振动理论与应用第2章-单自由度系统的自由振动

第2章单自由度系统的自由振动返回总目录制作与设计贾启芬振动理论与应用TheoryofVibrationwithApplications返回首页天津大学第2章单自由度系统的自由振动TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动2.2计算固有频率的能量法2.3瑞利法2.4有阻尼系统的衰减振动

返回首页TheoryofVibrationwithApplications第2章单自由度系统的自由振动2.1无阻尼系统的自由振动天津大学关于单自由度系统振动的概念典型的单自由度系统:弹簧-质量系统

梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹簧-质量系统返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动天津大学2.1.1自由振动方程2.1.2振幅、初相位和频率

2.1.3等效刚度系数

2.1.4扭转振动

返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动2.1.1自由振动方程当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的运动微分方程为其中取物块的静平衡位置为坐标原点O，x轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块在静平衡位置时，由平衡条件，得到无阻尼自由振动微分方程弹簧的静变形固有圆频率返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动其通解为：其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t=0时，可解返回首页2.1.1自由振动方程TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动两种形式描述的物块振动，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。另一种形式无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动初相位角

振幅返回首页2.1.1自由振动方程TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动2.1.2振幅、初相位和频率系统振动的周期系统振动的频率系统振动的圆频率为圆频率

是物块在自由振动中每2

秒内振动的次数。f、

只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量m有关，而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率f称为固有频率，圆频率

称为固有圆频率。返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动用弹簧静变形量dst表示固有圆频率的计算公式

物块静平衡位置时固有圆频率返回首页2.1.2振幅、初相位和频率TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动2.1.3等效刚度系数单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程等效的概念这一方程，可以等效为广义坐标的形式返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动等效的概念返回首页2.1.3等效刚度系数TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动串联弹簧与并联弹簧的等效刚度例在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等。

振动过程中，物块始终作平行移动。处于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是dst，而弹性力分别是

系统平衡方程是返回首页2.1.3等效刚度系数TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则 k称为并联弹簧的等效刚度系数。并联后的等效弹簧刚度系数是各并联弹簧刚度系数的算术和。系统的固有频率返回首页2.1.3等效刚度系数TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二弹簧受力相等。当物块在静平衡位置时，它的静位移dst等于每根弹簧的静变形之和，即dst=d1st+d2st

由于每根弹簧所受的拉力都等于重力mg，故它们的静变形分别为如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于返回首页2.1.3等效刚度系数TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于k称为串联弹簧的等效刚度系数串联后的弹簧刚度系数的倒数等于各串联弹簧刚度系数倒数的算术和返回首页2.1.3等效刚度系数TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动组合弹簧的等效刚度例质量为m的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计，两弹簧的弹簧刚度系数分别为k1和k2,又AC=a，AB=b，求物块的自由振动频率。解：将各弹簧的刚度系数按静力等效的原则，折算到质量所在处。先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k

。返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsC2.1.3等效刚度系数2.1无阻尼系统的自由振动先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k

。返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsC设在C处作用一力F，按静力平衡的关系，作用在B处的力为此力使B弹簧k2产生变形，而此变形使C点发生的变形为

得到作用在C处而与k2弹簧等效的刚度系数2.1.3等效刚度系数2.1无阻尼系统的自由振动C物块的自由振动频率为与弹簧k1串联返回首页TheoryofVibrationwithApplications得系统的等效刚度系数2.1.3等效刚度系数2.1无阻尼系统的自由振动弹性梁的等效刚度例一个质量为m的物块从h的高处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁的质量，求该系统自由振动的频率、振幅和最大挠度。返回首页2.1.3等效刚度系数TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧来代替，于是这个系统简化成弹簧—质量系统。如果知道系统的静变形则求出系统的固有频率由材料力学可知，简支梁受集中载荷作用，其中点静挠度为求出系统的固有频率为中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为返回首页2.1.3等效刚度系数TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，并以撞击时刻为零瞬时，则t=0时，有自由振动的振幅为梁的最大挠度

返回首页2.1.3等效刚度系数TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动2.1.4扭转振动等效系统内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运转中常常产生扭转振动，简称扭振。扭振系统称为扭摆。OA为一铅直圆轴，圆盘对其转动惯量为IO。在研究扭摆的运动规律时，假定OA的质量略去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径线和该线的静止位置之间的夹角

来决定，称扭角。圆轴的抗扭刚度系数为kn，表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程扭振的运动规律对于单自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振动规律、特征是完全相同的。

固有圆频率返回首页2.1.4扭转振动TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动图(a)所示为扭振系统两个轴并联的情况；图(b)为两轴串联的情况；图(c)则为进一步简化的等效系统。并联轴系的等效刚度系数串联轴系的等效刚度系数返回首页2.1.4扭转振动TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动

返回首页TheoryofVibrationwithApplications第2章单自由度系统的自由振动2.2计算固有频率的能量法天津大学计算固有频率的能量法的理论基础是机械能守恒定律。无阻尼单自由振动系统中，势能与动能之和保持不变。常量式中T是动能，V是势能。如果取平衡位置O为势能的零点，系统在任一位置返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.2计算固有频率的能量法天津大学当系统在平衡位置时，x=0,速度为最大，势能为零，动能具有最大值Tmax；当系统在最大偏离位置时，速度为零，动能为零，而势能具有最大值Vmax。由于系统的机械能守恒用能量法计算固有频率的公式

返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.2计算固有频率的能量法天津大学例船舶振动记录仪的原理图如图所示。重物P连同杆BD对于支点B的转动惯量为IE,求重物P在铅直方向的振动频率。已知弹簧AC的弹簧刚度系数是k。解：这是单自由度的振动系统。系统的位置可由杆BD自水平的平衡位置量起的角来决定。系统的动能设系统作简谐振动，则其运动方程角速度为返回首页TheoryofVibrationwithApplications系统的最大动能为2.2计算固有频率的能量法天津大学如取平衡位置为系统的势能零点。设在平衡位置时，弹簧的伸长量为dst。此时，弹性力Fst=kdst,方向向上。该系统的势能返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.2计算固有频率的能量法

返回首页TheoryofVibrationwithApplications第2章单自由度系统的自由振动2.3瑞利法天津大学返回首页TheoryofVibrationwithApplications利用能量法，将弹簧的分布质量的动能计入系统的总动能，仍按单自由度系统求固有频率的近似方法，称为瑞利法。应用瑞利法，首先应假定系统的振动位形。等效质量

l对于图示系统，假设弹簧上各点在振动过程中任一瞬时的位移与一根等直弹性杆在一端固定另一端受轴向力作用下各截面的静变形一样。根据胡克定律，各截面的静变形与离固定端的距离成正比。依据此假设计算弹簧的动能，并表示为集中质量的动能为2.3瑞利法天津大学返回首页TheoryofVibrationwithApplications例2-5在图示系统中，弹簧长l，其质量ms。求弹簧的等效质量及系统的固有频率。左端距离为

的截面的位移为，则d

弹簧的动能为l

d

假设弹簧各点在振动中任一瞬时的位移和一根直杆在一端固定另一端受轴向载荷作用时各截面的静变形一样，解：令x表示弹簧右端的位移，也是质量m的位移。2.3瑞利法天津大学返回首页TheoryofVibrationwithApplications弹簧的总动能系统的总动能为系统的势能为固有频率为设l

d

2.3瑞利法

返回首页TheoryofVibrationwithApplications第2章单自由度系统的自由振动2.4有阻尼系统的衰减振动天津大学阻尼－系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的阻力。物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系c－粘性阻尼系数或粘阻系数。它与物体的形状、尺寸及介质的性质有关，单位是牛顿·米/秒(N·s/m)。返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.4有阻尼系统的衰减振动运动微分方程图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的简化模型。以静平衡位置O为坐标原点，选x轴铅直向下为正，有阻尼的自由振动微分方程特征方程特征根返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.4有阻尼系统的衰减振动衰减系数，单位1/秒(1/s)solutionoftheform

2.4单自由度系统的衰减振动特征根与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关强阻尼（n>pn）情形临界阻尼(n=pn)情形阻尼对自由振动的影响运动微分方程特征根返回首页TheoryofVibrationwithApplications天津大学2.4单自由度系统的衰减振动临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状态。这时系统的阻尼系数是表征运动规律在性质上发生变化的重要临界值。设cc为临界阻尼系数，由于z=n/pn=1，即z阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是z称为阻尼比的原因。

cc只取决于系统本身的质量与弹性常量。由返回首页TheoryofVibrationwithApplications天津大学2.4单自由度系统的衰减振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications具有临界阻尼的系统与过阻尼系统比较，它为最小阻尼系统。因此质量m将以最短的时间回到静平衡位置，并不作振动运动，临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发射炮弹时要出现反弹，应要求发射后以最短的时间回到原来的静平衡位置，而且不产生振动，这样才能既快又准确地发射第二发炮弹。显然，只有临界阻尼器才能满足这种要求。天津大学2.4单自由度系统的衰减振动强阻尼(

>1)情形临界阻尼(

＝1)情形这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减引入阻尼比

＝1

>1Otx返回首页TheoryofVibrationwithApplications天津大学2.4单自由度系统的衰减振动弱阻尼(

<1)情形（n<pn）

特征根其中其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t=0时，可解C1=x0

返回首页TheoryofVibrationwithApplications天津大学2.4单自由度系统的衰减振动另一种形式初相位角

振幅这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的衰减运动。衰减运动的频率为p

d，衰减速度取决于

p

n，二者分别为本征值的虚部和实部。返回首页TheoryofVibrationwithApplications天津大学2.4单自由度系统的衰减振动衰减振动:物块在平衡位置附近作具有振动性质的往复运动，但它的振幅不是常数，随时间的推延而衰减。有阻尼的自由振动视为准周期振动。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.4单自由度系统的衰减振动T=2p/pn为无阻尼自由振动的周期。阻尼对周期的影响欠阻尼自由振动的周期Td

：物体由最大偏离位置起经过一次振动循环又到达另一最大偏离位置所经过的时间。由于阻尼的存在，使衰减振动的周期加大。通常z很小，阻尼对周期的影响不大。例如，当z=0.05时，Td=1.00125T，周期Td仅增加了0.125%。当材料的阻尼比z<<1时，可近似认为有阻尼自由振动的周期与无阻尼自由振动的周期相等。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications设衰减振动经过一周期Td，在同方向的相邻两个振幅分别为Ai和Ai+1，即两振幅之比为称为振幅减缩率或减幅系数。如仍以z

=0.05为例，算得,物体每振动一次，振幅就减少27%。由此可见，在欠阻尼情况下，周期的