也就是求CF长度的最大值．∵△ABE∽△ECF，∴eq\f(BE,CF)＝eq\f(AB,CE)，即CF＝eq\f(BE∙CE,AB)．设CE＝x，则BE＝4－x．∴CF＝eq\f(x(4－x),4)＝－eq\f(1,4)(x－2)2＋1，当x＝2时，CF取最大值1；此时，DF取最小值3．当DF＝3时，AF取最小值，AF＝EQ\R(,AD2＋DF2)＝EQ\R(,42＋32)＝5．∴AF长度的最小值为5．∴D到AF中点距离的最小值为2.5 （4分）28．（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，得：，解得：，所以抛物线的表达式为：y＝﹣x2+5x； （4分）求得直线AB的表达式为：y＝﹣x+5； 过点P作直线PQ∥y轴交AB点Q，设P(m，-m2+5m)，则Q(m，-m+5).当点P在Q上方时，S△ABP=S△AQP+S△BPQ=PQ·，∴[(-m2+5m)-(-m+5)]·4=6，解得m1=2，m2=4，即P1(2，6)，P2(4，4)； （4分) （3）过B作BC⊥OA于C，连接OB，点G是抛物线上一点，当∠BAG+∠OBC＝∠BAO时，请直接写出此时点G的坐标．∵BC＝AC＝5，故∠BAO＝45°＝∠BAG+∠OBC，①当点G在AB上方时，如图（左侧图），设抛物线对称轴交x轴于点M，连接BM，OC＝OM＝1，故∠CBM＝∠OBC，则∠CAB＝45°＝∠CBM+∠MBA＝∠OBC+∠ABM，而45°＝∠BAG+∠OBC，故∠ABM＝∠GAB，则AG∥BM，