（参考答案）2024届高二期末 数列 分类汇编

.（2023·江苏扬州高中期末）在“①，，；②，；③”三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.已知等差数列的前项和为，且___________，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.【解析】【分析】（1）若选择①，根据等差数列的性质可知，联立方程，求和，再根据等差数列通项公式，列首项和公差的方程组，即可求得通项公式；若选择②，根据等差数列的通项公式和前项和公式，列式求首项和公式，即可求得通项公式；若选择③，利用数列与的关系，求数列的通项公式；（2）根据（1）的结果，利用裂项相消法求和.【详解】解：（1）若选择①，由与解得：或（由于，舍去），设公差为，则，解得，所以数列的通项公式为若选择②，设公差为，由，得；则，解得，所以数列的通项公式为若选择③，因为，解得，所以数列的通项公式为（2）由题意得：所以14.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，a1＝1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，证明．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由已知可得，从而，由此能证明数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，即可求出数列{an}的通项公式；（2）由数列{an}的通项公式求出，再由，由此利用裂项相消法即可证明.【小问1详解】因为，所以.两式相减，得，即，所以当时，，在中，令，得，所以，又满足，所以，所以，故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，且.【小问2详解】，所以，当时，，当时，，所以.15.（2023·江苏灌南高级中学期末）在等差数列中，已知公差，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）an=n（2）【解析】【分析】（1）由已知条件可得（d+2）2=2d+7，从而可求出公差，进而可求得数列的通项公式，（2）由（1）得，然后利用错位相减法求【小问1详解】因为a1，a2+1，a3+6成等比数列，所以，又a1=1，所以（d+2）2=2d+7，所以d=1或d=（舍），所以an=n；【小问2详解】因为，所以，所以，所以，所以16．（2023·江苏淮安期末）小张计划连续十年向某公司投放资金，第一年年初投资10万元，以后每年投资金额比前一年增加2万元，该公司承诺按复利计算，且年利率为10%，第十年年底小张一次性将本金和利息取回，则小张共可以取得______万元．（结果用数字作答）．参考数据：，，．【答案】305【分析】根据给定信息，构建数列，再利用错位相减法求和作答.【详解】依题意，小张每年向公司投资金额构成以10为首项，2为公差的等差数列，，因此每年的投资到第十年年底的本金和利息和为，10次投资到第十年年底本金和利息总和为，则，于是得，两式相减得，则有，所以小张共可以取得305万元.故答案为：30517.（2023·江苏灌云期末）已知数列的前n项和，递增等比数列满足，且.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和为.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先求，再由求出，设等比数列的公比为q，由条件可得，解出结合条件可得答案.（2）由（1）可得，利用错位相减法可求【小问1详解】，当时，，也满足上式，∴，则.设等比数列的公比为q，由得，解得或.因为是递增等比数列，所以，.【小问2详解】，①①①②：∴18．（2023·江苏连云港期末）已知等差数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）求和：.【答案】（1）（2）【分析】（1）由求和公式列方程组解得基本量，即可求通项公式；（2）使用错位相减法求和.【小问1详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，所以.【小问2详解】设，由（1）可知则两式相减，得所以19.（2023·江苏常州第一中学期末）已知数列满足为等比数列.（1）证明：是等差数列，并求出的通项公式.（2）求的前项和为.【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）根据题意得，进而根据等差数列定义证明，并结合通项公式求解即可；（2）根据错位相减法求解即可；【小问1详解】证明：因为数列满足为等比数列，所以的公比，首项为所以，即，所以是以为公差的等差数列，首项为，所以，，所以，小问2详解】根据错位相减法有：，，所以，，所以20.（2023·江苏常州第一中学期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（）A.999 B.749 C.499 D.249【答案】A【解析】【分析】根据递推关系可得为等比数列，进而可得，由累加法可求解，进而根据对数的运算性质可得，根据裂项求和即可求解.【详解】由得，因此数列为公比为5，首项为的等比数列，故，进而根据累加法得，由于，又，因此，则，故，所以，故选：A【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.21.（2023·江苏南京师范大学附中期末）已知数列的各项均不为0，且满足（1）求通项公式（2）令，求数列的前n项和为.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据递推公式，当时，直接求，当时，用前n项积除以前n-1项积的方法化简，可求通项公式；（2），然后利用分组求和的方法即可求解．【小问1详解】当时，解得，当时，由得，两式相除得：，即，当时满足，所以.【小问2详解】由（1）可知，所以.所以22.（2023·江苏响水清源高中期末）数列是递增的等差数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通过等差数列的通项公式得到关于的方程组，解出即可.（2）分和，讨论，结合等差数列前项和的公式即可得到答案.【小问1详解】设递增的等差数列的公差，因为，，所以，解得，或（舍去），所以.【小问2详解】设，则.由，即，解得.当，时，.当，时，.故.23.（2023·江苏响水清源高中期末）已知数列的前n项和满足．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由与的关系即可求得数列的通项公式；（2）利用错位相减法求数列的前n项和.【小问1详解】当，，故，因为，当时，,两式相减得：，即，故数列为等比数列，公比，所以．【小问2详解】，故，故，令①，②，①-②得即，故．24.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由导数法即可求；（2）分别讨论，由的单调性及零点存在定理判断零点即可.【小问1详解】，时，恒成立，在上是增函数；时，时，是减函数，时，是增函数，综上，时，在上是增函数，时，在上是减函数，在上是增函数；【小问2详解】i.时，由(1)得在上是增函数，，故只有一个零点；ii.时，由(1)得.①当时，，只有一个零点，符合题意；②当时，，故在有一个零点，又在上是增函数，设，，，∴在单调递增，，∴在单调递增，，设，由知，当，，单调递减；当，，单调递增，∴，即，故有一个零点，不合题意；③当时，，故有一个零点，又在上是减函数，，由②得，故在有一个零点，不合题意.综上，的取值范围是.【点睛】方法点睛：1.零点个数可根据函数单调性及零点存在定理判断；2.对于含参函数，难点在于找到合适的自变量满足零点存在定理，本题中可根据函数形式，构造函数说明时，及；时，及.25.（2023·江苏常州第一中学期末）记等差数列的前项和为，公差为，等比数列的公比为，已知，，.（1）求，的通项公式；（2）将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列，构成数列，求的前100项和.【答案】（1），.（2）15080【解析】【分析】（1）根据等差数列的求和公式以及等比数列的通项公式，整理方程，解得公比和公差，可得答案；（2）由题意，求得等差数列的第100项，逐项求解等比数列，利用等差数列建立方程，找出相同项，分组求和，可得答案.【小问1详解】由，得，因为，所以.结合，可得，，，解得，，所以数列的通项公式为，数列的通项公式为.【小问2详解】由（1）可知，当时，.又，所以，，，，，，，，，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，所以数列的前100项中与数列中相同的项共有4项，即4，16，64，256，即为的前8项中的偶数项.将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列构成数列，则的前100项为数列的前100项中剔除与数列相同的4项后剩余的96项与的前8项中剔除与数列相同的4项后剩余的4项，所以的前100项和为.26.（2023·江苏盐城高中期末）已知等差数列和等比数列满足，．（1）求数列，的通项公式；（2）设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前n项和为，求．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）由题知，进而得等差数列的公差为，进而根据等差数列通项公式和指对互化即可得答案；（2）由题知数列的前50项是由数列的前55项去掉数列的前5项后构成的，进而根据等差数列，等比数列的求和公式求解即可.【小问1详解】因为等差数列和等比数列满足，，所以，所以等差数列的公差为，所以，，，所以，，，【小问2详解】由（1），即是数列中的第项．设数列的前n项和为，数列的前n项和为，因为，所以数列的前50项是由数列的前55项去掉数列的前5项后构成的，所以．27.（2023·江苏南大附中期末）已知数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，设数列的前n项和，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】(1)根据等差中项的性质和等比数列定义求解；(2)利用错位相减法求和即可证明.小问1详解】因为，，成等差数列，所以，又因为数列的公比为2，所以，即，解得，所以．【小问2详解】由（1）知，则，所以，①，②①②得．所以．又因为，所以是递增数列，所以，所以．28.（2023·江苏盐城大丰期末）已知数列满足，且．（1）求数列通项公式；（2）设，且数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）写出当时的等式，再与原式两式相除求解即可；（2）由（1），再根据错位相减求解可得，再化简不等式可得，再设，根据作差法判断的单调性，进而可得最大值.【小问1详解】，当时，，两式相除得；，又符合上式，故；【小问2详解】，，，错位相减得：，即，由，得，设，则，故，由，由可知，随着的增大而减小，故，故恒成立，知单调递减，故的最大值为，则29.（2023·江苏徐州期末）在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等差数列的前项和为,______,______.（1）求数列的通项公式;（2）设,求数列的前项和.注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据是等差数列,设出公差为,选择两个选项,将首项公差代入,解方程组,即可求得基本量,写出通项公式;(2)根据(1)中的通项公式,写出的通项,利用裂项相消即可求得前项和.【小问1详解】由于等差数列,设公差为,当选①②时:,解得,所以的通项公式.选①③时:,解得,所以的通项公式.选②③时:,解得,所以的通项公式.【小问2详解】由(1)知,,所以,所以.30.（2023·江苏苏州期末）已知数列中的各项均为正数，，点在曲线上，数列满足，记数列的前项和为.（1）求的前项和；（2）求满足不等式的正整数的取值集合.【答案】（1）；（2）正整数的取值集合为.【解析】【分析】（1）根据给定的条件，求出数列和的通项公式，再利用分组求和法并结合等差等比数列前n项和公式求解作答.（2）利用（1）的结论建立不等式，再构造数列并判断单调性即可作答.【小问1详解】依题意，，即有，而，因此数列是首项为2，公差为1的等差数列，则有，，所以.【小问2详解】由（1）知，，，由，得，即，设，则，显然，当时，，即数列从第3项起是递减的，因为，则当时，有，所以正整数的取值集合为.【点睛】关键点睛：涉及数列的单调性以及数列的最大项和最小项问题，综合性较强，难度较大，利用作差或作商的方法，构造新数列是解决问题的关键.等差数列、等比数列的综合问题1.（2023·江苏扬州江都高中期末）在数列中，，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】判断出数列周期性，由此求得.【详解】依题意，，所以，，，所以数列是周期为的数列，所以.故答案为：2.（2023·江苏南京外国语中学期末）已知递增等差数列中，且是，的等比中项，则它的第4项到第11项的和为（）A.180 B.198 C.189 D.168【答案】A【解析】【分析】由条件结合等差数列的通项公式及等比中项的定义列方程求数列的公差和首项，再利用求和公式求它的第4项到第11项的和.【详解】设递增等差数列的公差为，则，且是，的等比中项，，解得，第4项到第11项的和为，所以，即数列的第4项到第11项的和为180.故选：A．3.（2023·江苏常州第一中学期末）已知数列的前n项和为Sn，，若存在两项，，使得，则（）A.数列为等差数列 B.数列为等比数列C. D.为定值【答案】BD【解析】【分析】由和的关系求出数列为等比数列，所以选项A错误，选项B正确；利用等比数列前项和公式，求出，故选项C错误，由等比数列的通项公式得到，所以选项D正确.【详解】由题意，当时，，解得，当时，，所以，所以，数列是以首项，公比的等比数列，，故选项A错误，选项B正确；数列是以首项，公比的等比数列，所以，故选项C错误；，所以为定值，故选项D正确.故选：BD【点睛】本题主要考查由和的关系求数列的通项公式，等比数列通项公式和前项和公式的应用，考查学生转化能力和计算能力，属于中档题.4.（2023·江苏苏州期末）在①；②，且成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.记等差数列公差为，前项和为，已知__________.（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）选条件①：；选条件②：；选条件③：（2）选条件①：；选条件②：；选条件③：【解析】【分析】（1）若选条件①，即可得到关于、的方程组，从而求出、，即可得解；若选条件②，依题意可得，即可求出，即可得解；若选条件③，根据，作差计算可得；（2）由（1）得到的通项公式，再利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】若选条件①，（1）由题意得，解得，得，所以数列的通项公式为.若选条件②，依题意，由，得，解得，又因为，所以，所以数列的通项公式为.若选条件③，当时，；当时，.因为满足上式，所以数列的通项公式为.【小问2详解】选条件①②，由（1）知，则，所以数列的前项和..若选条件③，由（1）知，则，所以数列的前项和5.（2023·江苏盐城大丰期末）已知数列的通项公式，在数列的任意相邻两项与之间插入个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前n项和为，则的值为______．【答案】370【解析】【分析】依题意，确定前60项所包含数列的项，以及中间插入4的数量即可求和.【详解】因为与之间插入个4，，，，，，其中，之间插入2个4，，之间插入4个4，，之间插入8个4，，之间插入16个4，，之间插入32个4，由于，，故数列的前60项含有的前5项和55个4，故.故答案为：370.6.（多选）（2023·江苏盐城新丰高中期末）已知数列{an}各项均是正数，a4，a6是方程x2－4x＋a＝0(0<a<4)的两根，下列结论正确的是（）A.若{an}是等差数列，则数列{an}前9项和为18B.若{an}是等差数列，则数列{an}的公差为2C.若{an}是等比数列，{an}公比为q，a＝1，则q4－14q2＋1＝0D.若{an}是等比数列，则a3＋a7的最小值为2【答案】AC【解析】【分析】对于选项A，计算得，所以A正确；对于选项B，数列公差满足，故B错误；对于选项C，分析推理得到，故C正确；对于选项D，不等式中，等号不成立，故D错误．【详解】由条件得，．如果是等差数列，则，，∴，所以A正确；又，∴数列公差满足，故B错误；如果是等比数列，由得，∴，∴，即，∴，故C正确；由已知得，由于，所以，即数列的公比不为，∴，∴在不等式中，等号不成立，故D错误．故选：AC7.（2023·江苏盐城实验高中期末）已知公差为3的等差数列满足成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为40，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质和等差数列通项公式求解；（2）根据等差数列前项和公式求解.【小问1详解】因为，所以，即，整理得，所以，所以，【小问2详解】，令得，解得（负值舍去）.8.（多选）（2023·江苏南京师范大学附中期末）设Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的有（）A.若{an}为等比数列，公比为q，则S2n=（1+）SnB.若{an}为等比数列，s，t，p，q∈N，且asat=apaq，则s+t=p+qC.若{an}为等差数列，则（p为常数）仍为等差数列D.若{an}为等差数列，则必存在不同的三项ap，aq，ar，使得ap2=aqar【答案】AC【解析】【分析】对于A：直接公式代入验证即可；对于B：当公比q=1时，可排除；对于C：公式代入，再定义证明即可；对于D：假设成立，推出可判断.详解】对于A：当时，，，；当时，，故A正确；对于B：当公比q=1时，显然不成立，故B错误；对于C：因为{an}为等差数列，设(是常数)，令，则，，则为等差数列.故C正确；对于D：假设必存在不同的三项ap，aq，ar，使得ap2=aqar.，，，根据对应系数相等，可得，且，，即，即，与不同矛盾.故D错误.故选：AC.9.（2023·江苏镇江丹阳高中期末）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足